考点15 因式分解-分组分解法(解析版)

考点15 因式分解——分组分解法
一．选择题（共12小题）
1．（2020·重庆月考）已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则()()2222m n pq mn p q +++=（ ）
A ．48
B ．36
C ．96
D ．无法计算
【答案】A
【详解】
解：4m n p q +=+=，
()()4416m n p q ∴++=⨯=，
()()m n p q mp mq np nq ++=+++，
16mp mq np nq ∴+++=，
4mp nq +=，
12mq np ∴+=，
()()2222m n pq mn p q ∴+++，
2222m pq n pq mnp mnq =+++，
mp mq np nq mp np nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，
mp mq mp np np nq nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，
()()mp mq np nq np mq =+++，
()()mp nq np mq =++，
412=⨯，
48=，
故选：A ．
2．（2020·湖北）已知三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则三角形ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】D
∵a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，
∵a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac=0，
∵2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac=0，
∵a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2=0，
即（a -b ）2+（b -c ）2+（c -a ）2=0，
∵a -b=0，b -c=0，c -a=0，
∵a=b=c ，
∵∵ABC 为等边三角形．
故选D ．
3．（2020·河南）已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a ac b a c ---的值为（ ）
A ．4
B ．4-
C ．12-
D ．3-
【答案】D 解：因为3a b -=，4b c -=-，
∵1a c -=-
()22()()()()a ac ab bc a a b c a b a ac b a b a c a c --=--+=---=---，
将3a b -=，1a c -=-代入得：()()3(1)3a b a c --=⨯-=-，
故选：D ．
4．（2020·宁夏月考）多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ）
A ．x +2y +1
B ．x +2y ﹣1
C ．x ﹣2y +1
D ．x ﹣2y ﹣1 【答案】C
解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2
＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）
＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）
＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．
故选：C ．
5．（2020·全国）用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（ ）
A ．()()2222a b b
bc --- B ．()2222a b c bc --+ C ．()()2222a b c bc --- D ．()222
2a b c bc -+- 【答案】D
A. ()()2222()()(2)a b b
bc a b a b b b c ---=+---，不能分解，本选项不合题意； B. ()2222a b c bc --+，不能分解，本选项不合题意；
C. ()()2222()()(2)a b c
bc a b a b c c b ---=+---，不能分解，本选项不合题意； D. ()222222()()()a b c bc a b c a b c a b c -+-=--=+--+，本选项符合题意；
故选：D
6．（2020·山西）把 x 2 - y
2- 2 y -1分解因式结果正确的是（ ） A ．(x + y +1)(x - y -1)
B ．(x + y -1)(x - y -1)
C ．(x + y -1)(x + y +1)
D ．(x - y +1)(x + y +1)
【答案】A
解：原式=22(21)x y y -++ =22(+1)x y -
=
1)(1)x y x y ++--（ 故选：A ．
7．（2020·湖北）下列运算不正确的是（ ）
A ．1(1)(1)xy x y x y +--=-+
B ．22221()2
x y z xy yz zx x+y+z +++++= C ．2233()()x y x xy y x y +-+=+
D ．33223()33x y x x y xy y -=-+-
【答案】B
【解析】
根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y +--=+-+=-+，A 正确，不符合题意；
2222221()()()2
x y z xy yz zx x y x z y z ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦，B 错误，符合题意； 2233()()x y x xy y x y +-+=+，C 正确，不符合题意；
33223()33x y x x y xy y -=-+-，D 正确，不符合题意；
故选B ．
8．（2020·廉江期中）在实数范围内分解因式2a 3﹣8a 的结果是（ ）
A ．2a （a 2﹣4）
B ．2a （a+2）（a ﹣2）
C ．2a （a+4）（a ﹣4）
D ．a （a+2）（a ﹣2） 【答案】B
【解析】
解：原式()2242(2)(2).a a a a a =-=+-
故选:B.
9．（2020·山东）设a ，b ，c 是ABC 的三条边，且332222a b a b ab ac bc -=-+-，则这个三角形是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
解：∵a 3-b 3=a 2b -ab 2+ac 2-bc 2，
∵a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，
a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故选：D.
