【金版学案】2013-2014学年度高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用同步辅导与检测课件 新人教A版必修

小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与时间 t(s)的函数关系
式是 s＝3cos gl t＋3π，其中 g 是重力加速度，当小球摆动的
周期是 1 s 时，线长 l 等于( D )
g
g
g
g
A.π
B.2π
C.π2
D.4π2
3．函数y＝－xcos x的部分图象是( )
解析： 从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除 A、C，注意到当x∈0，π2 时，f(x)<0，当x∈－π2，0 时， f(x)>0，则应排除B，故答案选D.
1．周期性 三角函数模型
思考应用
1．下面是钱塘江某个码头今年春季每天的时间(单位：时) 与水深(单位：米)的关系表：
时 间
0∶00
3∶00
6∶00
9∶00
12∶00
15∶00
18∶00
21∶00
24∶00
水 深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
请仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？
单三角方程，但 到底取何值却值得考虑．若得方程sin
＝ 1 ，那么 是取 π ，还是取5π 呢？这就要看所代入的点是
在上2 升的曲线上，还6 是在下降的6 曲线上了．若在上升的曲线
上， 就取
π 6
，否则就取 5π
6
，而不能同时取两个值．
跟踪训练
2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t (0≤t≤24，单位： 小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
发现：在[0,24]范围内，方程sin πx＝0.2的解一共有4个，
6
从小到大依次记为：
xA，xB，xC，xD，则xB≈6－0.3848＝5.6152，xC≈12＋ 0.3848＝12.3848，
xD≈12＋5.6152＝17.6152. 因此货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟 左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30 分钟左右出港，每次可以在港口停留5小时左右．
6
6
分析：用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数
学问题？
水深≥5.5米，得出2.5sin πx＋5≥4＋1.5，即sin ≥π0x.2.
6
6
解析： 由题意得2.5sinπx＋5≥4＋1.5，
即sin π6x≥0.2，
6
下面解三角不等式sin πx ≥0.2， 由π6x已≈0知.2当01s4i，nπ6xx≈＝0.03.824时8，，6 记为xA≈0.3848，结合图象
散点图发现函数模型为y＝Asin(ωx＋ )，通过分析数据得到
其周期及其振幅，当然还借助了计算器功能求出 值，以及
利用Excel工具拟合了数据．这些都值得学习重视．
跟踪训练
3．下表是阿拉斯加的安克雷奇一年中10天的白昼时间.
日期 小时
1月1 日
5.59
2月 3月 4月 5月6 6月 8月 9月 10月 28日 21日 27日 日 21日 14日 23日 25日
∴y＝12cosπ6t＋1，(0≤t≤24)． (2)由题意，当海浪高于 1 米时才对冲浪爱好者开放， 所以12cos6πt＋1>1，即 cosπ6t>0， ∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋2π，(k∈Z)
⇒12k－3<t<12k＋3.
又0≤t≤24，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00 时间之间，
(4) 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化 规律．(研究数据的两种形式)
2．解三角函数应用题的基本步骤
第一步，阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐 句，，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景， 在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应 的数学问题．
第二步，搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到 的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知 识以及其它相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题 转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三 角函数模型．
已知函数模型解决实际问题
某港口水的深度y(米)是时间t，(0≤t≤24)(单位：时) 的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.0 7.0 10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数y＝Asin ωt ＋B的图象．
第三步，利用所学的三角知识对得到的三角函数模型 予以解答，求得结果．
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案．
思考应用
2．如思考应用1中一艘货船的吃水深度(船底与水面的
距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与
洋底的距离)，试问：该船何时能够进入港口？在港口能待多
久？(已知当sin πx ＝0.2时， πx ≈0.2014，x≈0.3848)
答案：D
由图象研究函数的性质 函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可 能是( ) A．f(x)＝－x－cos x B．f(x)＝－x－sin x C．f(x)＝|x|sin x D．f(x)＝|x|cos x 分析：本题是利用已知图象探求函数解析式的试题，也 称之为信息给予题．
解析：从图中可以看到函数为奇函数，因此可以排除A、 D，注意到x＝±π时，f(±π)＝0的可能性，则应排除B，故答 案选C.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt ＋b的图象．
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、 振幅A及函数表达式；
解析：根据表中数据画散点图，并用平滑曲线将其连接起
来，可如下图所示，图：略．
观察图象知，可以用函数y＝Asin(ωx＋ )来拟合这些散
点．观察图中曲线，其周期约为12.3小时，即 2ωπ＝12.3，所以ω ＝0.511.由数据可知高低海浪之间的高度差为6.6米，故振幅A＝
＝y＝632.2.63.7.所5，以所，以函s数in 的解＝析式≈为0.y8＝233.，.7335.c3osisn
答案：C
点评：由函数图象寻求函数解析式是近几年的热点试题， 解决此类问题，一般是根据图象所反映出的函数性质来解决， 而性质，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域， 还有零点、特殊点等都可以作为判断的依据．
跟踪训练
1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s厘米和时间t秒的函数关系为：s＝6sin 2πt＋π6 ，那 么单摆来回摆动一次所需的时间为____1____秒．
三角函数
1.6 三角函数模型的简单应用
1．了解曲线y＝Asin(ωx＋ )在物理上的应用，了解建
立该类问题的Leabharlann Baidu学模型所应掌握的物理知识．
2．理解并掌握解数学应用问题的一般步骤，掌握将所 发现的规律抽象为恰当的三角函数问题的方法，并能正确选 择恰当的角作为变量建立函数关系．
基础梳理 三角函数模型的简单应用
∴取k＝1, 从而有9<t<15.
