908.二次函数-奥数精讲与测试(9年级)

知识点、重点、难点
函数2y ax bx c =++ (a 、b 、c 为常数并且a ≠0)称为二次函数，其图像称为抛物线，抛物线是轴对称图形。

1.二次函数的形式
（1）一般式：2y ax bx c =++（a ≠0）； （2）顶点式：()y a x m k =-+（a ≠0）；
（3）交点式：12()()y a x x x x =--，（a ≠0，1x 、2x 是方程2
0ax bx c ++= 的两根）。

2.二次函数的性质
2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为2b x a
=-，顶点坐标为2
4(,).24b ac b a
a
--
当0a >时，在2b x a ≤-
范围内，2
y ax bx c =++单调递减，在2b x a
≥- 范围内2y ax bx c =++单调递增。

当2b x a
=-，y 有最小值，24.4ac b y a
-=
最小值 当0a <时，在2b x a ≤-
范围内，2y ax bx c =++单调递减，在2b x a
≥-范围内2y ax bx c =++单调递减，当2b x a
=-，y 有最大值，24.4ac b y a
-=
最大值 3.二次函数与二次方程关系
2y ax bx c =++（a ≠0） 20a x b x
c ++=（a ≠0） △＝24b ac - 图像与x 轴有二个交点； 方程有两个不同根； △＞0；
图像与x 轴有一个交点； 方程有两个相同根； △＝0； 图像与x 轴没有交点． 方程没有实数根． △＜0.
例题精讲
例1：已知抛物线2
(41)21y x m x m =-++-与x 轴交于两点，如果一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴交点在
1
(0,)2
-，的下方，那么m 的取值范围是什么？
解：设抛物线与x 轴交点横坐标分别为1x 、2x ，那么12(2)(2)0x x --<，
那么12122()40.x x x x -++>把1241x x m +=+、1221x x m =-代入不等
式得2m －1－2(4m ＋1)＋4＜0，解得1.6
m >
因抛物线与y 轴交点在1(0,)2-的下方，故1212m -<-，解得1
.4
m <
因为△＝22[(41)]41(21)1650m m m -+--=+>，所以m 为一切实
数。

所以m 的取值范围是11
.64
m <<
例2：二次函数2y ax bx c =++的大致图像如图所示。

（1）确定a 、b 、c 和2
4b ac -的符号。

（2）如果OA OC =，求证：10.ac b ++= 解：抛物线开口向上，则a >0；对称轴在y 轴右边，则02b
a
-
>，故b ＜0；抛物线与y 轴交点在x 轴下方，则c ＜讯抛物线与x 轴有两个交点，则△=2
4b ac -＞0.
因抛物线与y 轴交于C 点，即C (0，c )．又因为OA=OC ，故A (c ，0).将A 点坐标代入解
析式得2
0ac bc c =++，根据图像得c ≠0，则ac ＋b ＋1=0.
例3：关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=有两个不相等的实根，一个大于1，另一个小于1，求实数a 的取值范围。

解：设2
2
()(1)2f x x a x a =+-+-.如图，显然此二次函数与x 轴的交点分别在直线x =1的两侧，即1x ＜1＜2x ．仅需
2(1)2(2)f a a a =+-=+ (a －1)＜0，得a 的取值范围是21a -<<.
例4：讨论方2
610x x m -+= (m 为实数)的解的个数与m 的关系。

解：讨论方程2
610x x m -+=的解的个数与m 的关系，实质上就是讨论
269y x x =-+与y =m －1的图像交点个数问题。

2
2
(3),0;(3),0.
x x y x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩ 如图所示，画出其图像。

当m －1＜0时，即m ＜1，原方程无解；
当m －1=0或m －1＞9时，即m =1或m ＞10时，原方程有两个解；
当m －1=9时，即m =10时，原方程有三个解；当0＜m －1＜9，即1＜m ＜10时，原方程有四个解。

例5：已知2(1)232f m m m +=+-，求f (x )．
解：设1y m =+，则1m y =-，代入原式得2()2(1)3(1)f y y y =-+-
222 3.y y -=--所以2()23f x x x =--.
另一种解法：2(1)232[2(1)3][(1)1]f m m m m m +=+-=+-++．
设x =m ＋1，所以2()(23)(1)23f x x x x x =-+=--.
例6：已知对一切实数k 二次函数2
241y x kx k =-++都过一定点，求此定点坐标。

解：整理得2(4)(21)0x k y x -+--=，因为对一切实数k 该式均成立，
仅需2
40210,
x y x -=⎧⎨--=⎩解得433.x y =⎧⎨=⎩所以二次函数图像过定点（4，33）．
习题
A 卷
一、填空题
1.如果点M (a ，－7)在函数2
32y x =-的图像上，则a = ． 2.直线y=kx 与抛物线23(2)y x =--有公共点，则k 的取值范围是 ． 3.将函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图像绕y 轴翻转180°，再绕x 轴转 180°，所得的函数图像对应的解析式为 ．
4.若抛物线24(2)y ax x a =++-的图像全在x 轴的上方，则a 的取值范围是 ．
5.设抛物线2
5
(21)24
y x a x a =++++的图像与x 轴只有一个交点，则 a 的值为 ．
6.已知二次函数2224y x mx m =-+的图像与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C .若△ABC
的面积为m = ．
7.将抛物线22y x =-向 平移 个单位，再向 平移 个单位，就可以通过点(0，0)及(1，6).
8.设t 是实数，二次函数22432y x tx t t =-+-的最小值是 ，最大值是 ． 9.已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是抛物线2(0)y a x b x c a b c
=++≠上关于对称轴对称的两个点，则当12x x x =+时，y 的值为 ．
10.如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x =2，与x 轴的交点分别位于区间（－1，0）及（4，6）内，a ＜0，则5b 与4c 的关系为 ．
二、解答题
11.已知函数22(1)21y m x mx =-+-的图像与x 轴的交点的横坐标都是比1小的正数，求m 的取值范围。

