5.第二十九章投影与视图

第二十九章投影与视图
29.1投影
专题一太阳光下的投影
1．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（）
A．①②③④B．④①③②C．②③①④D．④③②①
2．兴趣小组的同学要测量某棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的直立竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.8米，则树高为多少米？
3．某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8 m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8 m，树影落
在斜坡上的部分CD＝3.2 m．已知斜坡CD的坡比i＝1:3，求树高AB.（结果保留整
数，参考数据：3 1.7）
专题二灯光下的投影
4．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m＝AC；
③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是．
5．如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD．（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）.
6．如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；
（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）
专题三正投影
7．如图，投影面上垂直立一线段AB，线段长为2 cm.
（1）当投影线垂直照射投影面时，线段在地面上的投影是什么图形？请在左图中画出来.
（2）当投影线与投影面的倾斜角为60°时，线段在投影面上的投影是什么图形？并画出投影示意图.
（3）上面（1）、（2）问题中的投影都是正投影吗？为什么？
8．在正投影中，正方形倾斜于投影面放置时，它的投影是什么图形？若正方形的面积为10，它的正投影的面积是5，你知道正方形与投影面的倾斜角是多少度吗？
专题四规律探究题
9．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时刻，身高为1.6 m的小明（AB）的影子BC的长是3 m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m.
（1）请你在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH的中点B1处时，求其影
子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的1
3
到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续
走剩下路程的1
4
到B3处时，……,按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的
1
1
n
到
B n处时，其影子B n
C n的长为m（用含n的代数式表示）.
【知识要点】
1．投影：一个物体放在阳光下或灯光前,就会在地面上或墙壁上留下它的影子，这个影子称为物体的投影.投影要有照射光线和形成影子的地方,这就是投影线和投影面. 2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影.
3．中心投影：由同一个点（点光源）发出的光线所形成的投影为中心投影. 4．正投影的概念：在平行投影中,如果投射线垂直于投影面,那么这种投影称为正投影.几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.
5．(1)当线段AB 平行于投影面P 时,它的正投影是线段A 1B 1,线段AB 与它的投影的大小关 系为AB ＝A 1B 1；(2)当线段AB 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段A 2B 2,线段AB 与它的投影的大小关系为AB ＞A 2B 2；(3)当线段AB 垂直于投影面P 时,它的正投影是一个点.
6．(1)当纸板Q 平行于投影面P 时，Q 的正投影与Q 的形状、大小一样； (2)当纸板Q 倾斜于投影面P 时，Q 的正投影与Q 的形状、大小发生变化； (3)当纸板Q 垂直于投影面P 时，Q 的正投影成为一条线段.
故当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
【温馨提示】
1．平行投影与中心投影的区别与联系.
2．在平行投影下,一个图形上的点被投影后，对应点的连线互相平行.同一时刻，平行投影的影子方向和大小不随物体位置的变化而变化. 3．中心投影的投射光线相交于一点,同一时刻，中心投影的影子方向随物体位置的变化而发生变化.
4．正投影是平行投影的一种特例，正投影的特征是每条投影线都垂直于投影面.
【方法技巧】
1．因为一天之中，太阳东升西落，所以早晨物体的影子朝西，傍晚物体的影子朝东，但因为地处北半球，即使是夏天的正午，也由于太阳直射点的关系，物体的影子略微向北偏移，故一天之中影子方向的变化顺序为：正西→北偏西→正北→北偏东→正东；一天之中影子的长度的变化规律为：长→短→长．
2．确定点光源的位置的方法：两个物体影子的顶端与物体的顶端的连线的交点为点光源的位置．
3．分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置.
区别 联系 光线
物体与投影面平行时的投影 平行投影 平行的投影线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子（即都是投影） 中心投影 从一点出发的
投影线
放大（位似变换）
参考答案
1．C 【解析】太阳由东升起的过程中，物体的影子投向西侧，且由长到短，太阳偏西，物体的影子也转投向东侧，且由短到长． 故选Ｃ.
2．解：画出示意图如图所示.
从图中我们看到小树在一组平行光的照射下，影子分成了三部分AC 、CD 、DG .因为小树和竖直台阶是水平的，所以四边形CDEF 是平行四边形，EF ＝CD ，因为同一时刻，不同物体的物高与影长之比相等，所以6
.01
==AC AF DG BE . 即
6
.01
8.43.0==AF BE . 解得BE ＝0.5，AF ＝8.
所以小树的高AB ＝AF ＋EF ＋BE ＝8＋0.3＋0.5＝8.8(米).
3．解：如图所示，延长BD 与AC 的延长线交于点E ，过点D 作DH ⊥AE 于点H .
∵i ＝tan ∠DCH ＝CH DH ＝3
1
＝33， ∴∠DCH ＝30°.
∴DH ＝
1
2
CD ＝1.6 m ，CH ＝3DH ≈2.7 m . 由题意可知1
0.8
DH HE =
， ∴HE ＝0.8DH ＝1.28 m .
∴AE ＝AC ＋CH ＋HE ≈8.8＋2.7＋1.28＝12.78(m ). ∵8.01=AE AB ，所以168
.078
.128.0≈==AE AB (m ).
4．①③④【解析】当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示，m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；当旋转到达地面时，有最短影长，等于AB，③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．
5．解：如图所示.
（1）点P就是所求的点；
（2）EF就是小华此时在路灯下的影子．
6．解：（1）如图，线段AC是小敏的影子.
（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ.
在Rt△PDQ中，∠PQD＝55°，DQ＝EQ－ED＝4.5－1.5＝3（米）.
∵tan55°＝错误！未找到引用源。

