折射率椭球方程

如果用 C 表示 Π0 面法线方向的单位矢量，则 C 的方向
即是光轴方向。由于tan0有正负两个值，相应的 Π0 面及其
法向单位矢量 C 也有两个，因此有两个光轴方向 C1 和 C2 ， 即双轴晶体。
实际上，C1 和 C2 对称地分布在 x3 轴两侧。由 C1 和 C2 构成的平面叫做光轴面，显然，光轴面就是x3Ox1平面。设
k 12
1 n2

1 n12

k
2 2
1 n2

1 n22

k32
1 n2

1 n32
0
若以 n2 x12 x22 x32 n2k12 n2k22 n2k32 代 入 上 式 ， 得 到其直角坐标方程：
(n12 x12 n22 x22 n32 x32 )(x12 x22 x32 ) [n12 (n22 n32 )x12 n22 (n32 n12 )x22 n32 (n12 n22 )x32 ] n12n22n32 0
利用双轴晶体的折射率椭球可以确定相应于k方向两束 特许线偏振光的折射率和振动方向，具体计算比单轴晶体 复杂得多。只讨论几种特殊情况：
(i) 当k方向沿着主轴方向(如x1轴)时，相应的两个特许线 偏振光的折射率分别为n2和n3，D矢量的振动方向分别沿 x2 轴和 x3 轴；当 k 沿 x2 轴时，相应的两个特许线偏振光的折 射率分别为 n1和 n3，D矢量的振动方向分别沿 x1轴和 x3轴。
平行。中心截面与椭球的截线方程为
x1' 2 no2

x2' 2 ne' 2
1
包含 x3 轴的中心截面都可选作x3Ox1平面。对于正单轴晶
体 射，率。e 光用有几最何大作折图射法率可；以而得对到于D负//单E轴, 晶k体//，s e 光有最小折
B
D E
sk
切平面T
③ 双轴晶体
a. 双轴晶体中的光轴 b. 光在双轴晶体中的传播特性


n"
n1n3

n32 cos2
n12 sin2

D 矢量的振动方向分别为x2 、x1方向。
(iv) 当k与折射率椭球的三个主轴既不平行又不垂直时，
相应的两个折射率都不等于主折射率，其中一个介于n1, n2 之间，另一个介于n2, n3之间。如果用波法线与两个光轴的
夹角 1 和 2 来表示波法线方向 k，则利用折射率椭球的关
系，可得到与 k 相应的二折射率十分简单的表达式:
1 n2

cos2[(1 2) / 2]
n12

sin2[(1 2) / 2]
n32
(v) 已知两个光轴方向和 k方向时，可以很方便地确定与 k 相应的D矢量的两个振动方向。
图 4-18 D矢量振动面的确定
图 4-19 图 4 - 18 中的Π平面
C1、C2 与 x3 轴的夹角分别为 、 ，则有：
tan n3
n1
n22 n12 n32 n22
小于 45，为正双轴晶体; 大于45，为负双轴晶体。
图 4-15 双轴晶体折射率 椭球在x3Ox1面上的截线
图4-16 双轴晶体双光轴示意图
b.光在双轴晶体中的传播特性
x 12 vr21

x22 vr22

x32 vr23
1 ——菲涅耳椭球
式中，vr1、vr2、vr3 表示三个主轴方向上的光线主速度。
菲涅耳椭球与折射率椭球的作图方法完全相，只是 以光线方向 s 取代波法线方向 k。
4. 射线曲面
描述与晶体中光线方向 s 相应的两个光线速度的分布。
射线曲面上的矢径方向平行于给定的 s 方向， 矢径的长度等 于相应的两个光线速度 vr ，因此可简记为 (s,vr) 曲面。
应当指出，在双轴晶体中，除两个光轴方向外，沿其余 方向传播的平面光波，在折射率椭球中心所作的垂直于 k 的 平面与折射率椭球的截线都是椭圆。而且，由于折射率椭球 没有旋转对称性，相应的两个正交线偏振光的折射率都与k 的方向有关，因此两个光都是非常光。
故在双轴晶体中，不能采用 o光与 e 光的称呼来区分这 两种偏振光。
双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线
双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图
折射率曲面上在任一矢径末端处的法线方向，即 是与该 矢径所代表的波法线方向 k 方向相应的光线方向 s 。
3. 菲涅耳椭球
折射率椭球和折射率曲面是相对波法线方向 k 而言。 菲涅耳椭球是相对光线方向 s 引入的几何曲面。 由折射率椭球方程(4.2-65)并利用矢量对应关系，可得：
射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程：
s12
1 vr2

