高中物理选修一 讲义 第1节 简谐运动

第1节简谐运动
学习目标要求核心素养和关键能力
1.知道什么是弹簧振子，理解振动的平
衡位置和位移。

2.知道弹簧振子的位移—时间图像，知
道简谐运动的过程及其图像。

3.会结合简谐运动的图像分析运动过程
特点。

1.核心素养
科学思维：理解弹簧振子的理想化模型
和简谐运动的“对称性”思维。

2.关键能力
物理建模能力和数形结合分析问题的能
力。

知识点一弹簧振子
钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，担物行走时扁担下物体的颤动，树梢在微风中的摇摆……在生活中我们会观察到很多类似这样的运动。

这些运动的共同点是什么？
提示钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，扁担下物体的颤动、树梢的摇摆等都是以某个位置为中心来回往复运动。

❶机械振动
物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。

❷平衡位置
弹簧未形变时，物体所受的合力为0，处于平衡位置。

❸弹簧振子
(1)组成：小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，简称振子
(2)理想化模型
弹簧振子是一种理想化模型，近似条件
①弹簧的质量与小球相比可以忽略。

②小球运动时空气阻力很小，可以忽略。

③小球与杆之间无摩擦。

1．平衡位置
振子不振动时，保持静止状态的位置；振子振动时，速度最大的位置。

2．振动特征
(1)有一个“中心位置”，即平衡位置。

(2)运动具有往复性。

3.弹簧振子的位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置。

当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；反之，位移减小。

4．运动学分析
当振子从平衡位置向最大位移处移动时，位移在增大，速度在减小；当振子向平衡位置移动时，位移减小，速度增大，平衡位置处位移为零，速度最大；最大位移处速度为零。

【例1】(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是()
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
答案CD
解析平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，故选项D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。

【例2】如图所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间做简谐运动，O是平衡位置。

关于小球的运动情况，下列描述正确的是()
A．小球经过O点时速度为零
B．小球经过M点与N点时有相同的加速度
C．小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大
D．小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小
答案D
解析小球经过O点时速度最大，A错误；小球在M点与N点的加速度大小相等，方向相反，B错误；小球从M点向O点运动过程中，加速度减小，速度增大，C错误；小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小，D正确。

【训练1】如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a
和b之间振动，关于振子，下列说法正确的是()
A．在a点时加速度最大，速度最大
B．在O点时速度最大，位移最大
C．在b点时位移最大，速度最小
D．在b点时加速度最大，速度最大
答案C
解析O点为弹簧振子的平衡位置，振子在O点时加速度为零，位移为零，速度最大，故B错误；振子在a、b两点时，位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确。

知识点二弹簧振子的位移—时间图像
❶建立坐标系：以振子的平衡位置为坐标原点，明确纵、横轴意义。

规定振子在平衡位置右边时，位移为正，在平衡位置左边时，位移为负。

❷图像绘制：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。

两个坐标轴分别代表时间t和振子位移x，绘制出的图像就是振子在平衡位置附近往返运动时的位移—时间图像，即x－t图像，如图所示。

❸振子的位移：振子相对平衡位置的位移。

【思考】
在上图中，振子的位移—时间图像是振子的运动轨迹吗？
提示图像描述的是振子的位移随时间的变化规律，并不是振子的运动轨迹。

振子运动的轨迹是一条直线而不是正弦曲线。

1．图像形状：正(余)弦曲线。

2．物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，反映位移随时间的变化规律。

3．图像应用
(1)确定任意时刻质点位移的大小和方向
如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。

(2)确定任意时刻质点的振动方向
看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点对应时刻质点沿x轴正方向运动，图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b点对应时刻质点沿x轴正方向运动。

(3)运动学物理量判断
先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。

如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。

【例3】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是()
A．t2时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
答案AC
解析振子在A点和B点时位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A 点有正向最大位移，运动到B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误。

振动图像问题的判断方法
(1)从振动图像获取必要信息。

(2)把振动图像和振子振动情境结合起来，分析出振子的运动情况。

(3)注意规定的正方向和零时刻不同，振子的振动图像是不同的。

(4)平衡位置处振子的位移为零。

【训练2】如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，从最低点位置向上运动时刻开始计时，取竖直向上为正方向，振动图像如图乙所示。

