高中数学湘教版选修2-2(课件)4.2导数的运算

4．2 导数的运算
4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表
4.2.2
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.能根据定义求 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的 导数． 2．掌握基本初等函 数的导数公式． 3．能应用基本初等 函数的导数解决有关问题．
3
(3)y′＝(x x)′＝(x 2
)′＝3x
3 1 2
＝3
x.
2
2
(4)y′＝(x14)′＝ (x－ 4)′＝－ 4x－ 4－ 1＝－ 4x－ 5＝－x45 .
(5)y′＝(5
x3 )′＝(x
3 5
)′＝3x
3 5
-1＝3x
-
2 5
5
5
＝3 .
5 5
x2
(6)y′＝(2x)′＝ 2x公式是我们 解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择 公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当 记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检 验．
∴ y′＝ (lgx)′＝(log1 0x)′＝x·ln110.
(5)∵ y＝(s inx＋ cosx)2 － 1 22
＝ sin2x2＋ 2·s inx2·cos x2＋ cos 2x2－ 1＝ s inx.
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
求在点P处的切线方程
利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程 的步骤：(1)求出函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0 ＝ f′(x0)·(x－ x0)．
1
点为(x0，y0)，因为 y＝ x＝x 2 ，可根据幂函数 的求导公式确定函数在切点处的切线斜率，再由 切线过点(3,2)，从而确定切线的斜率，进而写出 所求切线的方程．
【解】 ∵点(3,2)不在曲线 y＝ x上．
∴设过点(3,2)与曲线 y＝ x相切的直线在曲线的
切点为(x0，y0)，则 y0＝ x0.
求过点P的切线方程 求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲 线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求 解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程， 结 合已知 条件求 出切点坐 标或切 线斜率 ，从而得 到切线方程．
例3 求曲线 y＝ x过点(3,2)的切线方程．
【思路点拨】 由于点(3,2)不在曲线 y＝ x上，因 此可先设过点(3,2)与曲线 y＝ x相切的切线的切
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点 是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点 为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已 知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出 切线方程，然后求出切点．
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(6)(logax)′＝_____x_l_n_a(a>0，a≠1，x>0)；
(7)(sin x)′＝_____c_o_s_x；
(8)(cos x)′____＝__－__si_n_x；
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(9)(tan x)′＝_____c_o_s_2x__； (10)(cot x)′＝_____－_s_i_n1_2x.
自我挑战 1 求下列函数的导数． (1)y＝0；(2)y＝x12；(3)y＝ex；
(4)y＝lgx；(5)y＝(sinx＋cosx)2－1. 22
解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝0′＝0. (2)y＝x12＝ x－ 2，∵ y′＝ (xn)′＝ n·xn－1， ∴ y′＝ (x－ 2)′＝－ 2·x－2－ 1＝－ 2·x－3＝－x23 . (3)∵ y′＝(ax )′＝ ax ·lna，∴ y′＝ (e x)′ ＝ex ·lne ＝ex. (4)∵y′＝(logax)′＝xl1na，
自我挑战 2 求经过点(2,0)且与曲线 y＝1x相切的 直线方程． 解：可以验证点(2,0)不在曲线上， 设切点为 P(x0，y0)， ∵y′＝－x12，∴k＝－x120.
故所求切线方程为 y－y0＝－x120(x－x0)． 由点(2,0)在所求直线上，得 x20y0＝2－x0， 再由(x0，y0)在 y＝1x上得 x0y0＝1， 联立可解得 x0＝1，y0＝1. 所以所求直线方程为 x＋y－2＝0.
思考感悟 使用基本初等函数求导公式应注意什么？
提示：(1)学习基本初等函数求导公式时不需要对公式 说明，掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用 即可． (2)要搞清一些函数的内部关系，合理转化函数关系式
后求导，如 y＝3 x2 ，y＝x14等可转化为 y＝x 2 3， y＝ x－4.
