Mathematica的数值分析功能及其应用

似 ,此处不再赘述. 函数 InterpolatingPolnomial[ ]使用了插值的概念来处理精确拟合. 一般地 , 若
有 n 个数据点 ,则需要用 n - 1 阶多项式拟合. 其中数据 data 的形式有 : data1 = { f 1 , f 2 , …, f n} ,
即已知函数值 : f ( i) = f i ; i = 2 , 2 , …, n ; data2 = { { x1 , f 1} ; ({ x2 , f 2} ; …; { x n , f n} } ; 即已知函数
拟合函数中的自变量名 ,如 x ,{ x , y} ,{ x1 , x2 , …, xp} 等.
Mathematica 还提供了直接拟合非线性函数的功能函数 Nolinear Fit [ data , f uns , vars ]和多项
式精确拟合函数 InterpolatingPolynomial [ data , x ]. 函数 Nolinear Fit [ ]的使用与函数 Fit [ ]相类
1. , - 1. , - 1. , - 1. ,1. ,1. ,1. ,1. } . 114 数值积分
利用 Mathematica 可以求给定函数的不定积分解析表达式、定积分的精确值 ,也可以求定积 分的近似值 ,积分运算函数如表 1.
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{ x n , yn} } ,即观测数据为 ( xi , yi) , i = 1 , 2 , …, n ; data3 = { { x1 , y1 , z1} , { x2 , y2 , z2} , …, { x n , yn ,
z n} } ,即观测数据为 ( xi , yi , zi) ; i = 1 ,2 , …, n , 此 时 可 以 确 定 z 是 变 量 x , y 的 二 元 函 数 ;
收稿日期 :2002 - 05 - 21 作者简介 :察可文(1963 - ) ,男 ,山东省鄄城人 ,山东轻工业学院副教授 ,从事工科数学、数学建模、应用概率统计、计算机应 用等方面的教学与研究 。
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值 f ( xi) = f i ; i = 1 ,2 , …, n ; data3 = { { x1 ,{ f 1 , df 1 , ddf 1 , …} } , …,{ x n ,{ f n , df n , ddf n , …} } } ,即
已知函数值 f ( xi) = f i ,和各阶导数值 f′( xi) = df i , f″( xi) = ddf i , …, i = 1 ,2 , …, n. 例如若输入 :
> n ]生成近似函数对象 Interpolation Function[{ x0 , x1} , < > ] ,其中 data 为数据表 ,其形式与函
数 InerpolatingPolynomial[ ]中的数据形式完全相同 ,选项 InterpolationOrder - > n 用来指定近似
曲线函数的次数 , n 可取数值 1 ,2 ,3 ,其缺省值为 3. 例如若输入 :
In[1 ] : ef = InterpolatingPoynomial[{ 1 ,2 ,6 ,24 ,120} , x ] ,则输出 :
Out[1 ] = 1 +
1+
3 2
+
11 6
+
53 24
(
-
4
+
x)
( - 3 + x)
( - 2 + x)
( - 1 + x)
112 函数逼近与插值
函数逼近是指近似给出单或多参数的近似值. 函数 Interpolation [ data , InterpolationOrder -
它具有使用方便、功能强大、用户友好、扩展便利等特点. Mathematica 是一个完全集成环境下的符
号运算系统 ,使用它不仅能得到问题的数值解 ,而且还能获得问题的解析解 ,它还具有很强的绘
图功能和动画功能. Mathematica 是广大科技工作者、高校师生不可多得的工具之一.
111 曲线拟合
第 17 卷第 1 期 2003 年 3 月
山 东 轻 工 业 学 院 学 报 JOURNAL OF SHANDON G INSTITU TE OF L IGHT INDUSTRY
Vol. 17 No. 1 Mar. 2003
Mathematica 的数值分析功能及其应用
察可文 ,王瑞明 ,李汝修 ,孙作胜
定 y 的最优值点. Mathematica 提供的进行曲线拟合或曲面拟合或超曲面拟合的函数为 : Fit [ da2
ta , f uns , vars ] ,其中 data 表示观测数据 ,其形式有 : data1 = { y1 , y2 , …, yn} ,此时对应的自变量 x
的取值分别为 1 , 2 , …, n , 即观测数据为 ( i , yi) , i = 1 , 2 , …, n ; data2 = { { x1 , y1} , { x2 , y2} , …,
关键词 : 曲线拟合 ,数值积分 ,数值微分 ,动力学模型 中图分类号 :O 245 文献标识码 :A 文章编号 :1004 - 4280 (2003) 01 - 0066 - 06
1 Mathematica 的数值分析功能
Mathematica 是美国 Wolfram Research 公司开发的利用计算机解决数学问题的通用软件包 ,
2 的最小值点
^a0 , ^a1 , ^a2 , …, ^ak 作为未知参数 a0 , a1 , a2 , …, ak 的估计值. 从而得到 y 与 x 之间的近似关系式 y
= ^a0 , + ^a1 , f 1 ( x) + ^a2 f 2 ( x) + …+ ^akf k ( x) ,根据该方程可以对 y 进行预测 ,并实现控制以及确
其中 a0 , a1 , a2 , …, ak 为未知参数 , f 1 ( x) , f 2 ( x) , …f 2 ( x) 为不含未右参数关于 x 的确定函数.
