2022年广东省广州市花都区中考数学一模试题及答案解析

2022年广东省广州市花都区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个实数中，为无理数的是( )
A. 3
B. 1
3
C. √3
D. 0.3
2. 甲、乙两位学生各进行5次一分钟跳绳训练，经统计两人的平均成绩相同，方差分别为S甲2=
3.2，S乙2=1.8，则成绩更为稳定的是( )
A. 甲
B. 乙
C. 甲、乙成绩一样稳定
D. 无法确定
3. (−1,2)关于原点对称的点的坐标为( )
A. (−1,−2)
B. (1,2)
C. (−1,2)
D. (1,−2)
4. 下列计算正确的是( )
A. 2a⋅a2=2a3
B. 3a3÷2a=a2
C. (2a2)3=6a5
D. 5a2−2a=3a
5. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB=20°，则∠C的度数是( )
A. 40°
B. 70°
C. 110°
D. 140°
6. 甲、乙两位同学去图书馆参加整理书籍的志愿活动，已知甲每小时比乙多整理5本，甲整理80本书所用的时间与乙整理70本书所用的时间相同，设乙每小时整理x本书，根据题意列方程得( )
A. 80
x+5=70
x
B. 80
x−5=70
x
C. 80
x =70
x−5
D. 80
x =70
x+5
7. 函数y=ax2+1与y=−a
x
在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程x2−6x+m+6=0的两个实数根，则m的值是( )
A. m=2
B. m=9
C. m=3或m=9
D. m=2或m=3
9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，则∠BAD的正弦值为( )
A. 3
5B. 12
25
C. 24
25
D. 6
5
10. 已知，直线l：y=√3x−3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线l上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得ON.连接BN，则线段BN的最小值为( )
A. 2√3
B. 3
C. 3+√3
D. 3−√3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=50°，则∠BOC的度数为______．
12. √2+√8=______．
13. 已知直线y=2x与直线y=−x+b交于点(2,4)，则关于x，y的方程组{2x−y=0
x+y=b的解
是______．
14. 若关于x的方程x+m
4=x−1
2
的解为负数，则点(m,m+2)在第______象限．
15. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB=AC=4，则图中阴影部分的面积为．
16. 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF 为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H.则下列结论：
①AE=BC；
②若AE=4，CH=5，则CE=2√5；
③EF=AE+DH；
④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG=6：5．
其中正确的结论是______.(填写所有正确结论的序号)
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 解不等式组：{2x−1>x+2
3(x−1)≤9．
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD=BE.求证：DC=EC．
19. (本小题6.0分)
已知P =
a 2+2ab+b
2
3ab
÷(1a +1
b ).
(1)化简P ；
(2)若b =−a +√3，求P 的值．
20. (本小题6.0分)
为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图． 家访形式 数量(人)
入户家访 4 电话家访 15 短信家访 16 到校家访
10
(1)扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是______．
(2)若选择“入户家访”的四位学生分别为A ，B ，C ，D ，班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中A ，B 两人的概率．
21. (本小题8.0分)
学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC 的高．当无人机在A 处时，恰好测得大树顶端C 的俯角为45°，大树底端B 的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD =30米，求大树BC 的高． (结果保留小数点后一位．√2≈1.414，√3≈1.732)
