2021_2022学年高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性课件北师大版选修1_1

单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且
在点P处的切线斜率为8.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)∵函数f(x)的图像过点P(1,2),∴f(1)=2.
∴(0,1)⊆ 0,
2

3
,∴
3
2
≥1,即
3
∴a 的取值范围是 2 , + ∞ .
3
2
a≥ .
1
2
3
4
5
1.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图像,则下列判断正确的是(
)
A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减少的
B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减少的
C.函数f(x)在区间(0,2)上是减少的
f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0,且在
(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为0.
【做一做1】 f(x)在(a,b)内可导,若f'(x)<0,则f(x)在(a,b)内是(
)
A.增函数
B.减函数
C.奇函数
D.偶函数
∴函数 f(x)的递增区间为(-∞,-3),
1
,
3
1
+ ∞ ,递减区间为 -3, 3 .
探究一
探究二
探究三
探究三
思维辨析
利用导数求参数的取值范围
1
1
【例 3】 若函数 f(x)=3x3 -2ax2+(a-1)x+1 在(1,4)上是减少的,在
(6,+∞)上是增加的,求实数 a 的取值范围.
解(法一:直接法)
探究三
思维辨析
反思感悟恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
探究一
探究二
探究三
思维辨析

变式训练 3 已知函数 f(x)=x2 +(x≠0,常数 a∈R),若函数 f(x)在
[2,+∞)上是增加的,求 a 的取值范围.
解

答案:B
【做一做2】 函数y=x2-4x+a的递增区间为
,递减区间
为
.
解析:y'=2x-4,令y'>0,得x>2;令y'<0,得x<2,所以y=x2-4x+a的递增
区间为(2,+∞),递减区间为(-∞,2).
答案:(2,+∞) (-∞,2)
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1)上是增
加的,求a的取值范围.
解 f'(x)=2a-3x2 .令 f'(x)>0,即 2a-3x2>0,
∴0<x<
2
,
3
∴f(x)的递增区间是 0,
2

3
.
又∵f(x)在(0,1)上是增加的,
3 × (5-) ≤ 0,
∴
即
∴5≤a≤7.
'(6) ≥ 0,
5 × (7-) ≥ 0,
故实数a的取值范围为[5,7].
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(法三:转化为不等式的恒成立问题)
f'(x)=x2-ax+a-1.
因为f(x)在(1,4)上是减少的,
所以f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,
即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.
f'(x)>0
单调递增
f'(x)<0
单调递减
f'(x)=0
常函数
(2)在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性
导
数
单调递增
f'(x)≥0
单调递减
f'(x)≤0
常函数
f'(x)=0
名师点拨对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f'(x);
③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些
【例1】 函数f(x)的图像如图所示,则导函数y=f'(x)的图像可能是
(
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减少
的,f'(x)<0;在区间(0,x1)上是增加的,f'(x)>0;在区间(x1,x2)上是减少
的,f'(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增加的,f'(x)>0.结合选项可知,只有D
2
9
∴f'(x)=x-(x>0),
当
9
x- ≤0,即