1 v12

s22
1 vr2

1 v22

s32
1 vr2

1 v32
0
v 与 n 成反比，因此射线曲面两壳层的里外顺序与折射 率曲面刚好相反。
(a) 正单轴晶体； (b) 负单轴晶体
图 4 - 23 单轴晶体的射线曲面
图 4 – 24 双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上的截线

x3' sin )2
n12

x2'2 n22

(x1' sin x3' cos )2
n32
1

x3'

0
得与 k 垂直的截线方程为:

c
os2 n12


sin2
n32
x1' 2

x2'2 n22
1
所以，与k相应的二特许线偏振光的折射率为:
n' n2
( x12 x22 x32 no2 )[no2 ( x12 x22 ) ne2 x32 no2ne2 ] 0
或:
x 12

x22

x32

no2

x12 x22 ne2

x32 no2
1

可见，单轴晶体的折射率曲面是双层曲面，由半径为 no
的球面和以 x3 轴为旋转轴的旋转椭球构成。球面对应 o 光的
a. 双轴晶体中的光轴
主介电系数 1 2 3 ，主折射率系数 n1 n2 n3 ，
折射率椭球方程为：
x12 n12

x22 n22

x32 n32
1
约定n1 n2 n3，则折射率椭球与 x1Ox3平面的交线是椭圆：
x12 n12

x32 n32
1
式中，n1和n3分别是最短、最长的主半轴。
2. 折射率曲面和波矢曲面
为了更直接地表示与每一个波法线方向 k 相应的两个折
射率，引入折射率曲面。
曲面上的 矢径
r

nk ，方向平行于给定的波法线方向
k,
长度等于与 k 相应的两个波的折射率。因此，折射率曲面是
一个双壳层的曲面，记作(k,n)曲面。
(4.2-31)式是折射率曲面在主轴坐标系中的极坐标方程。
应当指出的是菲涅耳作图法所确定的两个反射波矢和两个折射波矢只是允许的或可能的两个波矢至于实际上两个波矢是否同时存在要看入射光是否包含各反射光或各折射光的场矢量方向上的分量
4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述
1.折射率椭球(光率体)
(4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 ① 各向同性介质或立方晶体 ② 单轴晶体 ③ 双轴晶体
图 4 - 25 双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图
射线曲面上的矢径方向平行于 s 方向，其矢径末端处 的法线方向就是与该 s 方向相应的波法线方向 k 。
4.3平面光波在晶体界面上的反射和折射
4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射 4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向的
4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射
• neno，称为负单轴晶体(如方解石)，折射率椭球是沿 x3 轴 压扁了的旋转椭球。
截面方程 x3' 0
单轴晶体折射率椭球作图法
两个坐标系的关系：
x1 x1'
x2 x2' cos x3' sin x3 x2' sin x3' cos
截线方程
x1'2 no2
这是一个四次曲面方程。利用这个曲面可以很直观地得到 与 k 相应的二折射率。
对于立方晶体，n1=n2=n3=n0 ，由此可得：
x12 x22 x32 n02
显然其折射率曲面是一个半径为
n0 的球面，在所有的
k
方
向上，折射率都等于n0 ，在光学上是各向同性的。
对于单轴晶体，n1=n2=no, n3=ne ，于是：
若椭圆上任意一点的矢径
r
与
x1 轴的夹角为 ，长度为
n，则上式可写成
(n cos )2
n12