因此在一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时间之间， 上午9∶00至下午15∶00才对冲浪爱好者开放，有6个小时 可供冲浪者进行运动．
由实际数据拟合函数
下表给出了12月1日和12月2日两天内的海浪高 度(相对于海堤上的零标尺记号，以米为单位)．请依据此表 预测12月5日下午1时的海浪高度.
分析： 这是一道开放性试题，应该有多种不同答案．现 将部分答案列举如下．
答案：(1)水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．
(2)水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直 减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减 少．
(3)水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变 化规律．
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、 最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
解析：(1)由已知数据，知y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3， B＝10.
∴y＝3sin π t＋10，(0≤t≤24)． 6
(2)由题意，知该船安全进出港时，水深应不小于5＋6.5 ＝11.5(米)，
所即∴s2以iknπ3π6＋sitn≥π6π6≤12t＋，t1π6≤02≥k1π1＋.5，，56(πk∈Z)⇒ 12k＋1≤t≤12k＋5，
又0≤t≤24，∴取k＝0或k＝1.
从而有1≤t≤5或13≤t≤17.
因此在一天中，该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下 午17时出港，在港口内最多能停16个小时．
t
0∶0 1∶0 2∶0 3∶0 4∶0 5∶0 6∶0 7∶0 8∶0 9∶0 10∶ 11∶0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
12.1 2.4 1.2 －0.1 －1.5 －2.5 －3.0 －2.7 －1.6 0.2 2.1 3.4 3.6
12.2 3.1 2.0 0.6 0.6 －2.2 －3.6 －3.2 －2.5 －0.9 －1.1 2.9 3.9
1．建立三角函数模型解决实际问题
三角函数在数学中有着广泛的应用，在实际生活中也 可以解决很多问题，如某天某段时间内温度的变化规律等．
如果某种现象的变化具有________，根据三角函数的 性质，我们可以根据这一现象的特征和条件，利用三角函数 知识构建数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的 数学模型——______________.
点评：(1)本题以应用题的形式考查热 点题型，设计新 颖别致，独具匠心；
(2)此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，
实质上是用“待定系数法”确定A， ω， ，B.ω与周期有关， 可通过T2＝π 求得，而关键的一步在于如何确定 .通常是将
图象上已ω知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于 的简
10.23 12.38 15.91 16.71 19.40 15.93 12.16 9.14
12月 21日
5.40
(1)以日期在1年365天中的位置序号为横坐标，白昼时间y 为纵坐标，描出这些数据的散点图；
(2)确定一个满足这些数据的余弦函数；
(3)用(2)中的余弦函数模型估计安克雷奇7月3日的白昼时 间．
(0.511x.因＋φ为) 当t＝0时，
＝－0.56，利用计算器
求得 ＝2.165， 从而y＝3.3 sin(0.511x＋2.165)，12月5日下午1
时即t＝109时，此时浪高约为y＝3.3 sin(0.511×109＋2.165)＝
3.2米．
点评：拟合数据是一项重要的数据处理能力．本题利用
(2)依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根 据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间， 有多少时间可供冲浪者进行运动？
分析：首先由对表格中数据的综合处理可得函数的周期、 最值等，然后将(2)转化为简单的三角不等式．
解析：(1)由已知数据，知 y＝f(t)的周期 T＝12，振幅 A＝12，b＝1.
t
12∶ 13∶ 14∶ 15∶ 16∶ 17∶ 18∶ 19∶ 20∶ 21∶ 22∶ 23∶ 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
12.1 2.9 1.6 0.2 －1.2 －2.4 －3.6 －3.1 －2.3 －0.7 1.3 2.9 3.6
12.2 3.6 2.5 1.0 －1.5 －2.4 －3.0 －3.4 3.0 1.7 0.2 2.2 3.5
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米 或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即 可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希 望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长 时间？(忽略进出港所需时间)
自测自评
1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移和时 间的函数关系式为：s＝6sin 2π·t＋π6 ，则单摆的运动周期为 ________，最大位移是________．
解析：T＝2ωπ＝22ππ＝1，smax＝6. 答案：1 6
2．一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，
解析：(1)
(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间关系近似为
y＝Acos(ωx＋ )＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最
小值为5.4，即ymax＝19.4，ymin＝5.4. 19．4－5.4＝14，∴A＝7. 19．4＋5.4＝24.8，得t＝12.4.