2020-2021学年北京市房山区八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市房山区八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.若分式2
x−1
无意义，则()
A. x≥1
B. x≠1
C. x≥−1
D. x=1
2.下列事件中，是必然事件的是()
A. 某射击运动员射一次，正中靶心
B. 下雨后，天空出现彩虹
C. 测量抚州市某天的气温是−100℃
D. 口袋中装有1个黑球和2个白球，从中摸出2个球，其中必有白球
3.有五张完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、等边三角形、正五边形、矩形、圆，将它
们打乱顺序后背面向上，从中随机选取一张卡片，正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为()
A. 1
5B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
4.一次抛两枚硬币，可能出现的情况有：①一枚正面朝上一枚反面朝上；②两枚都是正面朝上；
③两枚都是反面朝上．则下列说法正确的是()
A. ①与②是等可能的
B. ②与③是等可能的
C. ①与③是等可能的
D. ①、②、③都是等可能的
5.若使算式3√2〇√8的运算结果最小，则〇表示的运算符号是()
A. +
B. −
C. ×
D. ÷
6.下列分式计算正确的是()
A. (2y
3x )2=2y2
3x2
B. 1
x−y
−1
y−x
=0
C. (−x2
y )3=−x6
y3
D. 1
3x
+1
3y
=1
3(x+y)
7.一个三角形三个内角的度数之比为2：5：7，这个三角形一定是()
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 钝角三角形
8.在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H.这样得到的四边形EFGH中，
是正方形的有()
A. 1个
B. 2个
C. 4个
D. 无穷多个
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.若分式2x−3
的值为0，则x=______．
x+4
10.若(√2−x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则(a0+a2)2−(a1+a2)2的值为______ ．
11.如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5cm，BC=1cm，则AF=______ cm．
12.如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：__________，使ΔABD≌ΔACD．
13.经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该
路口全部继续直行的概率为______．
14.某工厂原计划生产7200顶帐篷，后来有一个地区突然发生地震，要求工厂生产的帐篷比原计划
多20%，并且需提前4天完成任务．已知实际生产时每天比原计划多生产720顶帐篷，设实际每天生产x顶帐篷，根据题意可列方程为______．
15.如图，点EF在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交
于点O，则△OEF的形状是______．
16.如图，已知长方形ABCD的面积为20，AB=3，则AD与BC之间的距离为______，AB与CD之间
的距离为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.阅读下面的材料：
解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常采用换元法降次：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−5y+4=0，解得y1=1，y2=4.当y1=1时，x2=1，∴x=±1；当y2=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2．
仿照上述换元法解下列方程：
(1)x4+3x2−4=0
(2)x+1
x −6x
x+1
+1=0．
四、解答题（本大题共9小题，共62.0分）
18.(1)计算：|−1|+(√2+1)0−2−1；
(2)先化简，后求值：6
m2−9÷2
m−3
，其中m=−2．
19.如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，过AB的中点E作EF⊥AC，交AD于点M，交CD的延长线
于点F．
求证：AE=FD．
20.如图，AD是△ABC边BC上的高，用尺规在线段AD上找一点E，使E到AB
的距离等于ED(不写作法，保留作图痕迹)
21.如图，AD平分∠BAC，DH垂直平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求
证：BE=CF．
22.先将代数式化简，再从1或0或−1三数中选取一个适当的数作为的值代入
求值．
23.比较下列随机事件发生的可能性大小．
(1)如图，转动一个能自由转动的转盘，指针指向红色区域和指向白色区域；
(2)小明和小亮做掷硬币的游戏，他们商定：将一枚硬币掷两次，如果两次朝上的
面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜．谁获胜的
可能性大？
24.如图所示，两条笔直的公路AO与BO相较于点O，村庄D和E在公
路AO的两侧，现要在公路AO和BO之间修一个供水站P向D、E两
村供水，使供水站P到两公路的距离相等，且到D、E两村的距离
也相等．请你在图中画出P点的位置．
25.在图中按所给的语句画图．(不写结论)
①联结线段AC．
②过B、D作直线BD．
③延长线段AC．
④反向延长线段BC至R，使BR=1cm．
⑤在射线BA上，截取AE=BA．
⑥在线段AD的反向延长线上截取AF=2AD．
26.(1)请画出关于轴对称的(其中分别是的对应点，不
写画法)；
(2)直接写出三点的坐标：．
(3)求△ABC的面积是多少？
参考答案及解析
1.答案：D
解析：
从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
根据分式无意义，分母等于0列式进行计算即可得解．
解：根据题意得，x−1=0，
解得x=1．
故选D．
2.答案：D
解析：
此题主要考查了必然事件的含义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
解：∴某射击运动员射一次，正中靶心，这是一个随机事件，
∴选项A不正确；
∵下雨后，天空出现彩虹，这是一个随机事件，
∴选项B不正确；
