浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）
{}
{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．
B ．
C ．
D ．
{}
23x x <≤{}
24x x <<{}
2e x x <≤{}
1e x x <≤2．已知复数
，则在复平面内对应的点位于（ ）
i 3
1i z -=
-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限
3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35
B ．34，34
C ．34.5，35
D ．34.5，34
4．已知直线与圆
有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22
:1O x y +=k A ．1
B ．
C ．
D ．1
3
1
-2
-5．在中，角的对边分别是，且
，则
ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C
=+++（ ）
cos A =A ．B ．C ．D ．12
-
13
12
23
6．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为
1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）
A ．2
B C ．D ．83
7．已知，则（ ）4sin25α=-
tan2πtan 4α
α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4
B ．2
C ．
D ．2
-4
-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于
，且与的
22
:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）
,B
D BF DF
+A
．B C
D
2
1
-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且
，设函数
()()
,f x g x R ()()e x
f x
g x +=，则
（ ）
()()()
g x G x f x =
()
G x A ．是奇函数B ．是偶函数
C ．在上单调递减
D ．在上单调递增
R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．
的图象关于直线
对称
B ．的最小值为()
f x π
3x =
ω1
2
C ．的最小正周期可以为
D ．的图象关于原点对称()f x 4π
5
2π3f x ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖）
，其四条侧棱均相
1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，
，容器的深度为
，容器壁的厚度忽略
1111111
1m 224AB BC A B B C
=
===1m
不计，则下列说法正确的是（ ）
A ．1AA =
B ．该四棱台的侧面积为
(2
m
C ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点
A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
7
12x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取
22
224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 1
2
AF AF 值范围是
．
14．已知两个不同的正数满足
，则的取值范围是
．
,a b 33
(1)(1)a b a b ++=
ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4x
f x =
(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；
()
y f x
=()()
1,1f l y (2)探究
的零点个数．
()
f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A B
C -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．
1AM BA ⊥
(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．
{}n a ()122n n na n a +=+1
4a
=(1)求
的通项公式；
{}n a
(2)求
的前项和．
{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率
，召回率
，卡帕系数
()
Q P A B =()R P B A =，其中．
1o e
e p p k p -=
-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷
实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计
50
50
100
(2)对任意一次测试，证明：
．
()
212Q R QR k Q R P AB +-=-
+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别
2
:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．
PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：
；
4TM TN
=（ⅱ）求的面积的最小值．
PNT
【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N
⋂【详解】因为，
{}
{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以
．
{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B
【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
()()()()
3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---=
===----+所以，
2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D
【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.
【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，
27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，
3435
34.52+=平均数为．
()1
272830343535404334
8⨯+++++++=故选：D.4．B
，求解即可.
1
≤【详解】由直线与圆有公共点，
30kx y k --=22
:1O x y +=可得圆心
到直线的距离为
，
()
0,0O 30kx y k
--=1
d =
≤
解得，所以的取值范围为
．
k ≤≤
k ⎡⎢⎣故选：B.
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.
222
b c a bc +-=-【详解】因为，
()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得
，即，
()()2222a b c b c b c
=+++222
b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-
故选：C.6．A
【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 11
3OPD V S AC =⨯
中，结合，即可求解.
AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体
中，平面，
1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，
AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B
所以四面体的体积为，且，
1ACPD 11
3OPD V S AC =⨯ AC =
在对角面中，可得
，
11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=
--
所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.
7．D
【分析】由已知可得，利用
，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4α
πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=
++【详解】因为，所以，
222
2sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++2
51tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4αα
παα=⨯
-⎛
⎫+ ⎪⎝⎭22
1tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B
【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得
，利用两点1212,x x x
x +22
121x x +=间距离公式求出
，并利用不等式方法求出其最小值.
BF DF
+【详解】由题可知
．设圆，，.
(
F 2
2:()
2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则
，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故
.()2
22
12121221
x x x x x x +=+-=222222
121212112213y y x x x x +
=+++=++=+=因为
，所以
，同理可得
2
21
1
1y x -=
11
BF
==
=
-.
21
DF =-故
.
