数形结合巧解解析几何问题

“数形结合”巧解解析几何问题

四川省遂宁高级实验学校 陈玉华

我们都知道，解析几何的基本思想是用代数的方法(即坐标方法)研究几何问题．但是解析几何归根结底是研究解决几何问题的，因而又不能片面地强调用代数方法而忽略了几何图形本身的性质．在这里数形结合分析解决问题惟妙惟肖，各显神功．圆是特殊图形，在初中平面几何中我们学过许多有关圆的性质，如垂径定理，切线性质等．另外勾股定理，相似三角形性质、三角形中线、高线、角平分线性质，三角形内角和定理等等．在解决解析几何问题时，应充分利用平面几何性质，有时可大大减少计算量,使问题变得简单明了，解法漂亮，避免复杂计算．

1.求轨迹问题

【例1】已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切，与圆C 2:(x-4)2+y 2

=2内切，

求动圆圆心M 的轨迹方程。

【分析】利用两圆内外切的充要条件找出点M 点满足的几何条件,结合圆锥曲线定义求解.

【解】设动圆M 的半经为r,则由已知|MC 1|=r ,|MC 2|=r ,

∴|MC 1|-|MC 2|=,又C 1(-4,0),C 2(4,0)∴|C 1C 2|=8, ∴|C 1C 2|＞,

据双曲线定义可知,点M 的轨迹是以C 1(-4,0),C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支,

∵a =∴222

14b c a =-=,故点M 的轨迹方程为: 22

1(214

x y x -=≥ 【点评】求曲线的轨迹方程时,利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再利用待定系数法求出轨迹方程,这样可以减少计算量,提高解题速度与质量.

【例2】如图,△AOB 中,∠AOB=

3π,AB 在直线:3l x =上移动,求△AOB 外心的轨迹方程.

【解】设外心为M （x,y ），连结MA 、MB ，∵∠AOB=

3π，∴∠AMB=23π， 过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠AMN=3

π，又∵M 为△AOB 的外心，

∴|MA|＝|MO|,于是|MN|=12|MA|＝12|MO|,即3x -=(03)x <<化简并整理得：223(4)12x y --=．

【点评】利用了圆的几何性质:圆心角等于圆周角的二倍，寻找到动点M 的等量关系，大大地

提高了解题效率.

2.求值问题

【例1】直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点Ｆ,且与抛物线交于点Ｐ,Ｑ两点，由P,Q 分别向准线引垂线PR 、QS ，垂足分别为R 、S.如果|PF|=a ,|QF|=b ,M 为RS 的中点,则|MF|的值为( )

A. a b +

B. 1()2

a b + C. ab 【解析】据抛物线的定义,有|PF|=|PR|,|QF|=|QS|,易知△PRS 为直角

三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长,在直角梯形PRSQ

中,容易求得

|RS|=故|FM|=1

2

选答案D.

【点评】不会用圆锥曲线定义,想先求出M的坐标后,用两焦点间的距离公式求|MF|,由于计算中变量较多,关系复杂而无法计算出最后的结果.

【例2】设动点P到两定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离分别为d1和d2,

∠F1PF2=2θ,且存在常数λ,λ∈(0,1),使得d1d2sin2θ=λ,

(1)证明:点P的轨迹C是双曲线并求出方程,

(2)如图,过点F2的直线与双曲线C的右支交AB两点,问是

否存在λ,使△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形?

【解析】（1）略

22

1 (0,1) 1

x y

λ

λλ

-=∈

-

（2）假设存在λ使Rt△F1AB为等腰直角三角形，记|AB|=t,|BF2|=x,则|BF1|=t,|AF1

,

由双曲线的定义可得：12

12

||||2()2

||||22

t

BF BF a t x a

AF AF a t x a x

⎧=

-=

⎧--=⎪

⇒⇒

⎨⎨

-=-=

⎪

⎩=

⎩⎪

⎩

在Rt△F1BF2

中，22222222

1212

||||||444

F F BF BF t x c t

=+⇒+==⇒+=，

∵t=

∴222

12

511

17

a aλ

-

-=⇒==-⇒

【点评】充分利用双曲线的定义及等腰直角三角形的性质入手，使整个运算过程，化繁为简，代数运算方法望尘莫及，体现了数学的简洁美.

3.求范围问题

【例1】已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B两点，若有2

BF AF

=，求椭圆离心率的取值范围.

【解析】如图示，据椭圆的对称性，不妨∠AFX=θ,(0,)

2

π

θ∈，

设|AF|=t,则|BF|=2t,其A、B两点在右准线上的射影分别为C、

D，据椭圆的定义得：||||2

||,||

||||

AF t BF t

e AC e BD

AC e BD e

=⇒==⇒=，

过A作AE⊥BD于E，则||||||

t

BE BD AC

e

=-=，

在Rt△ABE中得：

||11

cos(0,1)(,1)

||33

(0,1)

BE

e

AB e

e

θ

⎧

==∈⇒∈

⎪

⎨

⎪∈

⎩

【点评】利用椭圆的第二定义,抓住椭圆的对称性,构建直角三角形,转化为三角函数的有界性,近而求出离心率的范围,具有异曲同工之妙！

4.求最值问题

【例1】已知F是椭圆

22

1

95

x y

+=的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.

(1)求

3

||||

2

PA PF

+的最小值,并求点P的坐标.

(2)求||||

PA PF

+的最大值和最小值.