(n sin )2
n32
1
或
1 n2

cos2
n12

sin2
n32
n到随某一 矢在径n1和r0，n其3之长间度变为化n。=n由2。于rn0 1与<nx21<轴n3，的所夹以角总为是0可，以找
为 n0 的圆，不存在特定的长短轴，光学性质各向同性。
② 单轴晶体
x12 n12

x22 n22

x32 n32
1
主介电系数1=2 3，主折射率n1=n2=no，n3=neno，
折射率椭球方程：
x12 no2

x22 no2

x32 ne2
1
• 单轴晶体的折射率椭球是一旋转椭球面，旋转轴为 x3 轴。 • neno，称为正单轴晶体(如石英)，折射率椭球是沿 x3 轴拉 长了的旋转椭球；
(ii) 当 k 沿着光轴方向时，二正交线偏振光的折射率为n2， 其 D 矢量的振动方向没有限制。
(iii) 当 k 在主截面内，但不包括上面两种情况时，二特 许线偏振光的折射率不等，其中一个等于主折射率，另一个 介于其余二主折射率之间。
例如，k在 x1Ox3主截面内，
与 x3 轴的夹角为 。为简化运
算, 将坐标系 O-x1x2x3 绕 x2 轴
旋转 角，建立一个新坐标系
O-x1x2x3 。
新旧坐标系之间的关系为:
x1 x1' cos x3' sin
x2 x2'
x3 x1' sin x3' cos
代入折射率椭球方程，并与x3=0 联立:
(x1' cos
折射率曲面，旋转椭球对应 e 光的折射率曲面。
对于正单轴晶体：ne>no，球面内切于椭球；对于负单轴 晶体：ne<no ，球面外切于椭球。两种情况的切点均在 x3 轴上， 故 x3 轴为光轴。
(a) 正单轴晶体
(b) 负单轴晶体
单轴晶体的折射率曲面
对于双轴晶体，n1≠n2≠n3, 前面所述的四次曲面在三个主 轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆.
① 各向同性介质或立方晶体
x12 n12

x22 n22

x32 n32
1
主介电系数 1=2 =3 ，主折射率n1= n2 = n3 = n0 ，折
射率椭球方程：
x12 x12 x32 n02
各向同性介质的折射率椭球是一半径为 n0 的球。不论 k 在什么方向，垂直于 k 的中心截面与球的交线均是半径
一束单色光入射到各向同性介质的界面上，将分别产生 一束反射光和一束折射光，且遵从反射定律和折射定律。
一束单色光从空气入射到晶体表面上，会产生双折射； 当一束单色光从晶体内部射向界面上时，会产生双反射。
界面上产生的两束折射光或两束反射光都是线偏振光， 其振动方向相互垂直。这种双折射和双反射现象是晶体光学 各向异性特性的直接结果。
光轴
方解石晶体的双折射现象
He-Ne激光束 （自然光）
45
方解石晶体中的双反射现象
根据电磁场的边界条件， 可得:
(ki (ki

kr kt
) )

r r

0 0
• 入射光、反射光和折射光具有相同的频率；
• 入射光 、反射光和折射光的波法线均在入射面内，或者 说， ki 、k r 、kt 和界面法线共面。

x2'2 ne'2
1
其中 ne'
none
no2 sin2 ne2 cos2
或
1 cos2 sin2
(n)e2 no2 ne2
x12 no2

x22 no2

x32 ne2
1
两种特殊情况：
① = 0 时，k 与 x3 轴重合，这时 ne= no ，中心截面与
1 n22

cos2
n12

sin2 0
n32
所以：
tan 0


n3 n1
n22 n12 n32 n22
显然，矢径 r0 与 x2 轴组成的平面与折射率椭球的截线 是一个半径为 n2 的圆。若以 Π0 表示该圆截面，则与垂直于 Π0 面的波法线方向 k 相应的 D 矢量在 Π0 面内振动，且振动 方向没有限制，折射率均为 n2。
椭球的截线方程为
x12 x22 no2
可见，沿 x3 轴方向传播的光波折射率为 no ，D 矢量的振动 方向除与 x3 轴垂直外，无其他约束，即沿 x3 轴方向传播的 光可以允许任意偏振方向，故 x3轴为光轴。
两种特殊情况：
② = /2 时，k x3轴，ne= ne ，e 光的 D 矢量与 x3 轴