高考数学回归课本第二章二次函数与命题教案旧人教版

4a
f ( x)= ax2+bx+c( a>0) ，当 x0∈ [m, n] 时， f ( x) 在 [m, n] 上的最小值为 f ( x0); 当 x0<m时。
f ( x) 在 [m, n] 上的最小值为 f (m) ；当 x0>n 时， f ( x) 在 [m, n] 上的最小值为 f ( n) （以上结
【解】 因为 -4 ≤ f (1)= a- c≤-1, 所以 1≤ - f (1)= c- a≤ 4.
又-1 ≤ f (2)=4 a- c≤ 5, f (3)= 8 f (2)- 5 f (1),
3
3
所以 8 ×(-1)+ 5 ≤ f (3) ≤ 8 × 5+ 5 × 4,
3
3
33
所以 -1 ≤ f (3) ≤ 20.
如果已知 p q, 则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p q 但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要
非充分条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题
1．待定系数法。 例 1 设方程 x2- x+1=0 的两根是 α ， β ，求满足 f ( α )= β , f ( β )= α , f (1)=1 的二次函数
f ( x). 【解】 设 f ( x)= ax2+bx+c( a 0),
则由已知 f ( α )= β , f ( β )= α相减并整理得（ α- β ） [ （α +β ） a+b+1]=0 ，
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
因为方程
x
2
-
x+1=0
中△
论由二次函数图象即可得出） 。
定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“ 3>5”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑
联结词“或” 、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题Baidu Nhomakorabea逻辑联结词构成的命题由 复合命题。
注 1 “ p 或 q”复合命题只有当 p， q 同为假命题时为假，否则为真命题； “p 且 q”复合 命题只有当 p，q 同时为真命题时为真， 否则为假命题； p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。
ax2+bx+c>0…②及 ax2+bx+c<0…③
1）当△ >0 时，方程①有两个不等实根，设 x1, x2( x1<x2) ，不等式②和不等式③的解集分别
是{ x| x<x1 或 x>x2} 和 { x| x1<x<x2} ，二次函数 f ( x) 图象与 x 轴有两个不同的交点， f ( x) 还可
2a
2a
2．二次函数的性质：当 a>0 时， f ( x) 的图象开口向上，在区间（ - ∞， x0] 上随自变量 x 增
大函数值减小（简称递减） ，在 [ x0, - ∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a<0
时，情况相反。 3．当 a>0 时，方程 f ( x)=0 即 ax2+bx+c=0…①和不等式 与函数 f ( x) 的关系如下（记△ =b2-4 ac）。
定义 2 原命题：若 p 则 q（ p 为条件， q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。
注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p q 否则记作 p q. 在命题“若 p 则 q”中，
3．利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f ( x)= ax2+bx+c( a, b, c∈ R, a 0) ，若方程 f ( x)= x 无实根，求证：方 程 f ( f ( x))= x 也无实根。 【证明】若 a>0，因为 f ( x)= x 无实根，所以二次函数 g( x)= f ( x)- x 图象与 x 轴无公共点且 开口向上，所以对任意的 x∈R, f ( x)- x>0 即 f ( x)> x，从而 f ( f ( x))> f ( x) 。 所以 f ( f ( x))> x，所以方程 f ( f ( x))= x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。
0，
所以 α β ，所以 ( α +β ) a+b+1=0.
又α +β =1, 所以 a+b+1=0.
又因为 f (1)= a+b+c=1，
所以 c-1=1 ，所以 c=2.
又 b=-( a+1) ，所以 f ( x)= ax2-( a+1) x+2. 再由 f ( α )= β 得 aα2-( a+1) α +2=β ,
写成 f ( x)= a( x- x1)( x- x2).
2）当△ =0 时，方程①有两个相等的实根
x 1=x 2=x0 =
b
, 不等式②和不等式③的解集分别
2a
是{ x| x
b
} 和空集
2a
， f ( x) 的图象与 x 轴有唯一公共点。
3）当△ <0 时，方程①无解， 不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 . f ( x) 图象与 x 轴无
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
高考数学回归课本教案 第二章 二次函数与命题
一、基础知识
1．二次函数：当 a 0 时， y=ax2+bx+c 或 f ( x)= ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称
轴为直线 x=- b ，另外配方可得 f ( x)= a( x- x0) 2+f ( x0) ，其中 x0=- b ，下同。
公共点。
当 a<0 时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若
a>0，当 x=x0 时， f ( x) 取最小值 f ( x0 )= 4 ac b 2 , 若 a<0，则当 4a
b
4ac b 2
x=x 0=
时， f ( x) 取最大值 f ( x0)=
. 对于给定区间 [m, n] 上的二次函数
2a
所以 aα 2- aα+2=α +β=1，所以 aα 2- aα +1=0. 即 a( α 2- α +1)+1- a=0, 即 1- a=0，
所以 a=1, 所以 f ( x)= x2-2 x+2.
2．方程的思想。 例 2 已知 f ( x)= ax2- c 满足 -4 ≤f (1) ≤ -1, -1 ≤ f (2) ≤ 5，求 f (3) 的取值范围。