，
∴PD＝3tan55°≈4.3（米）.
∵DF＝QB＝1.6米，
∴PF＝PD＋DF≈4.3＋1.6＝5.9（米）.
答：照明灯P到地面的距离为5.9米．
7．解：（1）点.（2）线段，这条线段BC 的长度为
3
3
2.（3）（1）问中的投影是正投影，（2）问中的投影不是正投影，是平行投影.只有投影线和投影面垂直的投影才是正投影
.
8．是一个长方形，当正方形倾斜于投影面放置时，它与投影面平行的一边长等于原来的长度，而与投影面不平行的边长缩小.因为正方形的面积为10，它的正投影的面积是5，所以不平行的一边长的投影等于这边的一半，所以正方形与投影面的倾斜角是60度.
9．解：（1）如图，点G 即为所求. （2）由题意得△∽△ABC GHC ，
∴AB BC GH HC =
， ∴
1.63
63
GH =
+， ∴ 4.8GH =m .
（3）1111△∽△A B C GHC ， ∴
1111
1
A B B C GH HC =
， 设11B C 的长为x m ，则1.64.83
x
x =
+， 解得32x =
（m ），即113
2
B C = m ． 同理22221.6
4.82B C B C =
+， 解得221B C =（m ），3
1
n n B C n =
+．
A B D
C 29.2 三视图
专题一 由立体图形到其三视图
1．如图所示的机器零件的左视图是（ ）
2．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是
3
．如下左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（
）
A B C
D
4．画出如图所示几何体的三视图.
专题二
由三视图确定物体的形状以及进行相关计算
5．如下图是某物体的三视图，则这个物体的形状是（ ）
A ．四面体
B ．直三棱柱
C ．直四棱柱
D ．直五棱柱
6．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为cm2.
7．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为__ __cm2．(结果可保留根号)
专题三立体图形的展开图与最短路径
8．如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需cm．
9．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点B1到最短路径的距离．
专题四 开放与探究题 10．如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是（ ）
A ．6个
B ．7个
C ．8个
D ．9个
11．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中，共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中，共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中，共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有 个．
12．问题探究：
（1）如图①所示是一个半径为
π
23
错误！未找到引用源。

，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，
求蚂蚁爬行的最短路程；（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）
（2）如图②所示是一个底面半径为错误！未找到引用源。