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=9，BC=6．
(1)在AB上求作点E，使得EA=EC；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若∠ACB=2∠A，求AE的长．
23. (本小题10.0分)
经过点M(a,b)，其中a，b满足√a−1+(b−√3)2=0．
如图，反比例函数y=k
x
(1)求反比例函数y=k
的解析式；
x
(2)以点M为圆心，MO为半径画圆，点N是圆周上一点，且∠OMN=120°，求点N的坐标．
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且AD=BD．
(1)若AC=6，BC=8，AB=10，求∠ACD的度数；
(2)证明：∠ACB+∠ADB=180°；
(3)设AB
=k，试判断CA，CD，CB之间的数量关系(用含k的式子表示)，并说明理由．AD
25. (本小题12.0分)
)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点已知抛物线y=mx2+(1−3m)x+1−4m(m>1
5
C(4,5)．
(1)判断点C(4,5)是否在抛物线上；
(2)直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD．
①若S△BCD=6，求抛物线的解析式；
②将直线AC沿x轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为E，F是线段AE上的一点，且EF= 3AF.P是△ABC的外心，设过点P，F的直线l与x轴的夹角为α(0°<α≤90°).试判断α的大小是否发生变化．若不变，请求出tanα的值；若发生变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】 【分析】
本题主要考查了无理数的定义．
无理数就是无限不循环小数，由此即可求解． 【解答】
解：3是整数，13
是分数，0.3是有限小数，这些都属于有理数； √3是无理数． 故选：C ．
2.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义可作出判断即可． 【解答】
解：∵甲、乙两位学生的平均成绩相同，S 甲2=3.2，S 乙2
=1.8， ∴S 甲2>S 乙2，
∴成绩较为稳定的是乙． 故选：B ．
3.【答案】D
【解析】解：点A(−1,2)关于原点对称的点的坐标是(1,−2)， 故选：D ．
根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、2a⋅a2=2a3，故A正确，符合题意；
a2，故B错误，不符合题意；
B、3a3÷2a=3
2
C、(2a2)3=8a6，故C错误，不符合题意；
D、5a2与−2a不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意；
故选：A．
根据单项式乘除单项式法则，积的乘方、幂的乘方法则及同类项定义逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键式掌握整式相关运算的法则．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．
根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=20°，从而利用三角形内角和定理可得∠AOB的度数，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】
解：∵OA=OB，∠OAB=20°，
∴∠OAB=∠OBA=20°，
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=140°，
∠AOB=70°，
∴∠C=1
2
故选：B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程．
设乙每小时整理x本书，根据甲整理80本书所用的时间与乙整理70本书所用的时间相同，列方程即可得到结论．
【解答】
解：设乙每小时整理x本书，根据题意列方程得80
x+5=70
x
，
故选A．
7.【答案】A
【解析】此题主要考查了反比例函数和二次函数图象．
根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a 的范围，看a的范围是否统一，逐一判断即可．
解：A、反比例函数图象在第二、四象限，因此−a<0，可得a>0，二次函数开口向上，则a>0，抛物线与y轴交于正半轴，则a<0，一致，故此选项正确；
B、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，因此−a<0，可得a>0，二次函数开口向下，则a<0，前后矛盾，故此选项错误；