∵测量抚州市某天的气温是−100℃，这是一个不可能事件，
∴选项C不正确；
∵口袋中装有1个黑球和2个白球，从中摸出2个球，其中必有白球，这是一个必然事件，
∴选项D正确．
故选D．
3.答案：B
解析：解：∵五张完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、等边三角形、正五边形、矩形、圆，将它们打乱顺序后背面向上，从中随机选取一张卡片，正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、圆，
∴从中随机选取一张卡片，正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为2
．
5
故选：B．
由五张完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、等边三角形、正五边形、矩形、圆，将它们打乱顺序后背面向上，从中随机选取一张卡片，正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用以及轴对称图形、中心对称图形的知识．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.答案：B
解析：解：①一次抛两枚硬币，共有四种情况，一枚正面朝上一枚反面朝上的概率为1
；
2
②两枚都是正面朝上的概率为1
；
4
③两枚都是反面朝上的概率为1
．
4
可以知道②与③是等可能的．
故选B．
分别算出①②③三种情况的概率，即可得出可能性的大小．
本题考查概率的计算以及概率与可能性的关系．即两事件概率相等，那么可能性是等同的．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
5.答案：B
解析：解：3√2+√8=3√2+2√2=5√2，
3√2−√8=3√2−2√2=√2，
3√2×√8=3√16=12，
3√2÷√8=3√2÷2√2=3
，
2
∵12>5√2>3
>√2，
2
∴〇表示的运算符号是“−”时，运算结果最小，
故选：B．
分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
此题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式的计算法则．
6.答案：C
解析：解：(A)原式=4y2
9x2
，故A错误；
(B)原式=1
x−y +1
x−y
=2
x−y
，故B错误；
(D)原式=y
3xy +x
3xy
=x+y
3xy
，故D错误；
故选：C．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
7.答案：B
解析：解：∵一个三角形三个内角的度数之比为2：5：7，
∴设三个内角的度数分别为2x，5x，7x，
∴2x+5x+7x=180°，解得x=(90
7
)°，
∴7x=7×(90
7
)°=90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
设三个内角的度数分别为2x，5x，7x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
本题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
8.答案：D
解析：解：无穷多个．如图正方形ABCD：
AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，
有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
则EH=HG=GF=FE，
另外很容易得四个角均为90°
则四边形EHGF为正方形．
故选D．
在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
本题考查了正方形的判定与性质，难度适中，利用三角形全等的判定证明EH=HG=GF=FE．
9.答案：3
2
解析：解：由题意得，2x−3=0，x+4≠0，
解得，x=3
，
2
．
故答案为：3
2
根据分式为0的条件列式计算即可．
本题考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
10.答案：−4+36√2
解析：解：∵(√2−x)3=2√2−6x+3√2x2−x3=a0+a1x+a2x2+a3x3，
∴a0=2√2，a1=−6，a2=3√2，
∴(a0+a2)2−(a1+a2)2=(2√2+3√2)2−(−6+3√2)2=−4+36√2．
故本题答案为：−4+36√2．
先将(√2−x)3展开，根据对应项系数相等求出a0，a1，a2，a3的值，再代入计算．
本题考查了完全平方公式，化简(√2−x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3后，根据对应的项系数相等求得a0，a1，a2，a3的值是解题的关键．
11.答案：6
解析：解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6cm．由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质有AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6cm．
考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边．
12.答案：∠B=∠C；或∠BAD=∠CAD；或BD=DC
解析：解：当添加∠B=∠C时，
∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAD，
ΔABD和ΔACD中，
∵∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C，
AD=AD，
∴ΔABD≌ΔACD(AAS)．
13.答案：1
4
解析：解：画树状图得出：
∴一共有4种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是：1
4
．
故答案为：1
4
．
列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.答案：7200(1+20%)
x −7200
x+4
=4
解析：解：设实际每天生产x顶帐篷根据题意得：
7200 x −7200(1+20%)
x+720
=4，
故答案为：7200
x −7200(1+20%)
x+720
=4，
关键描述语为：“实际每天比原计划每天多生产720顶”；等量关系为：计划完成帐篷的天数−实际
完成帐篷的天数=4，若设实际每天生产x顶帐篷，则有：7200
x −7200(1+20%)
x+720
=4．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．15.答案：等腰三角形