关于其振动图像，下列说法正确的是()
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
答案C
解析t＝1.25 s时，振子的位移为正，故加速度为负，x－t图像上某点切线的斜率表示速度，故速度为负，A错误；同理t＝1.7 s时，振子的位移为负，加速度为正，速度为负，B错误；t＝1.0 s时，振子的位移为正向的最大值，加速度为负向的最大值，速度为零，C正确；t＝1.5 s时，振子的位移为零，加速度为零，速度为负向的最大值，D错误。

【训练3】(多选)(2022·南充市阆中中学高二月考)如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是()
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D．在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的位移
答案BC
解析在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大，加速度为负向最大，故A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，故B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增大，速度减小，所以弹簧振子做加速度增大的减速运动，故C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大，故D错误。

知识点三简谐运动
❶简谐运动：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图
像(x－t图像)是一条正弦曲线。

❷特点：简谐运动是最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。

【例4】(2022·岳阳一中高二期末)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是()
甲乙
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
答案A
解析由题图乙可知，当t＝0.8 s时，振子正通过平衡位置向负方向运动，即向左运动，A正确；在t＝0.2 s时，振子位移为正且大于6 cm，即在O点右侧大于6 cm处，B错误；t＝0.4 s时，振子位于正向最大位移处，t＝1.2 s时，振子位于负向最大位移处，两个时刻振子的加速度方向相反，C错误；t＝0.4 s 到t＝0.8 s 的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，D错误。

【训练4】(多选)(2022·湖北高二月考)下列各种运动中，属于简谐运动的是() A．拍皮球时球的往复运动
B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动
C．水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧和小球组成弹簧振子的往复运动
D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动
答案BC
解析拍皮球时球做往返运动，但是受到的力不满足简谐运动的条件，所以不是
简谐运动，故A错误；轻弹簧上端固定，下端挂钩码，钩码上下振动时，为简谐运动，故B正确；水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧和小球组成弹簧振子的往复运动，此模型是弹簧振子模型，属于简谐运动，故C正确；孩子荡秋千，只有秋千在摆角很小且空气阻力可以忽略的情况下才能看作是简谐运动，故D错误。

1．(弹簧振子运动分析)做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是()
A．总是与位移方向相反
B．总是与位移方向相同
C．远离平衡位置时与位移方向相反
D．向平衡位置运动时与位移方向相反
答案D
解析做简谐运动的弹簧振子，速度方向与位移方向存在两种可能，因为位移的方向总是背离平衡位置，所以当振子靠近平衡位置时，二者方向相反，远离平衡位置时，二者方向相同，故D正确。

2．(弹簧振子运动分析)某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置。

在振子由O向A运动的过程中，下列说法正确的是()
A．振子偏离平衡位置的位移方向向左
B．振子偏离平衡位置的位移正在减小
C．弹簧的弹性势能正在减小
D．振子的速度正在减小
答案D
解析振子偏离平衡位置的位移方向向右，且正在增大，故A、B错误；弹簧处
于伸长状态且形变量正在增大，故弹簧的弹性势能正在增大，振子的动能转化为弹簧的弹性势能，振子的速度减小，故C错误，D正确。

3．(简谐运动的图像)如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是()
A．因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹
B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
D．振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向
答案B
解析振动图像表示振子位移随时间的变化规律，并不是振子实际运动轨迹，B 正确，A、C错误；B点切线的方向不表示振子运动到B点时的速度方向，D错误。

4．(简谐运动的图像)如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计时零点(t＝0)，此时振子正向负方向运动，加速度为零。

那么如图所示的四个振动图像能正确反映振子振动情况的是()
答案D
解析计时零点，振子加速度为零，对应振子在平衡位置，B、C错误；振子向负方向运动，负向位移应逐渐增大，A错误，D正确。

题组一弹簧振子
1．(多选)下列振动系统可看作弹簧振子的是()
A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统
B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统
C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系着一个小钢球组成的系统
D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统
答案ABC
解析选项A、B、C都满足弹簧振子的条件，A、B、C符合题意；选项D中人受空气的阻力不可忽略，且人不能看作质点，故不可看作弹簧振子，D不符合题意。