D、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：①当腰长为4时，把x=4代入原方程得16−24+m+6=0，
∴m=2，
∴原方程变为：x2−6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
∵4+2>4
∴能构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程x2−6x+m+6=0的两根是相等的，
∴Δ=(−6)2−4(m+6)=0，
∴m=3，
∴方程变为x2−6x+9=0，
∴方程的两根相等为x1=x2=3，
∵3+3>4
∴能构成三角形；
综上，m的值是2或3，
故选：D．
①当腰长为4时，直接把x=4代入原方程即可求出m的值，最后利用三角形三边的关系确定m的值是否成立；
②当底边为4时，那么x的方程x2−6x+m+6=0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值，最后利用三角形三边的关系确定m的值是否成立．
此题主要考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过B作BE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AB=AD，OA=1
2AC=4，OD=1
2
BD=3，AC⊥BD，
∴∠AOD=90∘，
∴AB=AD=√OA2+OD2=√42+32=5，∵BE⊥AD，
∴S
菱形ABCD =AD⋅BE=1
2
AC⋅BD=1
2
×8×6=24，
∴BE=24
5
，
在Rt▵ABE中，sin∠BAD=BE
AB =
24
5
5
=24
25
，故选C．
10.【答案】B
【解析】解：设直线l交y轴于E，
在y=√3x−3中，令y=0得x=√3，令x=0得y=−3，
∴A(√3,0)，E(0,−3)， ∵点B 与点A 关于y 轴对称， ∴B(−√3,0)，AB =2√3， OM 绕点O 逆时针旋转60°得ON ，
∴当M 在直线l 上运动时，N 的轨迹是将直线l 绕点A 逆时针旋转60°得到的一条直线AN ， 设直线AN 交y 轴于D ，过B 作BH ⊥AN 于H ，当M 运动到E 时，作NC ⊥x 轴于C ，如图：
由已知可得：△MON 是等边三角形， ∴ON =OM =3，∠NOC =30°，
∴CN =3
2，OC =3√3
2
， ∴N(
3√32,−3
2)， 由N(3√32
,−32
)，A(√3,0)可得直线AN 解析式为y =−√3x +3， 令x =0得y =3， ∴D(0,3)，OD =3， ∴tan∠DAO =
OD
OA
=√3，
∴∠DAO =60°， 在Rt △ABH 中，
BH =AB ⋅sin60°=2√3×√3
2=3，
∴当N 运动到H 时，BN 的最小值即为BH 的长为3． 故选：B ．
设直线l 交y 轴于E ，可得A(√3,0)，E(0,−3)，B(−√3,0)，AB =2√3，当M 在直线l 上运动时，N 的轨迹是将直线l 绕点A 逆时针旋转60°得到的一条直线AN ，设直线AN 交y 轴于D ，过B 作BH ⊥AN 于H ，当M 运动到E 时，作NC ⊥x 轴于C ，可得N(3√32
,−32
)，直线AN 解析式为y =−√3x +3，令x =0
得D(0,3)，OD =3，从而可得∠DAO =60°，在Rt △ABH 中，BH =AB ⋅sin60°=3，即得当N 运动到H 时，BN 的最小值即为BH 的长3．
本题考查一次函数图象的旋转变换，解题的关键是掌握N 的轨迹是将直线l 绕点A 逆时针旋转60°得到的一条直线AN ．
11.【答案】130°
【解析】本题主要考补角的概念，熟练掌握补角的概念是解题的关键． 根据补角的概念直接计算即可． 解：∵∠AOC =50°，
∴∠BOC =180°−∠AOC =180°−50°=130°， 故答案为：130°．
12.【答案】3√2
【解析】解：原式=√2+2√2=3√2． 故答案为：3√2
原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.【答案】{x =2
y =4
【解析】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是一次函数的交点坐标．
根据方程组的解是一次函数的交点坐标解答即可． 解：∵直线y =2x 与y =−x +b 的交点坐标为(2,4)， ∵方程组的解就是两条直线的交点坐标， ∴方程组的解{x =2
y =4
，
故答案为：{x =2
y =4
．
14.【答案】三
【解析】 【分析】
本题主要考查一元一次方程的解和平面直角坐标系中点的坐标．
本题首先解方程得出x =m +2，根据解为负数得出m <−2，从而得出答案． 【解答】
解：解关于x 的方程
x+m 4
=x−1
2，得：x =m +2，
根据题意知，m +2<0， 解得m <−2，
∴点(m,m +2)在第三象限， 故答案为：三．