10．（2020·上海月考）下列因式分解错误
．．的是( )
A．3x2–6xy=3x(x–2y)B．x2–9y2=(x–3y)(x+3y)
C．4x2+4x+1=(2x+1)2D．x2–y2+2y–1=(x+y+1)(x–y–1)【答案】D
【解析】
对于A，3x2－6xy＝3x(x－2y)，分解正确；
对于B，x2－9y2＝(x－3y)(x+3y)，分解正确；
对于C，4x2+4x+1＝(2x+1)2，分解正确.
对于D，x2－y2+2y-1= x2-(y-1)2=(x+y-1)(x-y+1),故分解因式错误；
故选D.
11．（2020·全国）将多项式x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1分解因式，正确的是（）A．（x+y）2B．（x+y﹣1）2
C．（x+y+1）2D．（x﹣y﹣1）2
【答案】B
解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．
故选：B
12．（2020·全国）分解因式：x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y 的结果是（ ）
A ．（x ﹣y ）（x ﹣y+1）
B ．（x ﹣y ）（x ﹣y ﹣1）
C ．（x+y ）（x ﹣y+1）
D ．（x+y ）（x ﹣y ﹣1）
【答案】A
【解析】
当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x 2﹣2xy+y 2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x ﹣y 为一组．
解：x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y=（x 2﹣2xy+y 2）+（x ﹣y ）=（x ﹣y ）2+（x ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣y+1）． 故选A ．
二．填空题（共6小题）
13．（2020·台州月考）分解因式：32a a b a b --+=_________．
【答案】()()()11a a a b +--
解：32a a b a b --+
=()
()32a a b a b --- =()()2a b a a b ---
=()
()21a b a -- =()()()11a a a b +--．
故答案为()()()11a a a b +--．
14．（2020·四川）已知a ＝2019x+2016，b ＝2019x+2017，c ＝2019x+2018，则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为_____．
【答案】3
解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∵a -b=-1，a -c=-2，b -c=-1，
∵a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =2222222222
a b c ab bc ac ++--- =222
()()()2
a b a c b c -+-+- =222
(1)(2)(1)2
-+-+- =3，
故答案为：3．
15．（2020·河北）已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2
a ac
b a
c ---的值是________． 【答案】-3
∵3a b -=，4b c -=-，
∵a -c=-1，
∵()2
a ac
b a
c --- =()()a a c b a c ---
=()()a c a b --
=13-⨯
=-3，
故答案为：-3.
16．（2020·武汉）因式分解24()88a b a b --+的结果是__________．
【答案】4()(2)a b a b ---
()()()()()()22
24()884884842a b a b a b a b a b a b a b a b --+=---=---=--- 故答案为4()(2)a b a b ---． 17．（2020·宁夏）因式分解：22421x
y y -+-=________．
【答案】(21)(21)x y x y +--+
解：22421x y y -+- ()22=421x y y --+
()2
2=41x y -- =(21)(21)x y x y +--+
故答案为：(21)(21)x y x y +--+
18．（2020·吉林）若x 2+4x +8y +y 2+20＝0，则x ﹣y ＝_____．
【答案】4．
由x 2+4x+8y+y 2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，
∵x+2＝0，y+4＝0，
解得x ＝﹣2，y ＝﹣4，
∵x ﹣y ＝4；
故答案为：4．
三．解析题（共6小题）
19．（2020·华南师范大学中山附属中学期中）分解因式： （1）221632a a -+
（2）22414x xy y --+
【答案】（1）()2
24a -；（2）()()2121x y x y -+--． （1）221632a a -+ ，
= ()22816a a -+，
=()2
24a -；
（2）22414x xy y --+， ()
224=41x xy y -+-， ()2
=x-2y -1， ()()=x 2121y x y -+--．
20．（2020·福建省惠安科山中学期中）阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值．
解：∵22228160m mn n n -+-+=，
∵222(2)(816)0m mn n n n -++-+=
∵22()(4)0m n n +--=，
∵22()0,(4)0m n n -=-=
∵4,4m n ==．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知2222440x xy y y ++++=，求xy 的值；
（2）已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22108410a b a b +--+=，求∵ABC 边c 的最大值．
【答案】（1）-4；（2）8
解：（1）∵22
22440x xy y y ++++=， ∵2222440x xy y y y +++++=，
∵()()22
20x y y +++=，
∵0x y +=，20y +=，
∵2x =，2y =-，
∵()224xy =⨯-=-， （2）∵22108410a b a b +--+=，
∵2210258160a a b b -+++=-，
∵()()22
450a b -+=-，
∵5a =，4b =，
∵,,a b c 是ABC ∆的三边，
∵a b c a b -<<+，
∵19c <<又∵c 为正整数，
∵c 的最大值为8．
21．（2020·山西）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如22
424x y x y --+，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。

过程为：22424(2)(2)2(2)(2)(22)x y x y x y x y x y x y x y --+=+---=-+-；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：229616x xy y -+-； （2）ABC ∆三边a ，b ，c 满足20a ab ac bc --+=，判断ABC ∆的形状.
