考点15 因式分解-分组分解法(解析版)
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考点15 因式分解——分组分解法
一.选择题(共12小题)
1.(2020·重庆月考)已知实数m ,n ,p ,q 满足4m n p q +=+=,4mp nq +=,则()()2222m n pq mn p q +++=( )
A .48
B .36
C .96
D .无法计算
【答案】A
【详解】
解:4m n p q +=+=,
()()4416m n p q ∴++=⨯=,
()()m n p q mp mq np nq ++=+++,
16mp mq np nq ∴+++=,
4mp nq +=,
12mq np ∴+=,
()()2222m n pq mn p q ∴+++,
2222m pq n pq mnp mnq =+++,
mp mq np nq mp np nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅,
mp mq mp np np nq nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅,
()()mp mq np nq np mq =+++,
()()mp nq np mq =++,
412=⨯,
48=,
故选:A .
2.(2020·湖北)已知三角形ABC 的三边长为a ,b ,c ,且满足a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ,则三角形ABC 的形状是( )
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .等边三角形
【答案】D
∵a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ,
∵a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac=0,
∵2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac=0,
∵a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2=0,
即(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2=0,
∵a -b=0,b -c=0,c -a=0,
∵a=b=c ,
∵∵ABC 为等边三角形.
故选D .
3.(2020·河南)已知3a b -=,4b c -=-,则代数式()2a ac b a c ---的值为( )
A .4
B .4-
C .12-
D .3-
【答案】D 解:因为3a b -=,4b c -=-,
∵1a c -=-
()22()()()()a ac ab bc a a b c a b a ac b a b a c a c --=--+=---=---,
将3a b -=,1a c -=-代入得:()()3(1)3a b a c --=⨯-=-,
故选:D .
4.(2020·宁夏月考)多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ,另一个因式是( )
A .x +2y +1
B .x +2y ﹣1
C .x ﹣2y +1
D .x ﹣2y ﹣1 【答案】C
解:x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2
=(x 2﹣4xy +4y 2)+(x ﹣2y )
=(x ﹣2y )2+(x ﹣2y )
=(x ﹣2y )(x ﹣2y +1).
故选:C .
5.(2020·全国)用分组分解2222a b c bc --+的因式,分组正确的是( )
A .()()2222a b b
bc --- B .()2222a b c bc --+ C .()()2222a b c bc --- D .()222
2a b c bc -+- 【答案】D
A. ()()2222()()(2)a b b
bc a b a b b b c ---=+---,不能分解,本选项不合题意; B. ()2222a b c bc --+,不能分解,本选项不合题意;
C. ()()2222()()(2)a b c
bc a b a b c c b ---=+---,不能分解,本选项不合题意; D. ()222222()()()a b c bc a b c a b c a b c -+-=--=+--+,本选项符合题意;
故选:D
6.(2020·山西)把 x 2 - y
2- 2 y -1分解因式结果正确的是( ) A .(x + y +1)(x - y -1)
B .(x + y -1)(x - y -1)
C .(x + y -1)(x + y +1)
D .(x - y +1)(x + y +1)
【答案】A
解:原式=22(21)x y y -++ =22(+1)x y -
=
1)(1)x y x y ++--( 故选:A .
7.(2020·湖北)下列运算不正确的是( )
A .1(1)(1)xy x y x y +--=-+
B .22221()2
x y z xy yz zx x+y+z +++++= C .2233()()x y x xy y x y +-+=+
D .33223()33x y x x y xy y -=-+-
【答案】B
【解析】
根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算,判断即可.
1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y +--=+-+=-+,A 正确,不符合题意;
2222221()()()2
x y z xy yz zx x y x z y z ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦,B 错误,符合题意; 2233()()x y x xy y x y +-+=+,C 正确,不符合题意;
33223()33x y x x y xy y -=-+-,D 正确,不符合题意;
故选B .
8.(2020·廉江期中)在实数范围内分解因式2a 3﹣8a 的结果是( )
A .2a (a 2﹣4)
B .2a (a+2)(a ﹣2)
C .2a (a+4)(a ﹣4)
D .a (a+2)(a ﹣2) 【答案】B
【解析】
解:原式()2242(2)(2).a a a a a =-=+-
故选:B.
9.(2020·山东)设a ,b ,c 是ABC 的三条边,且332222a b a b ab ac bc -=-+-,则这个三角形是( )
A .等腰三角形
B .直角三角形
C .等腰直角三角形
D .等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
解:∵a 3-b 3=a 2b -ab 2+ac 2-bc 2,
∵a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0,
(a3-a2b)+(ab2-b3)-(ac2-bc2)=0,
a2(a-b)+b2(a-b)-c2(a-b)=0,
(a-b)(a2+b2-c2)=0,
所以a-b=0或a2+b2-c2=0.