15.【答案】4
【解析】 【分析】
连接OD ，根据切线的性质及AB =AC 可判断△ABC 、△BOD 是等腰直角三角形，再根据阴影部分的面积为(S 扇形BOD −S Rt△BOD )+(S △ABC −S Rt△BOD −S 扇形AOD )，整理为S △ABC −2S Rt△BOD 计算即可． 本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握用分割法求阴影部分的面积． 【解答】 解：连接OD ，
∵AC 是⊙O 的切线，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC=4，即△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OB=OD=2，∠ACB=∠ABC=∠ODB=45°，
∴∠BOD=90°=∠AOD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴阴影部分的面积为：(S扇形BOD−S Rt△BOD)+(S△ABC−S Rt△BOD−S扇形AOD)
=S△ABC−2S Rt△BOD
=1
2×4×4−2×
1
2×2×2
=8−4
=4．
故答案为：4．
16.【答案】①②④
【解析】
【分析】
本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△GCH∽△BCE．
①根据矩形的性质证明△ADE是等腰直角三角形，进而可以判断；
②首先证明△GCH∽△BCE，证明△AEF≌△BCE(ASA)，可得EF=EC，可得四边形CEFG是正方形，所以CG=CE，进而可以判断；
③若BC=AE=4，CH=5，根据勾股定理可得DH=DC−CH=6−5=1，根据EF=2√5，AE=4，即可判断；
④设AF=DF=a，则AD=BC=AE=2a，可得AB=AE+BE=3a，所以S四边形ABCD=2a⋅3a=6a2，根据勾股定理可得EF=√5a，所以得S四边形EFGC=EF2=5a2，进而可以判断．
【解答】
解：①在矩形ABCD中，∠A=90°，AD=BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD =AE ，
∴AE =BC ；故①正确；
②∵∠GCH +∠HCE =90°，∠ECB +∠HCE =90°， ∴∠GCH =∠ECB ， ∵∠G =∠B =90°， ∴△GCH∽△BCE ， ∴CH
CE =CG
CB ，
∵∠AEF +∠CEB =90°，∠BCE +∠CEB =90°， ∴∠AEF =∠BCE ， 在△AEF 和△BCE 中，
{∠A =∠B =90°AE =BC ∠AEF =∠BCE
, ∴△AEF≌△BCE(ASA)， ∴EF =EC ，
∵四边形CEFG 是矩形， ∴四边形CEFG 是正方形， ∴CG =CE ， ∵CH
CE =CG CB ，
∴CE 2=CH ⋅CB =5×4=20， ∴CE =2√5；故②正确；
③∵若BC =AE =4，CH =5，CE =2√5， ∴BE =√CE 2−BC 2=√20−16=2， ∴CD =AB =AE +BE =4+2=6， ∴DH =DC −CH =6−5=1， ∵EF =2√5，AE =4， ∴EF ≠AE +DH ；故③错误； ④当F 是AD 的中点时，
设AF =DF =a ，则AD =BC =AE =2a ， ∵BE =AF =a ，
∴AB=AE+BE=3a，
∴S
四边形ABCD
=2a⋅3a=6a2，
∵EF=√AE2+AF2=√(2a)2+a2=√5a，
∴S
四边形EFGC
=EF2=5a2，
∴S
四边形ABCD
：S四边形CEFG=6a2：5a2=6：5.故④正确．
综上所述：①②④．
故答案为：①②④．
17.【答案】解：解不等式2x−1>x+2得：x>3，
解不等式3(x−1)≤9得：x≤4，
则不等式组的解集为3<x≤4．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组．
分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
18.【答案】证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC，
在△ACD和△BCE中，
{AD=BE
∠A=∠B
AC=BC
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴DC=EC．
【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质．
利用SAS证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得解．
19.【答案】解：(1)P=a2+2ab+b2
3ab ÷(1
a
+1
b
)
=
(a+b)2
3ab÷
b+a
ab
=(a+b)2
3ab⋅
ab
a+b
=a+b
3
；
(2)∵b=−a+√3，
∴a+b=√3，
当a+b=√3时，原式=√3
