山东省学业水平考试数学真题+答案

山东省2016年冬季普通高中学业水平考试
数学试题
第I 卷（共60分）
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分） 1.已知全集{}c b a U ,,=，集合{}a A =，则=A C U （ ）
A. {}b a ,
B. {}c a ,
C. {}c b ,
D. {}c b a ,, 2.已知0sin <θ，0cos >θ，那么θ的终边在（ ）
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D.第四象限 3.若实数第3，a ，5成等差数列，则a 的值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 15 4.图像不经过第二象限的函数是（ ）
A. x
y 2= B.x y -= C. 2
x y = D. x y ln = 5.数列1，
32，53，74，95
，…的一个通项公式是=n a （ ） A. 12+n n B. 12-n n C. 32+n n D. 3
2-n n
6.已知点)4,3(A ,)1,1(-B ，则线段AB 的长度是（ ）
A. 5
B. 25
C. 29
D. 29 7.在区间]4,2[-内随机取一个实数，则该实数为负数的概率是（ ） A.
32
B. 21
C. 31
D. 4
1 8.过点)2,0(A ，且斜率为1-的直线方程式（ ）
A.02=++y x
B.02=-+y x
C.02=+-y x
D.02=--y x 9.不等式0)1(<+x x 的解集是（ ）
A.{}01|<<-x x
B.{}0,1|>-<x x x 或
C. {}10|<<x x
D.{}1,0|><x x x 或 10.已知圆C ：03642
2
=-+-+y x y x ，则圆C 的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ）（3,2-，16
B. ）（3,2-，16
C. ）（3,2-，4
D. ）（3,2-，4
11.在不等式22<+y x 表示的平面区域内的点是（ ）
A. ）（0,0
B. ）（1,1
C. ）（2,0
D. ）
（0,2 12.某工厂生产了A 类产品2000件，B 类产品3000件，用分层抽样法从中抽取50件进行产品质量检验，则应抽取B 类产品的件数为（ ）
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50 13.已知3tan -=α，1tan =β，则)tan(βα-的值为（ ）
A. 2-
B. 2
1-
C. 2
D. 21
14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1=a ，2=b ，4
1
sin =
A ，则
B sin 的值是（ ） A.
41 B. 21
C. 4
3 D. 42
15.已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上的解析式为1)(+=x x f ，下列大小关系正确的是（ ） A. )2()1(f f > B. )2()1(->f f C. )2()1(->-f f D. )2()1(f f <-
16.从集合{}2,1中随机选取一个元素a ，
{}3,2,1中随机选取一个元素b ，则事件“b a <”的概率是（ ） A.
61 B. 31 C. 21 D. 3
2
17.要得到)4
2sin(π
+=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ）
A. 向左平移
8π个单位 B.向右平移 8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移 4
π
个单位 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1=a ，2=b ，
60=C ，则边c 等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
19.从一批产品中随机取出3件，记事件A 为“3件产品全是正品”，事件B 为“3件产品全是次品”，事件C 为“3件产品中至少有1件事次品”
，则下列结论正确的是（ ） A.A 与C 对立 B.A 与C 互斥但不对立 C.B 与C 对立 D.B 与C 互斥但不对立
20.执行如图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
21. 2log 2的值为 .
22.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，971=⋅a a , 则=4a .
23.已知向量)2,1(=a ，)1,(x b =，若b a ⊥，则实数x 的值是 . 24.样本5，8，11的标准差是 .
25.已知一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为
60，则该圆锥的高是 . 三、解答题（本大题共3个小题，共25分）
26.（本小题满分8分）如图，在三棱锥BCD A -中，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点.求证：//EF 平面BCD .
27.（本小题满分8分）已知函数x x x f 2
2
sin cos )(-=.求：
⑵ )12
(π
f 的值； ⑵)(x f 的单调递增区间.
28.（本小题满分9分）已知函数4
1
)(2+
+=ax x x f )(R a ∈ ⑴当函数)(x f 存在零点时，求a 的取值范围； ⑵讨论函数)(x f 在区间)1,0(内零点的个数.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案
2016冬季学业水平数学试题参考答案
1-5:CDCDB 6-10:ACBAD 11-15:ABCBD 16-20: CABAC 21.
2
1
22. 3 23. 2- 24.6 25. 10 26.证明：在ABC ∆中，因为E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点，
所以EF 是ABC ∆的中位线， ……………………………………………1分
所以BC EF //………………………………………………………………4分
又因为⊂/EF 平面BCD ……………………………………………………5分 ⊂BC 平面BCD ……………………………………………………………6分 所以//EF 平面BCD ………………………………………………………8分 27.解：x x x x f 2cos sin cos )(2
2
=-=……………………………………………2分
⑴2
3
6
cos
)12
2cos()12
(
=
=⨯
=π
π
π
f ……………………………………5分 ⑵由πππk x k 222≤≤-，Z k ∈, 得ππ
πk x k ≤≤-
2
，Z k ∈.………………………………………………7分
所以)(x f 的单调递增区间为],2
[ππ
πk k -，Z k ∈.……………………8分
28.解⑴因为函数)(x f 有零点， 所以方程04
1
2
=+
+ax x 有实数根. 所以012≥-=∆a ，解得1-≤a ，或1≥a
因此，所求a 的取值范围是1-≤a ，或1≥a .………………………………2分 ⑵综上，当1->a 时，)(x f 在区间)1,0(内没有零点； 当1-=a ，或4
5
-≤a 时，)(x f 在区间)1,0(内有1个零点； 当14
5
-<<-a 时，)(x f 在区间)1,0(内有2个零点.
