数学活动课(一)──二元一次方程与平面直角坐标系-

数学活动课
课时安排 2课时
从容说课
活动课，意在提高学生的实践与综合应用能力，本章设有两节活动课．•活动1让学生感受平面直角坐标系在二元一次方程组中的应用，通过坐标法的应用，使学生看到平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁，为解决数学问题提供了一个强有力的工具．通过学习，让学生初步了解用二元一次方程组的图象估计方程组的解．
通过活动2，让学生体会在分析解决实际问题的过程中，如何建立数学模型．•提高学生的数学应用意识，从而体现“实践─理论─实践”的认识过程．
活动过程，应尽量放手，相信学生，让学生在克服困难的过程中体验如何探究，鼓励探究多种分析解决问题的方法，使探究活动活跃起来．激发学生积极思维，使不同水平的同学都各有收获．
数学活动课（一）──二元一次方程与平面直角坐标系
(第8课时)
三维目标
一、知识与技能
1．了解二元一次方程和平面直角坐标系的关系；
2．理解二元一次方程组的图象解法．
二、过程与方法
1．使学生初步理解二元一次方程与平面直角坐标系的关系；
2．通过学生的思考与操作，发现二元一次方程的图象，•从而引入二元一次方程组的图象解法，初步渗透数形结合的数学思想．
三、情感态度与价值观
通过探索活动，提出方程组和图象间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发学生的学习热情．
教学重点
1．了解二元一次方程的图象；
2．根据二元一次方程组的图象求方程组的近似解．
教学难点
把二元一次方程与平面直角坐标系中的直线一一对应起来，即数形结合的意识与能力的培养．
教具准备
投影片两张
1．投影片1（活动内容1）；
2．投影片2（随堂练习）．
教学过程
一、创设问题情景，温故知新
师：举例说明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解的个数如何？为什么？
生：例如x+y=8，含有两个未知数x 、y ，且未知数的项的次数都是1次，所以x+y=8是二元一次方程．
44,
x y =⎧⎨
=⎩是适合方程x+y=8的一组未知数的值，所以它是二元一次方程x+y=8的一个解． 我们不难发现适合x+y=8的一组未知数的值不只44,x y =⎧⎨=⎩
，比如1,2,3,7,6,5,
x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩……都适合方程x+y=8，所以它们都是x+y=8的解．x+y=8有无
数多个解，只要给出一个x 的值，代入x+y=8中，就可以得到一个y 的值．这样一组一组的未知数的值都是x+y=8的解．
师：很好，上述方程组的一组解，你能不能在平面直角坐标系中用一个点表示出来？
二、活动开始
活动1
出示投影片1：
1．二元一次方程x-y=0的解有多少个？写出其中6个．
2．在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，观察它们有什么特征？
3．将这些点连接起来，你发现什么？
4．在你的连线上任取一点，这一点的坐标是方程x-y=0的解吗？
组织学生活动，分以下三个层次：
1．学生自己动手操作；
2．教师参与指导（坐标系的规范画法，描点的技巧等）；
3．学生再以小组为单位，各组之间相互交流，完善结论，•以组为单位展示成果． 解答问题：
1．x-y=0的解有无穷多个．例如
3,2,1,1,2,3,3,2,1,1,2, 3.x x x x x x y y y y y y =-=-=-===⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-=-=-===⎩⎩⎩⎩⎩⎩
2．如下图所示
3．将这些点连起来，它们都在同一直线上．
4．在这条直线上任取一点，可以发现其横坐标与纵坐标相等，即x=y．所以它满足x-y=0，也就是说这个点的坐标是方程x-y=0的解．
师：仿照同样的方法把方程改为x+y=8，再做一遍，看一看有什么规律？
活动结果：
1．以方程x+y=8的解为坐标的点都在一条直线上；
2．直线上任一点的坐标，都是方程x+y=8的解．
归纳总结：
以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x-y=0的图象，所以方程x-y=0•的图象是一条直线．
刚才我们研究的两个方程都是二元一次方程，于是可以推测二元一次方程的图象是一条直线．
活动2
在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组
24,
1,
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
中两个二元一次方程的
图象，你能从图象中找出方程组的解吗？
学生讨论时教师参与指导：
①两点确定一条直线；
②从二元一次方程中取两个不同的解，在直角坐标系中描点即可；
③取解时尽量简单为好，如取坐标轴上的点．
小组展示：
在2x+y=4中令x=0得y=4，令y=0，得x=2，所以
0,2,
4;0.