3
．
【解析】(1)先通分括号内的式子，然后再将除法改乘法约分即可；
(2)由b=−a+√3，可以得到a+b=√3，然后代入(1)中化简后的式子即可．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．20.【答案】解：(1)120°；
(2)列表如下：
共有12种等情况数，其中恰好选中A，B两人的有2种，
所以恰好选中A，B两人的概率为2
12=1
6
．
【解析】
【解答】
解：(1)扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是360°×15
4+15+16+10
=120°，
故答案为：120°；
(2)见答案．
【分析】
(1)用360°乘以“电话家访”的人数占总人数的比例即可；
(2)列表展示所有可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，
则BE⊥AE，AD=BE=30米，
在Rt△ABE中，∠EAB=60°，
∴AE=BE
tan60∘=30
√3
=10√3(米)，
在Rt△AEC中，∠EAC=45°，
∴EC=AE=10√3(米)，
∴BC=BE−EC=30−10√3≈12.7(米)，
答：大树BC的高约为12.7米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．
延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD=BE=30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，求出EC的长，最后计算BC即可解答．
22.【答案】解：(1)如图，点E即为所求；
(2)∵EA=EC，
∴∠A =∠ECA ， ∵∠ACB =2∠A ， ∴∠BCE =∠A ， ∵∠B =∠B ， ∴△BCE∽△BAC ，
∴
BC AB =
BE
BC
∴BC 2=BE ⋅BA ， ∴BE =
629
=4，
∴AE =AB −EB =9−4=5．
【解析】(1)作线段AC 的垂直平分线交AB 于点E ，连接EC 即可； (2)证明△BCE∽△BAC ，推出BC 2=BE ⋅BA ，求出BE ，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)∵√a −1+(b −√3)2=0．
∴a −1=0，b −√3=0， ∴a =1，b =√3， ∴M(1,√3)，
∵反比例函数y =k x
经过点M(a,b)， ∴k =1×√3=√3，
∴反比例函数y =k x
的解析式为y =√3x
；
(2)如图，作MA ⊥y 轴于A ，
∵M(1,√3)，
∴AM=1，OA=√3，
∴tan∠AMO=√3，OM=2，
∴∠AMO=60°，
则⊙M与y轴的另一个交点即为N，此时∠OMN=120°，
∴ON=2OA=2√3，
∴N(0,2√3)，
延长AM交⊙M于N′，此时∠OMN′=120°，
∴AN′=AM+MN′=1+2=3，
∴N′(3,√3)，
综上：N(0,2√3)或(3,√3).
【解析】本题是圆与反比例函数综合题，主要考查了圆的性质，函数图象上点的坐标的特征，三角函数等知识，求出∠AMO=60°是解题的关键．
(1)首先利用二次根式和平方的非负性可得a=1，b=√3，从而得出点M的坐标，即可得出答案；
(2)作MA⊥y轴于A，根据点M的坐标可得tan∠AMO=√3，OM=2，则∠AMO=60°，则⊙M与y 轴的另一个交点即为N，此时∠OMN=120°，延长AM交⊙M于N′，此时∠OMN′=120°，分别求出点N和N′的坐标即可．
24.【答案】(1)解：∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=100=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∠ACB=45°；
∴∠ACD=1
2
(2)证明：过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCM=∠DCN，
又∵∠CMD=∠CND，CD=CD，
∴△DCM≌△DCN(AAS)，
∴DM=DN，CM=CN，
∵AD=BD，
∴△DAM≌△DBN(HL)，
∴∠ADM=∠BDN，
∴∠ADM+∠ADN=∠BDN+∠ADN，即∠MDN=∠ADB，在四边形MDNC中，∠ACB+∠MDN+90°+90°=360°，∴∠ACB+∠MDN=180°，
∴∠ACB+∠ADB=180°；
(3)解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD，
∴AE=1
2
AB，
由(2)可得△DAM≌△DBN，
∴AM=BN，
∴CB+CA=CN+BN+CM−AM=2CM，
∴CM=1
2
(CB+AC)，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴A，D，B，C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD=∠DCM，