)1
22
BF DF y
y +=+
-又，且，故，从而
22123y y +=12,1y
y
≥1
y =
≤
=2y
=≤=.
())2
2
121
y y -≤
所以
)12
2
BF DF y y +=+-2
=
2
=2
=2
≥2
=
=当时，有，
，此时
1a =()
0,1B (
D 11BF DF +=
-+=所以
的最小值是BF DF
+故选：B.
关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到
，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD
【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、
的解析式，从而得到
的解析式，再
()
f x ()
g x ()
G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.
()
G x 【详解】因为
①，所以
，
()()e x
f x
g x +=()()e x
f x
g x --+-=即②，联立①②，解得，()()e x
f x
g x --=()()e e e e ,22x x x x
f x
g x --+-==所以，定义域为，又，
()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x x
x x
G x G x ----==-+所以是奇函数，又
，
()G x ()()()
()
()
22
2
2
e
e e e 4
0e
e
e
e
x
x x x x
x x
x G x ----+--=
+'=
>+所以
在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．
()
G x R 故选：AD
10．ABD
【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线
对称可得判断B ，由周
π
3x =
()
132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点
对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图
()f x π
3y ()f x 象关于直线
对称，故A 正确；
π
3x =
对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小
()π
πππ3
32k k ω+
=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；
12
对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错
4π
5T =
2π52T ω==
ω误；
对于D ，因为，代入，得
2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，
()2πsin 2π03f k ⎛⎫
-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到
()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故
的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫
-
⎪⎝⎭2π3f x ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭故选：ABD 11．BD
【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】
对于A ，由题意可得
，故A
错误；132AA ==对于B ，梯形
11ADD A =
所以梯形的面积为
11ADD A 24
2+=
梯形，
11ABB A
=所以梯形
的面积为，11ABB A 1
22
+
=
故该四棱台的侧面积为，故
B
正确；
2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，
11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，
较长的底边上的底角的正切值为，则，1
221
2=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，
,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以
，从而球的半径为
2
2tan 21tan MOP
MOP ∠=-
∠tan
MOP ∠=，
0.9
=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；
0.9cm
对于D ，将平面与平面展开至同一平面，
ABCD 11DCC D 如图（2），则
，
1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），
ABCD 11BCC B 则
，145333044AC ⎛=+=< ⎝
D 正确．故选：BD
难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672
【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.
【详解】因为通项为，令，得，
712x x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭77721771C (2)2C r
r r r r r
r T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为
．
3x 72
272C 672-=故672.
13．1,33⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出
，再根据椭圆的定义，把换成a b c 1
2c a
=1AF ，最后根据
，代入即可.
2
2a AF -[]2,AF a c a c ∈-+
【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >1
2c a
==，
12
2
2
2
221AF a AF a
AF AF AF -==-因为，即
，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
所以
，即.
2211,33a AF ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
1
21,33AF AF ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.
【详解】将
两边展开，33
(1)(1)a b a b ++=得到
，2211
3333a a b b a b +++=+++
从而
，
()
()2
21130
a
b a b a b ⎛⎫
-+-+-= ⎪⎝⎭故
，而，
()130a b a b ab ⎛⎫-++-
= ⎪⎝⎭a b
¹故
，又，130
a b ab ++-
=00a b ＞，＞
故
，
1
33a b ab =++>从而
．32
1+<设函数
，则
，()3
2
23g x x x
=+11
2g
g ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭
观察易得
在
，
()
g x ()0,∞+12<
又，所以
．
0,0a b >>104
ab <<
故答案为
.10,4⎛⎫ ⎪
⎝⎭
关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等
式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.
321+<()3223g x x x =+15．(1)1
2
-
(2)
有两个零点
()
f x
【分析】（1）求得
，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=
()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；
y
（2）得到在上递增，结合，得到
，()1e 4x f x '=
()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得
，进而求得
单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.