解析：解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
{∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE
，
∴△ABF≌△BCE(AAS)，∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
则△OEF的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形
由BE=CF，得到BF=CE，再由已知的两对角相等，利用AAS得出三角形ABF与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再利用等角对等边得到OE=OF，即可确定出三角形OEF为等腰三角形．
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
16.答案：320
3
解析：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC⊥AB．
∴AB=3，
即AD与BC之间的距离为3．
∵矩形ABCD的面积为20，AB=3，
∴BC=20
，
3
．
即AB与CD之间的距离为20
3
．
故答案为：3，20
3
根据矩形的性质即可得出答案．
本题考查了矩形的性质以及矩形面积公式；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
17.答案：解：(1)∵x4+3x2−4=0，
∴(x2+4)(x2−1)=0，
则x2+4=0或x2−1=0，
解得x2=−4<0(舍去)，x2=1，
解得x=1或x=−1；
(2)令y=x+1
，
x
则方程为y−6y+1=0，即y2+y−6=0，
则(y+3)(y−2)=0，
∴y+3=0或y−2=0，
解得y=−3或y=2，
当y=−3时，x+1
x =−3，解得x=1
4
；
当y=2时，x+1
x
=2，解得x=1；
经检验x=1
4
和x=1均是方程的解．
解析：(1)由x4+3x2−4=0知(x2+4)(x2−1)=0，据此得出x2的值，再进一步求解可得；
(2)令y=x+1
x
，知y−6y+1=0，即y2+y−6=0，解之求得y的值，再进一步求解可得．
本题主要考查解高次方程，通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
18.答案：解：(1)原式=1+1−1
2=3
2
；
(2)原式=6
(m+3)(m−3)×m−3
2
=3
m+3
，
把m=−2代入上式得：
原式=3
−2+3
=3．
解析：(1)直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；
(2)直接利用分式的混合运算法则化简，进而代入m的值求出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．19.答案：证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF⊥AC，
∴EM//BD，
∴AE
EB
=
AM
MD
∵E为AB的中点，∴AE=EB，
∴AM=MD，
∵AE//DF，
∴△AEM∽△DFM，
∴AE
DF =AM
DM
=1，
∴AE=DF．
解析：连接BD，根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后求出EM//BD，再判断出M是AD的中点，从而得证．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，要注意全等三角形是特殊的相似三角形．
20.答案：解：如图，点E为所作．
解析：利用基本作图，作∠ABD的平分线交AD于E，则E到AB的距离等于ED．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
21.答案：证明：连接DB、DC，
∵DH⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
{DB=DC
DE=DF，
Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=CF．
解析：连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22.答案：解：
因为有意义，
所以x≠0，x≠1
所以x只能为−1，
当x=−1时，
原式=−1+1=0．
解析：首先根据分式的加减法则进行计算，然后把分式的分子、分母进行分解因式，最后进行约分，再选取一个数代入即可求出结果，但是需要注意，所代入的x的值，必须是使得原分式有意义的，否则不能代入．
23.答案：解：(1)∵白色区域的面积比红色区域的面积大，
∴指针指向红色区域的可能性比指针指向白色区域的可能性小；
(2)将一枚硬币掷两次，有(正，正)，(正，反)，(反，反)，(反，正)4种等可能的结果，
两次朝上的面相同的有2种，两次朝上的面不同的有2种，
所以两人获胜的可能性一样．
解析：(1)根据白色区域的面积和红色区域面积的大小，判断可能性的大小；
(2)首先求出将一枚硬币掷两次出现的结果，然后根据两次朝上的面相同和不同的结果数，判断可能性的大小．
此题考查了随机事件的可能性，掌握可能性大小的判断方法是解题的关键．
24.答案：解：如图所示，点P即为所求．
解析：此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，解决问题的关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法．解题时要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
根据P到两公路的距离相等，且到D、E两村的距离也相等，先作∠AOB的平分线，再作线段ED的垂直平分线，两线的交点P就是所求的点．
25.答案：解：如图，
①线段AC即为所求；
②直线BD即为所求；
③射线AC即为所求；
④AR即为所求；
⑤AE即为所求；
⑥AF即为所求．
解析：①根据线段的定义联结线段AC即可；
②根据直线的定义过B、D作直线BD即可；
③延长线段AC即可；
④反向延长线段BC至R，使BR=1cm即可；
⑤在射线BA上，截取AE=BA即可；
⑥在线段AD的反向延长线上截取AF=2AD即可．
本题考查了作图−复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握直线、射线、线段定义．
26.答案：解：(1)如图
(2)A′(2,3)，B′(3,1)，C′(−1,−2)；
=20−1−6−7.5=5.5．
解析：(1)分别找出点A、B、C关于y轴的对应点A′、B′、C′，然后顺次连接即可得到△A′B′C′；
(2)利用平面直角坐标系写出点的坐标即可；
(3)利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可．。