∴△DMC∽△DEA，
∴AE AD =CM
DC
，
∵AB
AD
=k，
∴AE AD =
1
2
AB
AD
=1
2
k，
∴AE AD =CM
CD
=1
2
k=
1
2
(CA+CB)
CD
，
∴CA+CB=kCD．
【解析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理．
(1)证出△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，由角平分线的定义得出答案；
(2)过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，证明△DCM≌△DCN(AAS)，由全等三角形的性质得出DM=DN，CM=CN，证明△DAM≌△DBN(HL)，由全等三角形的性质得出∠ADM=∠BDN，由四边形内角和定理可得出答案；
(3)过点D作DE⊥AB于点E，证明△DMC∽△DEA，由相似三角形的性质可得出结论AE
AD =CM
DC
，则
可得出结论．
25.【答案】解：(1)把x=4代入y=mx2+(1−3m)x+1−4m得：
y=16m+4(1−3m)+1−4m=5，
∴点C(4,5)在抛物线上；
(2)①抛物线y=mx2+(1−3m)x+1−4m，令y=0，则mx2+(1−3m)x+1−4m=0，∴(mx+1−4m)(x+1)=0，
∵m>1
5
，
解得x1=4m−1
m
，x2=−1，
∴A(−1,0)，B(4m−1
m
,0)，
设直线AC的解析式为y1=kx+b，
4k+b=5b=1
∴直线AC的解析式为y1=x+1，
∵抛物线的对称轴为x=1−3m
−2m =3m−1
2m
，
∴D(3m−1
2m ,5m−1
2m
)，
∵S△BCD=S△ABC−S△ABD=6，
∴1 2×5(4m−1
m
+1)−1
2
⋅5m−1
2m
⋅(4m−1
m
+1)=6，
整理得：m2=1，解得m1=1，m2=−1(不合题意，舍去)，
∴抛物线的解析式为y=mx2+(1−3m)x+1−4m=x2−2x−3，∴y=x2−2x−3；
②如图，过F作FH⊥x轴于H、过E作EK⊥x轴于K．
∵P是△ABC的外心，
∴PG、TL分别为AB、AC的垂直平分线，PG为抛物线的对称轴，
∴PG为x=3m−1
2m
，
∵直线AC的解析式为y1=x+1，
∴∠CAB=45°，
∵TL⊥AC，
∴∠OLT=∠OTL=45°，
设T(0,m1)，L(m1,0)，TL为y2=ex+f，
m 1e +f =0
∴TL 为y 2=−x +f ，
∵A(−1,0)，C(4,5).V 为AC 的中点，
∴V(32,52
)，
∴−32+f =52，解得f =4，
∴直线TL 的解析式为y 2=−x +4，
∴P(3m−12m ,5m+12m )，即P(32−12m ,52+12m ).
∵AC 与AE 关于x 轴对称，
∴AE 的解析式为y 3=−x −1．
∴{y 3=−x −1y =mx 2+(1−3m)x +1−4m
, 解得{x =−1y =0或{x =4m−2m y =2−5m m ， ∴E(4m−2m ,2−5m m
)． ∵EF =3AF ．
∴AF AE =14
， ∵FH//EK ，
∴△AHF∽△AKE ，
∴AH AK =FH EK =AF AE =14，
∴FH =14|2−5m m |=|2−5m 4m
|. ∴F 的纵坐标为
2−5m 4m .代入y 3=−x −1． ∴F 的横坐标为
m−24m ． ∴F(m−24m ,2−5m 4m )，即F(14−12m ,−54+12m )，
设PF 为y 4=k 1x +b 1，
∴{(32−12m )k 1+b 1=52+12m (14−12m )k 1+b 1=−54+12m ，解得{k 1=3b 1=−2+2m ，
∴PF的解析式为y4=3x−2+2
m
，
当y=0时，x=2
3−2
3m
，
∴SG=3
2−1
2m
−2
3
+2
3m
=5
6
+1
6m
，
∵PG=5
2+1
2m
．
∴tan∠PSG=tanα=5
2
+1
2m
5
6
+1
6m
=3，
∴α的大小不会发生变化，tanα=3．
【解析】(1)直接把C的横坐标代入解析式进行检验即可；
(2)①先求解抛物线与x轴的两个交点坐标，再求解AC的解析式，表示出D的坐标，再利用面积公式列方程，解方程即可；
②如图，过F作FH⊥x轴于H、过E作EK⊥x轴于K.先求得三角形的外心的坐标P(3
2−1
2m
,5
2
+1
2m
).
再求AE的解析式为y3=−x−1.求出E(4m−2
m ,2−5m
m
).再利用相似三角形的性质求得F的坐标，设PF
为y4=k1x+b1，求出PF的解析式即可得到答案．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，三角形外接圆的圆心的坐标的确定，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度较大，对学生的要求高，特别是对计算能力的要求高，细心是解题的关键．。