()00
f x '=()
f x
【详解】（1）解析：由函数，可得
，()1e 4x f x =
()1e 4x f x '=()e 1142f ='-
又
，所以的方程为
，即，()e 11
4f =
-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得
，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-
l y 12-
（2）解：因为
和上均单调递增，1
e 4x y =y =()0,∞+
所以
在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 0
4442f f ⎛
⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，
，
在
单调递减；
()
00,x x ∈()0
f x '<()
f x ()00,x 当
时，
，
在
单调递增，
()0,x x ∞∈+()0f x '>()
f x ()0,x ∞+又因为，
()()1
4100111
e 1e 0,110,4e 20
10041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以
有两个零点．
()
f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
e x
ln x
①，构造函数或；
e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()ln
f x x x =()e x
g x x =②，构造函数或
；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.
e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()ln
f x x x =±()e x
g x x =±16．(1)证明见解析
(2)4
π
【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出
1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；
BC
⊥11AA C C AM
BC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点
，根据向量垂直得到方程，求出
()
0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.
a M ⎛=
⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，1
11ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，
1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，
222
AB AC BC =+∴，
BC AC ⊥，平面，
1AC AA A
⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，
AM ⊂ 11AA C C ∴，
AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，
AM ⊂AMB
平面平面．
∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，
1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则
．
(
)
)()1
0,0,0,,,0,1,0C A
A
B
设点，()0,0,M a 则
．
(
)(
)(
)1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==
，解得
．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=
a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为
，
AMB ()
,,m x y z =
则可取
．
0,0,
m AM z m AB y ⎧⋅==⎪
⎨
⎪⋅=+=⎩
(m = 易知为平面的一个法向量．
()0,1,0n CB ==
AMC
cos ,m n m n m n ⋅〈〉===
⋅
故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π
17．(1)()12n
n a n n =+⋅(2)
()
21224
+=-+⋅-n n S n n
【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得
，利用错位相减法可求的前
()1212223212n
n S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.
n n S 【详解】（1）由题易知，且，
0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()234123
121232425
1231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
- 所以，
()()1
2
1121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，
()1
12,n n a n n a =+⋅所以
．
()12n
n a n n =+⋅（2）
，①()1212223212n
n S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②
()()21
21221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得
．
()()
11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③
1212222n
n T n =⨯+⨯++⋅ 则
，④
()231
21222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，
()()()1121112222222122
n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以
．
()()()1121122124224
n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32
【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；
（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.
k 【详解】（1），
()()()
40
0.62564
P AB Q P A B P B ==
=
=．
()()()
40
0.850
P AB R P B A P A ==
=
=（2）
，
()()()()()()
1111111o e o
e e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明
，
()
212Q R QR k Q R P AB +-=-
+-需证明
．
()()
()()()()
()
1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=
+---等式右边：
()()()()()()()()
||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=
+-+-．
()()()()()()()()()()()
()()
22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=
+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为
，
()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()
()()()()()()()
()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=
⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦
．
()()()()()()()
22P A P B P AB P A P B P A P B +-=
+-等式左右两边相等，因此
成立．
()
212Q R QR
k Q R P AB +-=-
+-（3）由（2）得
，因为，
0.6250.820.6250.8
10.32
0.6250.820.4k +-⨯⨯=-
=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）16
3
【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；
PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由
代入计算，即可
4
3
PNT
PNE
S S =△△12PNE
S EP EN = 证明.
【详解】（1）由题意知，
()
1,0F 设
，则
，
()
2,2(0)
P n n n >21
PF n =+所以
，所以
，21GF FH n ==+(
)2,0
G n -所以直线的斜率为，方程为．
PG 1n (
)
2
1
y x n n =+联立方程得，
()
2
21,
4,
y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n
-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）
（ⅰ）设直线的方程为，
PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点
，直线的斜率为，方程为，
(
)22,0
H n +PH n -()2
2
y n x n
=---由得，由
，()
224,
2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--
得．22444,2M n n n n ⎛
⎫++-- ⎪
⎝
⎭作，垂足为，则，直线的方程为
，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛
⎫=---
⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()
2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨
⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭所以
，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫
=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =
由相似三角形的性质可得．
4TM TN
=（ⅱ）由（ⅰ）知
，所以
，故
，
4TM TN
=4TP TE
=4
3
PNT PNE
S S =
△△因为
，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），
()
3
23
311114222PNE
n S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故
，即的面积的最小值为．
416
3
3PNT PNE
S S =
≥
△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为
；
()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。