2017年山东省普通高中学业水平考试数学试题
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分）
1．已知集合{
}4,2,1=A ，{}84,2，=B ，则=B A （ ） A ．{4} B ．{2} C ．{2,4} D ．{1,2,4,8}
2．周期为π的函数是（ ）
A ．y =sinx
B ．y =cosx
C ．y =tan 2x
D ．y =sin 2x
3．在区间()∞+，
0上为减函数的是（ ） A ．2x y = B ．2
1x y = C ．x
y ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21 D ．x y ln =
4．若角α的终边经过点()2,1-，则=αcos （ ） A ．55-
B ．55
C ．552-
D ．5
52 5．把红、黄两张纸牌随机分给甲、乙两个人，每人分得一张，设事件P 为“甲分得黄牌”，设事件Q
为“乙分得黄牌”，则（ ）
A ．P 是必然事件
B ．Q 是不可能事件
C ．P 与Q 是互斥但是不对立事件
D ．P 与Q 是互斥且对立事件 6．在数列{}n a 中，若n n a a 31=+，21=a ，则=4a （ ）
A ．108
B ．54
C ．36
D ．18
7．采用系统抽样的方法，从编号为1～50的50件产品中随机抽取5件进行检验，则所选取的5件产品的编号可以是（ ）
A ．1，2，3，4，5
B ．2，4，8，16，32
C ．3，13，23，33，43
D ．5，10，15，20，25 8．已知()+∞∈,0,y x ，1=+y x ，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．
21 C ．31 D ．4
1
9．在等差数列{}n a 中，若95=a ，则=+64a a （ ）
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若︒=60A ，︒=30B ，3=a ，则=b （ ） A ．3 B ．
2
3
3 C ．32 D ．33 11．已知向量()3,2-=a ，()6,4-=b ，则a 与b （ ）
A ．垂直
B ．平行且同向
C ．平行且反向
D ．不垂直也不平行 12．直线012=+-y ax 与直线012=-+y x 垂直，则=a （ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若222c bc b a +-=，则角A 为（ ） A ．
6π B ．3π C ．32π D ．3π或3
2π 14．在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的
有12人，则该班学生人数是（ ）
A ．35
B ．40
C ．45
D ．50
15．已知△ABC 的面积为1，在边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4
1
的概率是（ ） A ．
41 B ．21 C ．43 D ．3
2 16．设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+114
2y x y x ，则y x z -=的最小值是（ ）
A ．－1
B ．2
1
-
C ．0
D ．1 17．下列结论正确的是（ ）
A ．平行于同一个平面的两条直线平行
B ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
18．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（ ） A ．24π B ．23π C ．22π D ．2π 19．方程x x -=33的根所在区间是（ ）
A ．（－1，0）
B ．（0，1
C ．（1，2
D ．（2，3）
20．运行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是－5，那么输出的结果是（ ） A ．－5 B ．0 C ．1 D ．2
二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 21．函数)1lg()(-=x x f 的定义域为 ．
22．已知向量，
2=a ，与的夹角θ为3
2π
，若1-=⋅，则=b ．
23．从集合{}3,2=A ，{
}3,21，=B 中各任取一个数，则这两个数之和等于4的概率是 ．
24．已知数列{n a }的前n 项和为n n S n 22
+=，则该数列的通项公式
=n a ．
25．已知三棱锥P -ABC 的底面是直角三角形，侧棱⊥PA 底面ABC ，P A =AB =AC =1，D 是BC 的中点，
PD 的长度为 ．
三、解答题（本大题共3个小题，共25分）
26．（本小题满分8分）已知函数1cos sin )(+=x x x f ．求： （1）)4
(π
f 的值； （2）函数)(x f 的最大值．
27．（本小题满分8分）已知n mx x x f ++=22)(（m ，n 为常数）是偶函数，且f (1)=4． （1）求)(x f 的解析式；
（2）若关于x 的方程kx x f =)(有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．
28．（本小题满分9分）已知直线l :y =kx +b ，(0<b <1)和圆O ：122=+y x 相交于A ，B 两点． （1）当k =0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两条切线的交点坐标；
（2）对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足ONB ONA ∠=∠？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．
山东省2017年普通高中学业水平考试参考答案
1-5： CDCAD 6-10：BCDCA 11-15：CABBC 16-20：BDABC
21、()∞+，
1 22、1 23、3
1
24、2n+1 25、26
26、（1）
23；（2）最大值为2
3
． 27、（1）22)(2
+=x x f ； （2）4>k 或4-<k ． 28、（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛b 10，；（2）存在；⎪⎭
⎫ ⎝⎛b 10，．。