10(7.8)傅里叶级数_正弦_余弦级数解析

1
sin3t , sin5t , sin7t , sin 9t , 4 9 4 5 4 3 4 7
6
1
1
1
傅里叶(Fourier)级数
4 u sin t
u
1
2 3
2


2
O
1
2

3 2
2
t
7
傅里叶(Fourier)级数
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
21
傅里叶(Fourier)级数
狄利克雷(德)1805-1859 2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理) 定义 若 f ( x)在区间a, b上 只有有限个单调区间,
则称 f ( x)在区间a, b上 逐段单调.
即,只有有限个极值点.
22
傅里叶(Fourier)级数
2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理) 设函数 f ( x )是周期为 2的周期函数 , 它在 区间[ , ]上满足条件 :
常说把 f (x)在 [ , ]上展开成傅氏级数. 注 (1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低得多;
(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的,就是 a0 其傅里叶级数,它 的 常 数 项 , 就是函数 2 1 在一个周期内的平均值; a0 f ( x )dx (3) 要注明傅氏级数的和函数与函数f (x)相等 的区域.
A sin( t )
振幅 时间 初相

傅里叶(Fourier)级数
除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数,
1, 当 t 0 如矩形波 u( t ) 1, 当0 t u
1
较复杂的 周期现象

O
1

t
分解 不同频率正弦波 逐个叠加

4 sint ,
的正交性是指: 其中任何两个不同的函数的乘积 而任 在一个周期长的区间 [ , ]上的积分为零，
或 一个函数的自乘(平方)在 [ , ]上的积分为
为2 . 即有

2
1 dx 2



1 cos nxdx 1 sin nxdx 0

14

傅里叶(Fourier)级数
n 1
谐波分析
或再利用三角恒等式, 变形为
A0 ( An sin n cosnt An cos n sinnt )
n 1
12

傅里叶(Fourier)级数
A0 ( An sin sin n cosnt A cos nsinnt ) An n cos n
17
0
傅里叶(Fourier)级数
a0 (3) 求bn . f ( x ) (ak cos kx bk sinkx) 2 k 1
[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx ]
k 1
利用三角函数系的正交性 两边同乘 sinnx, 再从 到逐项积分 a0 f ( x ) sin nxdx 2 sin nxdx 0

a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx 2 k 1 0 0 1 a0 f ( x )dx 2 a0 2






16
傅里叶(Fourier)级数
a0 ( 2) 求an . f ( x ) (ak cos kx bk sinkx) 2 k 1
第七-八节
傅里叶(Fourier)级数
(傅氏级数Fourier series)
问题的提出 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数
正弦级数或余弦级数 小结 思考题 作业
第十一章 无穷级数
1
傅里叶(Fourier)级数
上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数. 下面研究另一种重要的函数项级数: 傅里叶 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用.
用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角 级数时的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数
n 1
的系数.
3
傅里叶(Fourier)级数
在历史上,三角级数的出现和发展 与求解 微分方程是分不开的. 1753年, 丹贝努利首先提出将弦振动方程 的解表示为三角级数的形式,这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础,促进了分 析学的发展. 1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的， 特殊的情 形所采用的三角级数方法进行加工处理, 发展成 一般理论.
n 1

为简便计,先来讨论以 2 为周期的函数 f(x), 解决上述问题起着关键作用的是: 三角函数系的正交性(orthogonality).
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傅里叶(Fourier)级数
二、三角函数系的正交性
三角函数系
orthogonality
1, cos x , sinx, cos 2 x , sin2 x , cos nx , sinnx ,
利用三角函数系的正交性 两边同乘 cosnx, 再从 到逐项积分



a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2

[ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ] k 1 kn 0 an cos 2 nxdx an 1 an f ( x ) cos nxdx ( n 1,2,3,)
傅里叶fourier级数23逐段单调收敛定理傅里叶fourier级数都收敛一点产生的傅里叶级数在任则由sincos24傅里叶fourier级数都收敛到fx自身即使有间断点函数也有傅氏级数间断点上级数不收敛到函数值只不过在而是收敛到间断点处左右极限的算术平均值术平均值和右端点的左极限的算sincos251函数展开成傅里叶级数的条件比展开成周期函数的三角级数展开是唯一的就是常说把f要注明傅氏级数的和函数与函数fx相等幂级数的条件低得多

