专题05二次函数的实际应用(含解析)2023年秋人教版数学九年级上册期中专题复习

专题05 二次函数的实际应用
图形问题
1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的
铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．
小组讨论后，同学们做了以下试验：
请根据以上图案回答下列问题：
(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；
(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？
(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，
6m AB 1m ABCD 2m 6m AB ABCD 6m ABCDEF AB DE ∥AB DE 3AB =1AF BC ==
，．
，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当
的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？
3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．
(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
图形运动问题
4．如图（单位：cm ），等腰直角以2cm/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到与重合，当运动时间为x s 时，与正方形重叠部分的面积为y cm 2，下列图象中能反映y 与x 的函数关系的是（ ）
90A B ∠=∠=︒135C F ∠=∠=︒MH H G GN MH MNGH ABC V AB AC =:3:4AF BF =G H F AB AC BC BCDE BE IJ MN CD ∥∥∥BF x =BE y =y x x x EFG V EF BC EFG V ABCD
． ．
． ．
．如图，一个边长为的菱形，过点作直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线部分面积为，则与直线之间的函数图象大致为（ ）
A ． ． ．
．
的边长为，点O 为正方形的中心，出发沿运动，连接的运动速度为
260︒A l AB ⊥AB l y y l 2cm BC 2cm/s
．．
．．
销售利润问题
．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于
得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？
8．某公司生产的某种时令商品每件成本为
投球问题
水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________________；
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；
增长率问题
(m)
x 0123(m)y 0 3.567.5=a x /m
x 02461112/m y 2.38 2.62 2.7 2.62 1.72
1.42
13．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）A
． B ． C ． D ． 14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．B ．C ．D ．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y 与之间的函数关系式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A 、B 两种类型口罩进行销售，A 型口罩进价m 元每盒，B 型口罩进价30元每盒，若各购进m 盒，成本为1375元．
(1)求A 型口罩的进价为多少元？
(2)设两种口罩的售价均为x 元，当A 型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B 型口罩的销量y （盒）与售价x 之间的关系为；若B 型口罩的销售量不低于A 型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．
17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：
GDP GDP y GDP x y x ()
2.412y x =+()22.41y x =-()22.41y x =+()()
2.4 2.41 2.41y x x =++++()21801461
x -=()2
1801461x +=()24611180x -=()24611180x +=x y a x ()
12y a x =-()21y a x =-()21y a x =-()
21y a x =-3005y x =-2310．X m
参考答案：
，
，
米，
四边形是平行四边形，
又，
90A B ∠=∠=︒Q AF BC ∴P 1AF BC ==Q ∴ABCF 90A B ∠=∠=︒Q
重叠部分为三角形，面积如图，当时，
重叠部分为梯形，面积∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为纵观各选项，只有C 选项符合．
y =
510x <≤12
y =⨯
，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，
③当时，如图，
故选：．
【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．
6．D
21332
y x x x =⨯=12x <≤()1133132y x =⨯⨯+-=23x <≤()23323322y x =⨯--=-A
∴，
由题得，，∴，
∵，
由题得，∴．故选D ．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．PE AD ⊥cm BQ t =cm AE PE t ==2cm QE AB ==cm BP BQ t ==212
s t =
（3）根据，即可作答．
【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y 与x 的函数关系式为；
（2）根据题意，得；
当时，，
解得：，，
∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，
∴，
∴应将销售价定为70元/千克；
（3），
∵，
∴当销售单价时，销售利润w 的值最大，最大值为2450元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．
8．(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元
(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围，进而求解即可．
()2
22340120002852450w x x x =-+-=--+()0y kx b k =+≠()50,140()80,80501408080k b k b +=⎧⎨+=⎩
2240
k b =-⎧⎨=⎩2240y x =-+()()()250502240234012000w x y x x x x =-⋅=--+=-+-2000w =22340120002000x x -+-=170x =2100x =70x =()2
22340120002852450w x x x =-+-=--+20-<85x =296
m x =-+1a =
②不能．
当时，，该运动员第一次发球能过网，
故答案为：不能；
（2）判断：没有出界．
第二次发球：，
令，则，
，解得舍，，
，
该运动员此次发球没有出界．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．
13．C
【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，
故选：C ．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
14．B
【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得，
故选：B ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9x =()2
0.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<∴20.02(5) 2.88y x =--+0y =20.02(4) 2.880x --+=17(x =-)217x =21718x =<Q ∴GDP x GDP ()2.41x +GDP ()2
2.41x +y x ()22.41y x =+2=(1⨯+2)()2
1801461x +=。