(易错题)高中数学必修第二册第二单元《复数》检测题(有答案解析)

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【详解】
由 ,得 ,则 ,
∴ .
故选:A
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算,复数的模的运算,属于中档题.
7.A
解析:A
【解析】
【分析】
首先求得x,y的值,然后求解复数的模即可.
【详解】
由题意可得: ,结合复数的充分必要条件可知: ,
则 , .
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查复数相等的充分必要条件,复数模的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
解析:3:4:5
【分析】
设 、 对应的复数,计算 对应的复数,从而得出 ,再根据 与 的比值得出答案.
【详解】
设 表示的复数为 , 表示的复数为 ,
则 ,
所以 , ,
所以 表示的复数为 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
又 ,则 ,
所以 的三边长之比为: ,
故答案为: .
【点睛】
本题考查了复数的运算,重点考查了复数模的运算,考查了推理能力,属中档题.
22.已知复数z1=2+ai(其中a∈R且a>0,i为虚数单位),且 为纯虚数.
(1)求实数a的值;
(2)若 ,求复数z的模 .
23.已知 为复数, 为实数,且 为纯虚数,其中i是虚数单位.
(1)求复数 ;
(2)若复数 满足 ,求 的最小值.
24.已知 是虚数单位,复数 ,复数 的共轭复数 .
(1)若 ,求实数 的值;
解析:
【解析】
【分析】
设 为坐标原点,根据 可知以线段 、 为邻边的平行四边形是矩形,且线段 的中点为 ,由此可计算出 的值.
【详解】
设 为坐标原点,由 知,以线段 、 为邻边的平行四边形是矩形,即 为直角,
又 是斜边 的中点,且 ,所以 ,
所以 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查复数的几何意义,涉及复数模的计算,解题的关键就是要分析出以线段 、 为邻边的平行四边形的形状,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
参考答案
二、填空题
13.棣莫弗公式 ( 为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667~1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数 在复平面内所对应的点位于第______象限.
二、填空题
13.二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为:二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题
解析:二
【分析】
先根据棣莫弗公式得 ,再根据三角函数确定符号,根据复数集合意义得答案.
【详解】
9.D
解析:D
【解析】
分析:利用复数乘法运算法则化简复数,结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.
详解:

实部为 ,故选D.
点睛:本题主要考查的是复数的乘法,属于中档题.解题时一定要注意 和 运算的准确性,否则很容易出现错误.
10.D
解析:D
【解析】
, , 的共轭复wenku.baidu.com在复平面内对应点坐标为 , 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限,故选D.
14.已知虚数 ( , )的模为4,则 的取值范围为________.
15.已知复数 满足 ,则 的最大值是__________.
16.已知 ,则复数 ______.
17.复数 、 分别对应复平面内的点 、 ,且 ,线段 的中点 对应的复数为 ( 是虚数单位),则 ________.
18.如果虚数z满足 ,那么 的值是________.
(2)若 是纯虚数,求 .
25.已知虚数 满足 是实数,且 .
(1)试求 的模;
(2)若 取最小值 时对应的复数 记为 ,试求
① 的值;
②求 的值.
26.已知复数 ,其中 是虚数单位.
(1)若 ,求 , 的值;
(2)若 的实部为2,且 , ,求证: .
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
一、选择题
1.满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是()
A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆
2.设 为虚数单位,复数 ,则 的共轭复数为()
A. B. C. D.
3.如果复数 满足 ,那么 的最小值是( )
A. B.
C. D.
4.“ ”是“复数 在复平面内对应的点在第一象限”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
【详解】
解:由题可知,复数 ,
11.C
解析:C
【分析】
先求出 , ,即得解.
【详解】
由题得 ,
所以 ,它对应的点的坐标为 ,
所以在复平面内复数 对应的点位于第三象限.
故选:C
12.A
解析:A
【分析】
先化简z,求出a,再判断即可.
【详解】