0, cos mx cos nxdx ,

mn
mn
mn

0, sin mx sin nxdx ,

mn



sin mx cos nxdx 0 (其中m, n 1,2,)
cos 2nxdx
2


sin nxdx
由定理可知: 在 f(x)的连续点处, 都收敛到 f(x)自身 即使有间断点 ,函数也有傅氏级数 , 只不过在 在端点 x 处 , 收敛到左端点的右极限 间断点上级数不收敛到函数值 , 而是收敛到 和右端点的左极限的算 术平均值 间断点处左右极限的算术平均值
24
傅里叶(Fourier)级数
f ( x 0) f ( x 0) S( x) , 当x是f (x)的间断点时 2 f ( 0) f ( 0 ) , 当 x 时
2
a0 (an cos nx bn sin nx ) f ( x ) 2 n 1 当x是f (x)的连续点时 f ( x ),
4
傅里叶(Fourier)级数
一、问题的提出
在自然界和人类的生产实践中, 周而复始 的现象, 周期运动是常见的. 如行星的飞转,飞轮的旋转, 蒸气机活塞的
往复运动,物体的振动, 声、光、电的波动等. 数学上,用周期函数来描述它们. 最简单最基本 的周期函数是正弦型函数 角频率
2 周期
5
谐函数 简谐波 简谐振动
bn
0

kn
bn
f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,3,)
18
1

傅里叶(Fourier)级数
设f ( x )是以2为周期的函数 , 且在[ , ]或
[0,2 ] 上可积, 则
an
f ( x ) cos nxdx 0
1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 2 1 b f ( x ) sin nxdx , ( n 1,2,) n 0
由这些系数作成的三角级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x . 2 a0 三角级数 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1 函数 f (t) 满足什么条件, 才能展为 三角级数? 1 系数 a0 , an , bn 如何确定?
4
( t , t 0)
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傅里叶(Fourier)级数
设想
一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解
为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便. 反映在数学上,是把一个复杂的周期函数 f(t)
nt n )的迭加, 即 表示为各类正弦函数 Ansin(
A0 An sin( nt n )
20
傅里叶(Fourier)级数
称为函数 f(x)(诱导出)的傅里叶级数, 记为
a0 (a n cos nx bn sin nx ) f(x) 2 n1 注 f(x)的傅里叶级数不见得收敛； 即使收敛，
级数的和也不一定是 f(x). 所以, 不能无条件的 把符号 当 f(x)满足什么条件时， 换为 “” “ =” . 它的傅里叶级数收敛， 并收敛于f(x)本身. 下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.
1

1
2
f ( x ) cos nxdx
( n 0,1,2,)
bn
f ( x ) sin nxdx 0
1

1
2
f ( x ) sin nxdx
希望自己证明
( n 1,2,)
19
傅里叶(Fourier)级数
傅里叶系数 1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 1 b f ( x ) sin nxdx , ( n 1,2,) n
u
1
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
10
傅里叶(Fourier)级数
4 1 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t ) 3 5 7 9
u
1
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
1 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t ) 3 5 7 9
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傅里叶(Fourier)级数
三、函数展开成傅里叶级数
1.傅里叶系数 (Fourier coefficient)
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
(1) 求a0 . 两边积分 利用三角函数系的正交性
a0 f ( x ) ( a cos kx b sin kx ) d x d x d x k k 2 k 1
傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和 物理学家. 法国科学院院士,英国皇家学会会员.
2
傅里叶(Fourier)级数
历史朔源
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起 的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数:
f ( x ) A0 2 An cos nx

1 2 其 中 An f ( x ) cos nxdx 2 0 1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用 了三角级数.1777年,欧拉在研究天文学的时候,
(1) 除有限个第一类间断点 外, 处处连续 ;
(2) 逐段单调. 则由f ( x)产生的傅里叶级数在任一点x都收敛,
且在[ , ]上它的和函数为
a0 (an cos nx bn sin nx) s( x) 2 n 1
23
傅里叶(Fourier)级数
傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系
u
1
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
8
傅里叶(Fourier)级数
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
u
1
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
9
傅里叶(Fourier)级数
4 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7