课堂互动讲练
例2 已知曲线y＝x3上一点P(2,8)，求点P处的切线 方程． 【思路点拨】 求曲线上某点处的切线方程，只需 先求出切线斜率即曲线在该点处的导数，再用点斜 式写出切线方程．
【解】 设y＝f(x)，因为点P(2,8)在曲线y＝x3上， 所以点P处的切线的斜率即为f′(2)． ∵y＝x3，∴f′(x)＝3x2， ∴f′(2)＝12. 故曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－8＝12(x－2)， 即12x－y－16＝0. 【名师点评】 求出曲线在点P处的切线斜率，是 解题的关键．
2．基本初等函数的导数公式
(公式只对函数定义域内的自变量x有效)
(1)(c)′＝0； (2)(xα)′＝_α_x_α_－_1___ (α≠0)；
(3)(ex)′＝_e_x_____； (4)(ax)′＝_a_x_(l_n_a_)___ (a>0，a≠1)；
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(5)(ln x)′＝___x_____(x>0)；
课前自主学案
温故夯基 1．导数的定义 设_f__函x_0＋_数_d_fd(_－x_)f_在_x_包0_在含dx趋0的于某0个时区(d≠间0上)趋有于定确义定，的如极_果_限_比_值_值_ ，则称此极限值为函数f(x)在x＝x0处的导数或微商， 记作f′(x0)．
2．求函数导数的一 般步骤
考点突破 求导函数 能利用公式直接求导的，直接求导；否则化简函数后 再求导．
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝π；(2)y＝x12；(3)y＝x 2
x；(4)y＝x14；
(5)y＝5 x3；(6)y＝2x.
【思路点拨】 分清函数类型，直接利用导数公式 求解．
【解】 (1)y′＝(π2)′＝0.
(2)y′＝(x1 2)′＝ 12x1 2－ 1＝ 12x11.
方法感悟
1．在应用求导公式时应注意的问题 (1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化， 二是注意符号的变化． (2)对于公式(lnx)′＝1x和(ex)′＝ex 很好记，但对于 公式(logax)′＝xl1na(x>0，a＞0 且 a≠1)和(ax)′＝ axlna(a＞0)的记忆就较难，很容易混淆，要注意区 分．
∵y＝
1
x，∴y′＝(x 2
)′＝1x
1 2
1
＝
1
.
2
2x
∴根据 导数的几何意义， 曲线在点 (x0， y0)处的切 线斜率 k＝ 1 .
2 x0
∵切线过点(3,2)，
∴23－ －
y0＝ x0 2
1x0，23－－
x0＝ x0 2
1， x0
整理得( x0)2－4 x0 ＋3＝0，解得 x0＝1，x0＝9， ∴切点坐标为(1,1)或(9,3)． (1)当切点坐标为(1,1)时，切线斜率 k＝1，
(1)求差 分(函数的增量 )： f(x0＋ d)－ f(x0 )；
(2)求平
均变化率：f
x0＋
d－f d
x0；
(3)求极
限值：f
x0＋
d－f d
x0→f′
(x0)(d→
0)．
知新益能
1．几个幂函数的导数 (1)常函 数的导数为 _0___： (c)′ ＝ _0___； (2)恒等 函数导数为 _1____： (x)′＝ 1； (3)(x2)′＝ _2_x____； (4)(x3)′＝ 3x2； (5)(1x)′＝－x12.
2 ∴切线方程为 y－2＝12(x－3)，即 x－2y＋1＝0. (2)当切点坐标为(9,3)时，切线斜率 k＝16， ∴切线方程为 y－2＝1(x－3)，即 x－6y＋9＝0.
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综上可知：曲线 y＝ x过点(3,2)的切线方程为：
x－2y＋1＝0 或 x－6y＋9＝0.
【名师点评】 求过曲线外的点P(x1，y1)的曲线 的切线方程的步骤：