z不是纯虚数,则 ,所以 ,即 ,
所以 是 的充分而不必要条件.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查根据复数的类型求参数,考查充分条件和必要条件的判断,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题.
又因为 ,
所以点 到点 的距离的最大值为 ,最小值为 ,
则 的取值范围为 .
故答案为 .
【点睛】
本题考查复数的模和复数的几何意义,解题关键是根据复数的模长公式,得到x和y关系式,根据条件作出图形利用数形结合求解,考查逻辑思维能力和运算求解能力,考查数形结合思想,属于常考题.
15.【分析】设则化简可得;然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是;当时所以的最大值是;当时所以综上的最大值是故答案为:【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何
18.6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z为虚数得∴故答案为:6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和
解析:6
【分析】
利用立方差公式,由 ,得 ,再将所求式子进行等价变形为 ,最后利用整体代入计算求值.
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.若 ,则复数 对应的点在()
A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限
6.若复数z满足 ,则 ()
A. B. C. D.3
7.已知i为虚数单位,(1+i)x=2+yi,其中x,y∈R,则|x+yi|=
A.2 B.2C.4D.
8.复数 满足 ,则 ()
A. B. C. D.
【详解】
由 ,得 .
又z为虚数,得 .
∴ .
故答案为:6
【点睛】
本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意整体代入法的灵活运用.
19.3:4:5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为:故答案为:【点睛】本题考查了复
解析:
【分析】
由模长公式易得 ,设 ( , ), 表示的几何意义为点 到点 的距离,结合图形求出距离的范围即可得解.
【详解】
因为虚数 ( , )的模为4,所以有 ,
故点 的轨迹是以圆心 ,半径为 的圆,
设 ( , ), 表示的几何意义为点 到点 的距离,
由图可知,点 到点 的距离的最大值为 ,最小值为 ,
19.在复平面内,三点 、 、 分别对应复数 、 、 ,若 ,则 的三边长之比为________
20.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是________.
参考答案
三、解答题
21.当实数 取什么值时,复数 分别满足下列条件?
(1)复数 实数;
(2)复数 纯虚数;
(3)复平面内,复数 对应的点位于直线 上.
16.【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解
解析:
【分析】
设 ,根据 ,得到 ,再利用复数相等的条件列出方程组,求得 的值,即可求解.
【详解】
解析:A
【分析】
直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹.然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
:∵|z+i|+|z-i|=2
∴点Z到点A(0,-1)与到点B(0,1)的距离之和为2.
∴点Z的轨迹为线段AB.
而|z+1+i|表示为点Z到点(-1,-1)的距离.
数形结合,得最小距离为1
故选A.
【点睛】
1.C
解析:C
【解析】
因为 ,所以 , 因此复数 在复平面上对应点的轨迹是圆,选C.
2.B
解析:B
【分析】
由题意首先由复数的运算法则求得z的值,然后求解其共轭复数的值即可.
【详解】
,则 ,
故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则,共轭复数的概念与计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.A
9.已知复数 和复数 ,则复数 的实部是( )
A. B. C. D.
10.已知复数 满足 ,则 的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
11.设复数 ,那么在复平面内复数 对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
12.设i为虚数单位, ,“复数 不是纯虚数“是“ ”的()
由 ,得 ,
∵ ,∴ , ,
∴复数 在复平面内所对应的点位于第二象限.
故答案为:二.
【点睛】
本题考查复数的几何意义,三角函数符号的判断,是中档题.
14.【分析】由模长公式易得设()表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数()的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设()表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的
解析:
【分析】
设 ,则化简可得 ;然后分类讨论去绝对值,在根据三角函数的性质,即可求出结果.
【详解】
设 .


, .
当 时, ,
所以 , 的最大值是 ;
当 时, ,
所以 , 的最大值是 ;
当 时, ,所以 ,
, .
综上, 的最大值是 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题.
设 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
根据复数相等的条件得 ,解得 ,所以 ,所以 .
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了复数相等的条件,以及复数的模的计算公式的应用,其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件,列出方程组求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
17.【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为:【点睛
5.B
解析:B
【分析】
首先分析题目,设 ,将其代入 进行化简可得 ,从而可得结论.
【详解】
设 ,则 ,
即 ,
解得 ,
所以 ,它对应的点在虚轴上.
故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的模以及复数的几何意义,属于中档题.
6.A
解析:A
【分析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.
本题只要弄清楚复数模的几何意义,就能够得到解答.
4.C
解析:C
【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系,从而得到答案.
【详解】
若复数 在复平面内对应的点在第一象限,则
解得 ,故“ ”是“复数 在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.
故选C.
【点睛】
本题考查了充分必要条件,考查了复数的与复平面内点的对应关系,是一道基础题.
|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z-1|min=1.
点睛:要熟悉复数相关基本概念,如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
三、解答题
21.(1) 或 ;(2) ;(3) 或 .
【分析】
(1)由虚部为0,求解 值;
(2)由实部为0且虚部不为0,列式求解 值;
(3)由实部与虚部的和为0,列式求解 值.
8.D
解析:D
【分析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得 ,利用共轭复数的定义可得结论.
【详解】


所以 ,故选D.
【点睛】
复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.
20.1【解析】由|z-2|=|z+2|知z对应点的轨迹是到(20)与到(-20)距离相等的点即虚轴|z-1|表示z对应的点与(10)的距离∴|z-1|min=1点睛:要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为
解析:1
【解析】
由|z-2|=|z+2|,知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(-2,0)距离相等的点,即虚轴.
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