12.已知二次函数2
y ax bx c =++的图像与y 轴交于Q (0，1)，与x 轴交于M 、N 两点，M 、N 两点的横坐标的平方和为6，图像的顶点P 在x 轴上方，且:MQN MPN S S ∆∆=1：2，求此二次函数的解析式。

B 卷
一、填空题
1.抛物线2
(1)1y x k x k =---+与x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则k 的值的个数为 .
2.设二次函数22y x mx m =--++的图像的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 和C ，则三角形ABC 的面积的最小值为 .
3.二次函数的图像通过A (1，0)和B (5，0)两点，但不通过直线y=2x 上方的点，则其顶点的纵坐标的最大值与最小值的乘积为 .
4.已知二次函数的图像2y ax bx c =++是由2
12
y x =的图像经过平移而得
到。

若图像与x 轴交于A 、C (－1，0)两点，与y 轴交于D 5
(0,)2
，顶点为B ，
则四边形ABCD 的面积为 .
5.若函数224422(02)y x ax a a x =-+-+≤≤的最小值为3，则a 的值为 .
6.函数y =x (x ＋1)(x ＋2) (x ＋3)的最小值为 .
7.设有二次函数2
()f x ax bx c =++，当x =3时取得最大值10，并且它的图像在x 轴上截得的线段长为4，则a 、b 、c 的值分别为 . 8.己知二次函数2(2)426y m x mx m =--+-的图像与x 轴负半轴至少有一个交点，则m 的取值范围是 .
9.已知函数2(cos )4sin 6y x x θθ=-+对于任意实数x 都有y ＞0，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围是 .
10.函数f (x )对于一切实数x 满足f (4＋x ) = f (4－x )，若方程f (x )=0恰有四个不同的实根，则这些实根之和为 .
二、解答题
11.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++>的图像和x 轴、y 轴都只有一个交点，分别为P 、Q ，且PQ
=b ＋2ac =0，一次函数y = x ＋m 的图像过P 点，并和二次函数的图像交于另一点R ，求△PQR 的面积。

12.若22(0)y ax bx a =++<的图像与x 轴相交于A 、B ，与y 轴相交于
C .设原点为O ，求（1）2
2
OA OB +；(2) △ABC 的面积。

C 卷
一、填空题
1.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如
图所示，则下列6个代数式2
4b ac -、abc 、a －b ＋c 、a ＋b ＋c 、2a －b 、9a －4b 中，其值为负的式子有 个。

2.设二次函数222(cos 1)sin ,y x x θθ=++-(090)θ<≤的图像与x 轴两交点的横坐标分别为1x 、2x
，并且12x x -≤θ的取值范围是 .
3.二次函数2
y ax bx c =++的图像与x 轴正半轴交于点A (1x ，0)和B (2x ，0)，与y 轴正半轴交于C (0，1y )，并且1x =1y ，2x =21x ，则b = .
4.已知二次函数22
()(1)(1)f x ax a a x a a =-+-+-（a 为非零常数），并且至少存在一个整数0x ，使0()f x =0，则a = .
5.对所有实数x 、y ，函数f (x )满足f (x ·y )=f (x )·f (y )，并且f (0)≠0，则f (1999)＝ .
6.对于二次函数2
67y x x =-+-，当x 取值2t x t ≤≤+时，此函数的最大值为2
(3)2t --+，则t 的取值范围是 . 7.若12
k ≠
，二次函数2
()(1)21f x x k x k =--+-.若关于x
的二次方程
2
(1)210x k x k --+-=有两个大于2的不等实根，则1
(
)42
k f k --的值与零的大小关系为 .
8.若函数22
2
1()1,[()]x g x x f g x x
-=-=，则3()4f = .
9.若22(45)2(1)1y m m x m =+--++的值为正，则m 的取值范围是 .
10.已知函数2281
ax x b
y x ++=+的最大值为9，最小值为1，则a = ，
b = .
二、解答题
11.若抛物线22y x ax b =-++的顶点在直线210mx y m --+=上移动，且抛物线2y x =与抛物线有公共点，求m 的变化范围．
12.已知a 、b 、c 均为整数，且抛物线2
y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A 、B .若A 、B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值.
13.设2()f x x ax b =++，证明：(1)(2)(3)f f f 、、中至少有一个数不小于12
.
14.
已知二次函数2y ax c =+，其中a 、b 、c 为钝角三角形的三边，且b 为最大边。

（1）求证：此二次函数与x 轴正半轴必有两个交点； （2）当a=c 时，求两交点间距离的取值范围。