2．(多选)对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法正确的是()
A．振子通过平衡位置时，速度最大
B．振子在最大位移处时，速度最大
C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同
D．振子连续两次通过同一位置时，动能相同
答案ACD
解析振子经过平衡位置时速度最大，A正确；振子在最大位移处时速度最小，为零，B错误；同一位置相对于平衡位置的位移相同，C正确；动能是标量，振子经过同一位置时速度的大小相同，则动能相同，D正确。

3．(多选)(2022·广雅中学期末)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是()
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．振子每次经过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
答案AD
解析振子受的力指向平衡位置，振子的位移为负值时，受到的力为正值，振子的加速度为正值，故A正确；当振子通过平衡位置时，位移为零，速度最大，故B错误；振子每次经过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，故C错误；振子每次经过同一位置时，位移相同，速度大小相等，但速度方向可能相同，也可能不同，故D正确。

题组二弹簧振子的位移—时间图像及简谐运动
4．(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是()
A．该图像的坐标原点是建在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
答案ACD
解析从图像中能看出坐标原点在平衡位置，选项A正确；横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只沿x轴振动，选项B错误，C 正确；因图像中相邻小球之间时间相同，密处说明小球的位置变化慢，选项D正
确。

5．(2022·山东青岛期中)如图所示，质点在1 s末的位移是()
A．5 cm B．－5 cm
C．15 cm D．0
答案B
解析位移是矢量，质点在1 s末的位移方向与正方向相反，所以位移为－5 cm，故B正确，A、C、D错误。

6．在水平方向做简谐运动的质点，其振动图像如图所示，假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是()
A．0到1 s内B．1 s到2 s内
C．2 s到3 s内D．3 s到4 s内
答案D
解析位移向左表示位移为负值，速度向右表示速度为正值，物体正在由负的最大位移处向平衡位置移动，即3 s到4 s内，故D正确。

7．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是()
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
答案ACD
解析从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，A项正确；t1时刻以后振子的位移为负，因此该时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，B项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，C项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，D项正确。

8．装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示。

将试管竖直向上提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。

若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像可能正确的是()
答案D
解析试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力平衡的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，开始时，试管由正向最大位移处开始运动，故D正确。

9．如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M(最右端N)距离平衡位置的距离为l，
规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法中正确的是()
A．图中x0应为l
B．0～t1时间内振子由M向O运动
C．t1～t2时间内振子由M向O运动
D．0～t2时间内与t2～t3时间内振子运动方向相反
答案A
解析结合甲、乙两图可知t1时刻振子的位移为正值且最大，振子位于N，x0应为l，A正确；0～t1时间内位移为正值，且逐渐增大，振子由O向N运动，B错误；t1～t2时间内位移为正值，且逐渐减小，振子由N向O运动，C错误；0～t2时间内振子先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，t2～t3时间内先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处，D错误。

10．如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上。

某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动，已知物块A、B的质量分别为m A、m B，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图像是()
答案B
解析物块A、B紧挨在一起平衡时弹簧压缩量Δx1＝m A＋m B
k g sin θ，移走B后，
A平衡时弹簧压缩量Δx2＝m A g sin θ
k
，因此A的最大位移＝Δx1－Δx2＝m B g sin θ
k
，
A、C错误；又t＝0时，A在负位移最大值处，故B正确，D错误。

11．如图所示，简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
(1)与a点位移相同的点有哪些？
(2)与a点速度相同的点有哪些？
(3)图像上从a点到c点，质点经过的路程为多少？
答案(1)b、e、f(2)d、e(3)4 cm
解析(1)分析图像可得a、b、e、f的位移均为1 cm。

c、d点的位移都是－1 cm。

故与a点位移相同的点为b、e、f三点。

(2)由(1)可知，图像上的a、b、e、f点对应质点运动到同一位置。

图像上的c、d 点对应质点运动到关于O点对称的另一位置，故以上6个点的速度大小相等。

再结合图像可以判断a、b、c、d、e、f 6个点的运动方向分别为正向、负向、负向、正向、正向和负向。

故与a点有相同速度的点为d和e。

(3)图像上从a点到b点，对应质点从正方向1 cm处先是到达2 cm处又返回到1 cm 处，通过的路程为2 cm。

从b点到c点，对应质点从正方向1 cm处经平衡位置运动到负方向1 cm处，通过的路程也为2 cm，故从a点到c点质点经过的路程
为4 cm。