x x
y y
==
⎧⎧
⎨⎨
==
⎩⎩
分别是方程2x+y=4
的两个解．•同样的办法可以得到x-y=-1的两个解：
0,1,
1;0. x x
y y
==-⎧⎧
⎨⎨
==
⎩⎩
在同一平面直角坐标系中描点作图（如下图所示）．
两个二元一次方程的图象是两条直线，如果要找方程组的解，它必须同时满足两个方程，所以这个解的坐标的点应同时在两条直线上，它应该是两条直线的公共点．因此我们找公共点对应的横坐标和纵坐标，即可得到方程组的解．
师：如何找这个交点的横、纵坐标呢？
生：过交点分别做坐标轴的垂线，分别交坐标轴于A 、B 两点，x•轴上的横坐标和y 轴上的纵坐标就是这个方程组的解．
观察图象可知，这个方程组的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩
师：请同学们用我们学过的代入法或加减法验证这个方程组的解的正确性．
师：因此我们又了解到一个解二元一次方程组的新方法──图象法．下面我们来看一个例题：
例：用图象法解二元一次方程组：
22,2 2.
x y x y -=-⎧⎨-=⎩
分析：在同一平面直角坐标系中作出相应的两个二元一次方程的图象，观察图象交点，便可得出方程组的解．
解：如图，在同一平面直角坐标系中作出x-2y=-2与2x-y=2的图象．
如图所示：
观察图象得两条直线交点为P（2，2）．
所以方程组
22,
2 2.
x y
x y
-=-
⎧
⎨
-=
⎩
的解为
2,
2.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
三、随堂练习
（出示投影片2）
1．用作图的方法解下列方程组．
（1）
24,4,
(2)
2312.2 1. x y x y
x y x y
+=+=
⎧⎧
⎨⎨
-=-=-⎩⎩
2．如下图，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，与甲相距______千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为______小时；
（3）乙从出发起，经过______小时与甲相遇；
（4）甲行车的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系式是_______；
（5）如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______小时与甲相遇，•相遇处离乙的出发点_______千米，并在图中标出其相遇点．
答案：1．（1）3,
1,(2)2. 3.
x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 2．（1）10 （2）1 （3）3 （4）由于总路程=起始距离+速度×时间，设甲行走速度为v 千米/时，•起始距离为s ，则s=s 0+vt ，如图8．4-4可看出L 甲过（0，10）和（3，22.5）两点，所以将这两点坐标代入s=s 0+vt 中得
00010,10,2522.53..6s s s v v =⎧=⎧⎪⎨⎨=+=⎩⎪⎩
解得 所以s 与t 之间的关系式是s=10+256
t （t ≥0） （5）如果乙不出现故障，乙行走的路程s 与时间t 的关系式为s=15t （t ≥0），在同一坐标系中画出甲走路与乙骑自行车走的路程与s 的关系式表示的图象，如下图所示．
由图可知乙出发后经过1213小时与甲相遇，相遇时离出发点约为18013
千米．
四、课时小结
1．知道二元一次方程的图象是一条直线；
2．通过图解法可以估计二元一次方程组的解．•或者说得到二元一次方程组的近似解；
3．了解图象法解二元一次方程组的操作步骤．
板书设计
二元一次方程与平面直角坐标系
一、二元一次方程与坐标
二、二元一次方程组的图象
三、图象法解二元一次方程组
例：
四、课堂练习
（学生板演）
五、小结
活动与探究
有一组数同时适合x+y=1和x+y=2吗？在同一坐标系中作出两个方程的图象，你能悟出点什么吗？
[过程]学生通过尝试，很容易发现，没有一组数可以同时适合方程x+y=1•和x+y=2．即
方程组
1,
2.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
无解．
我们在同一坐标系中作出方程x+y=1和方程x+y=2的图象．观察发现它们是两条平行直线，即没有公共点．
[结果]我们从中可以悟出二元一次方程组的解与对应两条直线的公共点有关，两条直
线公共点的个数即方程组解的个数．
备课资料
视野窗：违反准则的负数
在历史上，因为负数概念不易掌握，所以经过很长时间它才获准进入数学的庄来大殿，意大利数学家斐波那契是以虚心态度来对待这些数的第一批人之一．有一次，他在处理一个财政问题时，发现除非考虑一个负数，否则问题不可有解．他不像一般人那样耸耸肩膀，不屑理睬，而是扎扎实实地看待了它，把它描述为财政上的一个亏损．他写道：“我已经证明这个问题无解，除非人们承认第一个人负有债务．”
在《大技术》中，数学家卡尔达诺正式接受了负数概念并说明了支配它们的法则，他还进一步得到了一种全新的，他称之为“虚构的”或“诡辩的”数，这就是负数的平方根，其概念比负数本身更难掌握，因为没有任何实数在自乘以后能得出一个负数．今天数学家
，•记作“i”．当一个这样的数和一个实数结合起来时，例如1+2i，就叫做一个“复数”．。