【答案】（1）（3x -y+4）（3x -y -4）；（2）等腰三角形或等边三角形
解：（1）9x 2-6xy+y 2-16
=（3x -y ）2-42
=（3x -y+4）（3x -y -4）；
（2）∵a 2-ab -ac+bc=0
∵a （a -b ）-c （a -b ）=0，
∵（a -b ）（a -c ）=0，
∵a=b 或a=c 或a=b=c ，
∵∵ABC 的形状是等腰三角形或等边三角形．
22．（2020·新疆）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只
用上述方法就无法分解，如22
216x xy y -+-．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ()()()()2
22222216216444x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=-+--，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用分组分解法分解因式：
（1）2241299x xy y ++-；
（2）2222251069a ab m b mn n +-++-．
【答案】（1）(23+3)(233)x y x y ++-；（2）)(53(5)3++a b m n a b m n +-+-
解：22
41299x xy y ++- =22(41299)x xy y ++-
=2(23)9x y +-
=(23+3)(233)x y x y ++-
（2）2222251069a ab m b mn n +-++-
=2222))(2510(69a ab b m mn n ++--+
=22((3))5a b m n +--
=[][])(5(3(5+(3)))a b m n a b m n +-+--
=)(53(5)3++a b m n a b m n +-+-
23．（2020·湖北）阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（∵∵+∵∵）+（∵∵+∵∵）=a （∵+∵）+b （∵+∵）=（∵+∵）（∵+∵），这种因式分解的方法叫做分组分解法．
（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x -y
（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a≠b ，c≠d ，k≠0
∵求a+b+c 的值；
∵请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d
【答案】（1）（∵−∵）（∵+∵+1）；（2）∵0a b c ++=；∵3b a =-，2c a =，3d a =- （1）x 2-y 2+x -y = (x 2 -y 2)+(x -y)=(x+y)(x -y)+(x -y)=(x -y)(x+y+1)
故答案为：(x -y)(x+y+1)
（2）∵22a ac b bc +=+=12k
220a b ac bc -+-=
()()0a b a b c -++=
∵a b
∵0a b c ++=
∵∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k
2(a 2+ac)= c 2+ac
∵2a 2+ac - c 2=0
得(2a -c)(a+c)=0
∵a 2+ac=12k≠0即a(a+c)≠0
∵c=2a ，a 2=4k
∵b 2+bc=12k
∵b 2+2ba=3a 2
则（∵−∵）（3∵+∵）=0
∵a≠b
∵3b a =-
同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24k
d 2+ad=c 2+ac
（∵−∵）（∵+∵+∵）=0
∵c d ≠
∵0a d c ++=
∵3d a =-
故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-
24．（2020·河北）整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形．把多项式乘多项式法则反过来，将得到：
()()()()()()c ac ad bc bd ac ad bc bd a c d b c d a b d +++=+++=+++=++，这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
例：()
22222121x y y x y y ---=-++（第一步） ()2
21x y =-+（第二步） ()()11x y x y =++--（第三步）
（1）例题求解过程中，第二步变形是利用____________（填乘法公式的名称）
（2）利用上述方法，分解因式：222x xz yz xy y +--+．
【答案】（1）完全平方公式；（2）()()x y x y z --+
（1）例题求解过程中，第二步变形是利用完全平方公式． 故答案是：完全平方公式；
（2）222x xz yz xy y +--+
()()2
x y z x y =-+- ()()x y x y z =--+．。