n
k
最后根据最小二乘法原理 , 即求 F ( a0 , a1 , a2 , …, ak) = 6 i=1
y1 - a0 - 6 ajf j ( xi) j=1
,
y1
, i = 1 ,2 , …, n ,此时可以确定 y 是变量 x1 , x2 , …, x p 的 p 元函
数. Funs 表示要拟合的函数形式中出现的已知函数 ,常用的有一次函数 f uns = { 1 , x} ;二次及二
次以上的多项式 f uns = { 1 , x , x2 , …, xk} ;其他非线性函数 (如 f uns = { 1 , sin x ,e x} ) . V ars 指出
发酵时间与酒精含量的关系图3酒精含量与发酵时间的关系21112酵母细胞数与发酵时间的关系略21113发酵过程中总糖与发酵时间的关系略212玉米秸秆粉ss工艺乙醇发酵条件优化与间歇发酵动力学模型在建立固态酒精发酵动力学模型的过程中我们只考虑一个因素的变化对产量指标的影响而在实际中产量同时受到许多因素变化的影响下面利用mathematica的数值分析函数对玉米秸秆粉ss工艺乙醇发酵条件优化与间歇发酵的规律进行研究以确定最高酒精产率的工艺条21211纤维素酶浓度与发酵时间对乙醇产率的影响在其它基本条件不变的情况下考虑乙醇浓度与纤维素酶浓度发酵时间的关系试验记录如表3
Sin [ x ] ^5 ] , { x , 0 , Pi } ] , 则 输 出 : Out [ 6 ]
=
4 5
,
∫π
即
0
sin3 x
-
sin5 x d x
=
4 5
.
∫1 2
In[7 ] : N Itegrate[ Ex p[ - x^2 ] ,{ x ,0 ,1} ] ,则输出 : Out [7 ] = 0. 746824 ,即 e- x d x ≈ 0. 746824. 0
∫xmax
求定积分 f ( x) d x 的精确值 xmin
∫ ∫ xmax
ymax
求二次积分 d x f ( x , y) d y 的精确值
xmin
ymin
∫xmax
求定积分 f ( x) d x 的近似值 xmin
∫ ∫ xmax
ymax
求二次积分 d x f ( x , y) d y 的近似值
68
山 东 轻 工 业 学 院 学 报 第 17 卷
表 1 积分运算函数及其意义
积分运算函数
数 学 意 义
Integrate[ f , x ]
∫ 求不定积分 f ( x) d x
Integrae[ f ,{ x , xmin , xmax} ] Integrate[ f ,{ x , xmin , xmax} ,{ y , ymin , ymax} ] NIntegrate[ f ,{ x , xmin , xmax} ] NIntegrate[ f ,{ x , xmin , xmax} ,{ y , ymin , ymax} ]
0. 707107 - 70711 i ,0. 0. i , - 0. 70107 - 0. 292893 i , 0 , 0 , 1 , - 0. 707107 - 0. 292893 i , 0. 0. i , - 0. 707107 - 70711 i} ;再作傅里叶反变换 ,输入 : In [4 ] : = InverseFourier[ % ] ,则输出 : Out [4 ] = { -
In[2 ] : = data1 = Table [{ x , Sin[ x ]} ,{ x ,0 ,6. 2 ,0. 2} ] ; f = Interpolation[ data1 ] ,则输出 :
Out [2 ] = InterpolatingFunction[{ { 0 ,6. 2} } , < > ]. 函数 f 就是根据数据表 data1 生成的近似函数 ,由该近似函数可求自变量 x 在区间[0 ,612 ]上任 意一点处的函数值 ,并能画出该函数的图形 ,可以验证其结果与正弦函数值及其图形几乎完全一 致. 113 傅里叶变换
xmin
ymin
例如若输入 :
In[5 ] : Integrate[1/ ( x 3 S qrt [4 x^2 + 9 ]) , x ] ,则输出 :
∫ Out[5 ] =
L
og[ 3
x
]
-
1 3
L
og
3+
2
9+4x
,即
x
dx 3
ln
x
-
1 3
ln
3+
4 x2 + 9 + C.
In[ 6 ] : Integrate [ S qrt [ Sin [ x ] ^3 -
第1期
察可文等 :Mathematica 的数值分析功能及其应用
67
data4 =
x
(1) 1
,
x
(1) 2
,
…,
x
(1) p
, y1
,
x
(2) 1
,
x
(2) 2
,
…,
x
(2) p
,
y2
,…
x
( 1
n)
,
x
( 2
n)
,
…,
x
( n) p
,
yn
, 即观
测数据为
x
( 1
i)
,
x
( 2
i)
,
…,
x
( i) p
(山东轻工业学院 数理科学系 ,山东 济南 250100)
摘要 : 简要介绍了 Mathematica 的数值分析功能 (包括曲线拟合、函数逼近与插值、傅里叶变换、数值积
分、数值微分、最优值、代数方程的数值解等) ,并利用 Mathematica 的数值分析功能建立了固态酒精发酵过程的动 力学模型和玉米秸秆粉 SSF 工艺发酵条件优化与间歇发酵动力学模型 ,为确定最优工艺条件和实现生产过程的自 动控制提供了理论分析.
在科学研究中 ,为了确定一个变量 y 与另一变量 x (或多个变量 x1 , x2 , …, x p) 的相关关系 ,
首先通过观测或科学实验得到一组数据 ( x1 , y1) , ( x2 , y2) , …, ( x n , yn) . 然后根据专业知识或散
点图假定变量 y 与变量 x 之间的函数关系形式为 : y = a0 + a1 f 1 ( x) + a2 f 2 ( x) + …+ akf k ( x) ,
傅里叶变换用于将时域信号变换到频域上进行分析 , 在信号处理中得到了广泛的应用. Mathematica 提供了傅里叶变换函数 Fouier[ ]和反傅里叶变换函数 InverseFourier[ ]. 例如若输 入 : In[3 ] : data2 = { - 1 , - 1 , - 1 , - 1 ,1 ,1 ,1 ,1} ; Fourier[ data2 ] ,则输出 : Out [3 ] = { 0. + 0 , i , -