，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程；
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．
【知识要点】
1．三视图的概念
（1）要想清楚地刻画一个几何体的形状和大小，通常需要画出它在三个互相垂直的投影面上的正投影.
（2）从一个几何体的三视图可以看出，三个视图分别从不同方向反映一个几何体的形状和大小，主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，左视图反映几何体的高和宽.
（3）主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等. 2．画三视图时规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
【温馨提示】
1．主视图不反映物体的宽度；俯视图不反映物体的高度；左视图反不反映物体的长度. 2．三视图位置规定:先确定主视图的位置，它的正下方应是俯视图,正右方应是左视图. 3．画三视图时规定;看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
4．圆柱、圆锥、圆台、球体的三视图中一定有圆，棱锥的三视图中一定有三角形.
5．画组合体的视图时，需要先分别得到单个立方体的视图，然后看看它们彼此间有无遮挡，如果有，再用虚线画出来.
【方法技巧】
1．常见几何体的展开图，列表如下：
名称立体图形平面展开图
长方体
棱
柱
五棱柱
三棱锥
圆锥
圆柱
2．常见立体图形的三视图，列表如下：
立体图形主视图俯视图左视图
3．常见的正方体的展开图有以下11种形状：（一）“一四一”型：
（二）“二三一”型：
（三）“三三”型和“二二二”型：
4．与序号有关的规律探索题解决的两种思路：（1）首先从简单图形入手，抓住随着“编号”
或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论；（2）将序号看作自变量，另一个变量看作常数，如果增长速度一样，则是一次函数，求出一次函数解析式；如果增长速度成幂指数增加，则是幂函数；两个都不遵守的话，考虑用二次函数解决.
5．由几何体的两个视图获得组成几何体的小正方体个数时，通常根据“俯视图打地基，主
视图疯狂盖，左视图拆违章”的步骤进行．
参考答案
1．D 【解析】选项A 是主视图，选项B 是俯视图，选项C 中间多了一条实线，只有选项D 才是正确的左视图. 故选D .
2．A 【解析】由于正方体被截去一角，而俯视图是从上面往下看，应是右下方有一条斜线，所以画出的视图仍是正方形，不过右下方多一条斜线. 故选择A.
3．C 【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右正方形的个数分别是2，2，1． 故选C .
4．解：如图所示：
5．B 【解析】从主视图看，它是一个三角形，而直四棱柱与直五棱柱的三视图不可能会出现三角形，故排除C ，D,而A 选项的四面体包括三棱锥，三棱锥的三视图中不可能出现长方形.
6．2π 【解析】根据三视图可知此几何体是一个圆锥，其侧面展开图是一个扇形，故其侧面积为2
1
21==
lr S ×2π×2＝2π.故答案为2π. 7．（753＋360） 【解析】由所给三视图不难想象出它表示一个六棱柱，这个六棱柱的平面展开图如图所示．
易知正六边形的边长为5 cm ，于是一个正六边形的面积＝6×
12×5×532＝7532，∴S 表
＝2×7532
＋6×5×12＝
753＋360．
8．10 23664n +（2或2916n +）
【解析】将长方体展开，连接A ，B ，根据两点之间线段最短，AB ＝2286+＝10（cm ）；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，相当于直角三角形的两条直角边分别
10cm 12c m
是8n 和6，根据勾股定理可知所用细线最短需要226(8)n +＝23664n +＝22916n +（错误！未找到引用源。

cm ）．
9．解：（1）如图，木柜的部分表面展开图是两个矩形ABC'1D 1和ACC 1A 1．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的A 1C'1和AC 1．
（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A 1B 1到C 1，爬过的路径的长是l 1＝224(45)++＝97．
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB 1到C 1，爬过的路径的长是l 2＝22(44)5++＝89．
l 1＞l 2，故最短路径的长是l 2＝89． （3）过B 1作B 1E ⊥AC 1于点E ， 可得△C 1B 1E ∽C 1AA 1， 则
5894,11
1111E
B AA E B A
C B C ==即， 得89
89
201=
E B . 即点B 1到最短路径的距离为
89
89
20.
10．D 【解析】从俯视图看几何体的堆叠有5堆，正面有3堆，后面有2堆；从左视图 看，后面的两堆只有一层，即后面共有2个几何体，正面的3堆至少有1堆是2层， 故正面三堆可能共有4、5、6个，共可能有2＋4＝6（个），2＋5＝7（个），2＋6 ＝8（个），故不可能的个数是9.故选D .
11．91 【解析】n ＝1时，共有小立方体的个数为1，看不见的小立方体的个数为0，看得见的小立方体的个数为1－0＝1；n ＝2时，共有小立方体的个数为2×2×2＝8，看不见的小立方体的个数为（2-1）×（2-1）×（2－1）＝1，看得见的小立方体的个数为8－1＝7；n ＝3时，共有小立方体的个数为3×3×3＝27，看不见的小立方体的个数为（3－1）×（3－1）×（3－1）=8，看得见的小立方体的个数为27-8＝19；…n =6时，共有
小立方体的个数为6×6×6=216，看不见的小立方体的个数为（6－1）×（6－1）×（6－1）＝125个，看得见的小立方体的个数为216－125=91．
12．解：（1）易知BB'＝2π×
π
23错误！未找到引用源。

＝3，AB'＝22
5AB BB +=＇.即蚂蚁爬行的最短路程为5．
（2）连接AA'，则AA'的长为蚂蚁爬行的最短路程，设r 1为圆锥底面半径，r 2为侧面展开图（扇形）的半径，则122
,43
r r ==错误！未找到引用源。

， 由题意得2πr 1=
180
2
r n π错误！未找到引用源。

， 即2π×32＝180
n
×4π.
∴n ＝60，
∴△PAA'是等边三角形，
∴蚂蚁爬行的最短路程为AA'＝PA ＝4 .
（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A 作AC ⊥PA'于点C ，则线段AC 的长就是蚂蚁爬行的最短路程．
∴AC ＝PA •sin∠APA'＝4×sin60°＝4×错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

， ∴蚂蚁爬行的最短距离为错误！未找到引用源。

．。