静电场的能量

【解】带电球形电容器的电场分布是对称的，由有介质中 的高斯定理可求其电场强度的大小为
E
Q
40 rr 2
则电场能量密度为
we
1 2
0
r
E
2
Q2
322 0 r r 4
现取半径为r、厚为dr的球壳为一体积元，则该体积元的体积为
dV 4r2dr
因此，球壳中储存的电场能量为
于是总能量为
dWe
wedV
Q2
8 0 r r 2
U Ed
将平行板电容器的电容公式（7-38）带入式（7-43），可得
We
=
1 2
CU
21 20r Sd(Ed )21 2
0r E2Sd
1 2
E 2V
上式说明了电场能量的携带者是电场本身。
由上式可得单位体积电场内所具有的电场能量为
we
We V
=
1 E2
2
上式表明，电场的强度越大，电场的能量密度也越大。上 式虽然是从平行板电容器中求得的，但可以证明，对于任意电 场，这个结论也成立。
对于非均匀电场，我们可以任取一体积元dV，可以认为dV 内是均匀电场，则在dV内电场所储存的能量为
dWe
wedV
1 E2dV
2
因此，整个电场的能量为
We
V dWe =
V wedV
1 E2dV
V2
【例7-11】一球形电容器，内、外半径分别为R1和R2，所 带电量分别为＋Q和－Q，两球间充满相对电容率为εr的电介 质，如下图所示。求此电容器储存的电场能量是多少？
物理学
静电场的能量
1.1 电容器的静电能
电容器充电时，电源必须做功，才能克服电容器极板上
逐渐积累起来的电荷所产生的电场力，将电荷从一个极板移
送到另一个极板上。在充电过程中，电源所做的功转换为静
电能储存在电容器中。
如下图所示，设在某一时刻电容器极板所带电量为q，电 容器的电容为C，则此时两极板的电势差为
Uq C
现将元电荷＋dq从负极板搬到正极板，此 时外力克服静电力做功dW为
dW = Udq = q dq C
整个充电过程中，两极板从最初的不带电到最后的分别带 +Q和-Q的电量，外力所做的总功为
W = dW = Q q dq = Q2
0C
2C
根据功是能量转化的量度，外力克服静电场力做功转化为 电容器储存的电能We，于是有
We
=
Q2 2C
1 2
CU 2
1 UQ 2
上式虽然是根据平行板电容器的充电过程导出的，但可以 证明它适用于所有电容器。但应注意，实际的电容器两极板间 都充有电介质，使用电容器时不能超过电介质的耐压值，否则 就会使电介质击穿而损坏。
1.2 静电场的能量
设平行板电容器的极板面积为S，间距为d，则电场所占有 的空间体积为V＝Sd。板间充满相对电容率为εr的电介质，若 不计边缘效应，则两极板间的电压U和场强E的关系为
dr
We
V dWe
R2 Q2 dr Q2 ( 1 1 )
R1 80r r2 80r R1 R2
物理学