所以a=b或a2+b2=c2.
故选:D.
10.(2020·上海月考)下列因式分解错误
..的是( )
A.3x2–6xy=3x(x–2y)B.x2–9y2=(x–3y)(x+3y)
C.4x2+4x+1=(2x+1)2D.x2–y2+2y–1=(x+y+1)(x–y–1)【答案】D
【解析】
对于A,3x2-6xy=3x(x-2y),分解正确;
对于B,x2-9y2=(x-3y)(x+3y),分解正确;
对于C,4x2+4x+1=(2x+1)2,分解正确.
对于D,x2-y2+2y-1= x2-(y-1)2=(x+y-1)(x-y+1),故分解因式错误;
故选D.
11.(2020·全国)将多项式x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1分解因式,正确的是()A.(x+y)2B.(x+y﹣1)2
C.(x+y+1)2D.(x﹣y﹣1)2
【答案】B
解:x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=(x 2+2xy+y 2)﹣(2x+2y )+1=(x+y )2﹣2(x+y )+1=(x+y ﹣1)2.
故选:B
12.(2020·全国)分解因式:x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y 的结果是( )
A .(x ﹣y )(x ﹣y+1)
B .(x ﹣y )(x ﹣y ﹣1)
C .(x+y )(x ﹣y+1)
D .(x+y )(x ﹣y ﹣1)
【答案】A
【解析】
当被分解的式子是四,五项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题中x 2﹣2xy+y 2正好符合完全平方公式,应考虑1,2,3项为一组,x ﹣y 为一组.
解:x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y=(x 2﹣2xy+y 2)+(x ﹣y )=(x ﹣y )2+(x ﹣y )=(x ﹣y )(x ﹣y+1). 故选A .
二.填空题(共6小题)
13.(2020·台州月考)分解因式:32a a b a b --+=_________.
【答案】()()()11a a a b +--
解:32a a b a b --+
=()
()32a a b a b --- =()()2a b a a b ---
=()
()21a b a -- =()()()11a a a b +--.
故答案为()()()11a a a b +--.
14.(2020·四川)已知a =2019x+2016,b =2019x+2017,c =2019x+2018,则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为_____.
【答案】3
解:∵a=2019x+2016,b=2019x+2017,c=2019x+2018,
∵a -b=-1,a -c=-2,b -c=-1,
∵a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =2222222222
a b c ab bc ac ++--- =222
()()()2
a b a c b c -+-+- =222
(1)(2)(1)2
-+-+- =3,
故答案为:3.
15.(2020·河北)已知3a b -=,4b c -=-,则代数式()2
a ac
b a
c ---的值是________. 【答案】-3
∵3a b -=,4b c -=-,
∵a -c=-1,
∵()2
a ac
b a
c --- =()()a a c b a c ---
=()()a c a b --
=13-⨯
=-3,
故答案为:-3.
16.(2020·武汉)因式分解24()88a b a b --+的结果是__________.
【答案】4()(2)a b a b ---
()()()()()()22
24()884884842a b a b a b a b a b a b a b a b --+=---=---=--- 故答案为4()(2)a b a b ---. 17.(2020·宁夏)因式分解:22421x
y y -+-=________.
【答案】(21)(21)x y x y +--+
解:22421x y y -+- ()22=421x y y --+
()2
2=41x y -- =(21)(21)x y x y +--+
故答案为:(21)(21)x y x y +--+
18.(2020·吉林)若x 2+4x +8y +y 2+20=0,则x ﹣y =_____.
【答案】4.
由x 2+4x+8y+y 2+20=0得(x+2)2+(y+4)2=0,
∵x+2=0,y+4=0,
解得x =﹣2,y =﹣4,
∵x ﹣y =4;
故答案为:4.
三.解析题(共6小题)
19.(2020·华南师范大学中山附属中学期中)分解因式: (1)221632a a -+
(2)22414x xy y --+
【答案】(1)()2
24a -;(2)()()2121x y x y -+--. (1)221632a a -+ ,
= ()22816a a -+,
=()2
24a -;
(2)22414x xy y --+, ()
224=41x xy y -+-, ()2
=x-2y -1, ()()=x 2121y x y -+--.
20.(2020·福建省惠安科山中学期中)阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=,求m 、n 的值.
解:∵22228160m mn n n -+-+=,
∵222(2)(816)0m mn n n n -++-+=
∵22()(4)0m n n +--=,
∵22()0,(4)0m n n -=-=
∵4,4m n ==.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知2222440x xy y y ++++=,求xy 的值;
(2)已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足22108410a b a b +--+=,求∵ABC 边c 的最大值.