0<x≤3 时,函数 f(x)是减少的,
∴a-1>0,且 a+1≤3,解得 1<a≤2.
答案:A
1
2
3
4
4.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函数,则m的取值范围
是
.
解析:f'(x)=3x2+2x+m≥0在x∈R上恒成立,
则 Δ=4-12m≤0,即
由y'>0⇒x2+2x-3<0⇒-3<x<1,
∴函数y=(3-x2)ex的递增区间是(-3,1).
故选D.
答案:D
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
3.设函数f(x)= 2 x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上是减少的,则实数a的取值
范围是(
)
<a≤2 B.a≥4
C.a≤<a≤3
1
解析:∵f(x)= x2 -9ln x,
∴(2x3)min=16,∴a≤16.
∴a的取值范围是(-∞,16].
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错误理解导数与函数的单调性的关系而致误
【典例】 已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上是增函数,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上是减少的?若存在,求出a的取
数的正负.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则
y=f(x)的图像最有可能的是 (
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:由f'(x)的图像知,当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,x∈(0,2)
时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,0)与(2,+∞)上是增加的,在区间(0,2)
∴a+b=1.①
又函数图像在点P处的切线斜率为8,
∴f'(1)=8,又f'(x)=3x2+2ax+b,
∴2a+b=5.②
解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.
(2)由(1)得f'(x)=3x2+8x-3=(3x-1)(x+3),
1
令 f'(x)>0,可得 x<-3 或 x>3;
1
令 f'(x)<0,可得-3<Байду номын сангаас<3.
成立,且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,因此,在已知函数
f(x)在区间(a,b)上是增加的(或减少的)求参数的取值范围时,应用
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a,b)上恒成立,解出参数的取值范围,然后
检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值
应舍去.
值范围;若不存在,说明理由.
易错分析易错误地认为f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在某区间上递增
(或递减)的充要条件,正确的理解应该是充分条件而非充要条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)由已知,得f'(x)=3x2-a.
∵f(x)在R上是增函数,
∴f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,
f'(x)=x2-ax+a-1,
令f'(x)=0,得x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上是增加的,不符合题意.
当a-1>1,即a>2时,f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)上是增加的,在(1,a-1)上
是减少的,
由题意知(1,4)⊆(1,a-1)且(6,+∞)⊆(a-1,+∞),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.
利用导数研究函数的单调性应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是f(x)在
某个区间上递增(或递减)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在
(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在(a,b)上恒
项满足.
答案:D
反思感悟1.利用导数符号判断单调性的方法:
利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多,
只需判断导数在该区间内的正负即可.
2.通过图像研究函数单调性的方法:
(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析
函数值的变化趋势;
(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点,分析导
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1
导数与函数的单调性
学
习 目
标
1.理解在某区间上函数的单
调性与导数的关系.
2.掌握利用导数判断函数单
调性的方法.
3.能够根据函数的单调性求
参数.
思
维 脉
络
1.函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系:
导 数
函数的单调性
所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7].
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(法二:数形结合法)
如图所示,f'(x)=(x-1)[x-(a-1)].
∵在(1,4)内f'(x)≤0,在(6,+∞)内f'(x)≥0,
且f'(x)=0有一个根为1,∴另一个根在[4,6]上.
'(4) ≤ 0,
上是减少的,对照选项知应选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究二
思维辨析
求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3-3x+1;


(2)f(x)=x+ (b>0).
分析直接求导数,然后解关于导数的不等式.
解(1)函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,则3x2-3>0,
f'(x)=2x-2
=
23 -
.
2
要使 f(x)在[2,+∞)上是增加的,
则 f'(x)≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立,
23 -
即 2 ≥0
在 x∈[2,+∞)时恒成立.
∵x2>0,∴2x3-a≥0,
∴a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立.∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2,+∞),y=2x3是单调递增的,
打“×”.
(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则函数f(x)在定义域上是增加
的.(
)
(2)函数在某一点的导数的绝对值越大,函数在该点处的切线越“
陡峭”.(
)
(3)利用导函数判断函数的单调性时不能忽略定义域.(
)
答案:(1)√ (2)√ (3)√
探究一
探究二
探究一
探究三
思维辨析
函数与导函数图像之间的关系
D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数
解析:由导函数的图像易判断在区间(-3,0)上f'(x)<0,所以f(x)在(-3,0)
上是减少的,故选A.
答案:A
1
2.函数y=(3-x2)ex的递增区间是(
)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,-3)和(1,+∞)
D.(-3,1)
解析:y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),
答案:
1
,+ ∞
3
1
m≥3.
5
1
1

2
3
4
5
5.设函数 f(x)=3x3-2x2+bx+c ,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0.∴a的取值范围是(-∞,0].
(2)存在实数a满足题意.
由f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2在(-1,1)上恒成立.
∵-1<x<1,∴3x2<3.∴只需a≥3.故存在实数a∈[3,+∞),使f(x)在(-1,1)
上是减少的.
即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1.
∴函数f(x)的递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
令f'(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1.
∴函数f(x)的递减区间为(-1,1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
因为2<x+1<5,所以当a≥5时,f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,又因为f(x)
在(6,+∞)上是增加的,
所以f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,