【答案】(1)-4;(2)8
解:(1)∵22
22440x xy y y ++++=, ∵2222440x xy y y y +++++=,
∵()()22
20x y y +++=,
∵0x y +=,20y +=,
∵2x =,2y =-,
∵()224xy =⨯-=-, (2)∵22108410a b a b +--+=,
∵2210258160a a b b -+++=-,
∵()()22
450a b -+=-,
∵5a =,4b =,
∵,,a b c 是ABC ∆的三边,
∵a b c a b -<<+,
∵19c <<又∵c 为正整数,
∵c 的最大值为8.
21.(2020·山西)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如22
424x y x y --+,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为:22424(2)(2)2(2)(2)(22)x y x y x y x y x y x y x y --+=+---=-+-;
这种分解因式的方法叫做分组分解法,利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式:229616x xy y -+-; (2)ABC ∆三边a ,b ,c 满足20a ab ac bc --+=,判断ABC ∆的形状.
【答案】(1)(3x -y+4)(3x -y -4);(2)等腰三角形或等边三角形
解:(1)9x 2-6xy+y 2-16
=(3x -y )2-42
=(3x -y+4)(3x -y -4);
(2)∵a 2-ab -ac+bc=0
∵a (a -b )-c (a -b )=0,
∵(a -b )(a -c )=0,
∵a=b 或a=c 或a=b=c ,
∵∵ABC 的形状是等腰三角形或等边三角形.
22.(2020·新疆)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有一部分多项式只
用上述方法就无法分解,如22
216x xy y -+-.通过观察,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合,再应用平方差公式进行分解: ()()()()2
22222216216444x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=-+--,这种分解因式的方法叫分组分解法.利用分组分解法分解因式:
(1)2241299x xy y ++-;
(2)2222251069a ab m b mn n +-++-.
【答案】(1)(23+3)(233)x y x y ++-;(2))(53(5)3++a b m n a b m n +-+-
解:22
41299x xy y ++- =22(41299)x xy y ++-
=2(23)9x y +-
=(23+3)(233)x y x y ++-
(2)2222251069a ab m b mn n +-++-
=2222))(2510(69a ab b m mn n ++--+
=22((3))5a b m n +--
=[][])(5(3(5+(3)))a b m n a b m n +-+--
=)(53(5)3++a b m n a b m n +-+-
23.(2020·湖北)阅读材料:要把多项式am+an+bm+bn 因式分解,可以先把它进行分组再因式分解:am+an+bm+bn=(∵∵+∵∵)+(∵∵+∵∵)=a (∵+∵)+b (∵+∵)=(∵+∵)(∵+∵),这种因式分解的方法叫做分组分解法.
(1)请用上述方法因式分解:x 2-y 2+x -y
(2)已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ,b 2+bc=12k .c 2+ac=24k ,d 2+ad=24k ,且a≠b ,c≠d ,k≠0
∵求a+b+c 的值;
∵请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d
【答案】(1)(∵−∵)(∵+∵+1);(2)∵0a b c ++=;∵3b a =-,2c a =,3d a =- (1)x 2-y 2+x -y = (x 2 -y 2)+(x -y)=(x+y)(x -y)+(x -y)=(x -y)(x+y+1)
故答案为:(x -y)(x+y+1)
(2)∵22a ac b bc +=+=12k
220a b ac bc -+-=
()()0a b a b c -++=
∵a b
∵0a b c ++=
∵∵a 2+ac=12k ,c 2+ac=24k
2(a 2+ac)= c 2+ac
∵2a 2+ac - c 2=0
得(2a -c)(a+c)=0
∵a 2+ac=12k≠0即a(a+c)≠0
∵c=2a ,a 2=4k
∵b 2+bc=12k
∵b 2+2ba=3a 2
则(∵−∵)(3∵+∵)=0
∵a≠b
∵3b a =-
同理可得d 2+ad=24k ,c 2+ac=24k
d 2+ad=c 2+ac
(∵−∵)(∵+∵+∵)=0
∵c d ≠
∵0a d c ++=
∵3d a =-
故答案为:0a b c ++=;3b a =-,2c a =,3d a =-
24.(2020·河北)整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形.把多项式乘多项式法则反过来,将得到:
()()()()()()c ac ad bc bd ac ad bc bd a c d b c d a b d +++=+++=+++=++,这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做分组分解法.
例:()
22222121x y y x y y ---=-++(第一步) ()2
21x y =-+(第二步) ()()11x y x y =++--(第三步)
(1)例题求解过程中,第二步变形是利用____________(填乘法公式的名称)
(2)利用上述方法,分解因式:222x xz yz xy y +--+.
【答案】(1)完全平方公式;(2)()()x y x y z --+
(1)例题求解过程中,第二步变形是利用完全平方公式. 故答案是:完全平方公式;
(2)222x xz yz xy y +--+
()()2
x y z x y =-+- ()()x y x y z =--+.。