2020新新人教版高考数学直线和双曲线的位置关系题型练习10答案详细

2020新新人教版高考数学线性规划题型练习10

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．过双曲线C ：22

22

x y -＝1的右焦点F 且与x 轴不重合的直线交双曲线C 于A 、B 两

个点，定点D （

3

2

，0）．

（1）当直线AB 垂直于x 轴时，求直线AD 的方程． （2）设直线AD 与直线x ＝1相交于点E ，求证：FD∥BE．

【答案】（1

）0y --= 或

x+y ﹣

＝0；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）直线AB 垂直于x 轴时,易求方程，同时解得点的坐标可得直线AD 的方程； （2）表示出直线AD 的方程，结合与直线x=1的交点可得点E 的坐标，从而可证. 【详解】

（1）F （2，0）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：x ＝2，可得A （2

）或A （2

，∴直线AD

的方程为0y --= 或

x+y ﹣

＝0 （2）设直线AB 的方程为x ＝ty+2代入x 2﹣y 2＝2得（t 2﹣1）y 2+4ty+2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝12

2242

,11

t y y t t -

=-- ， 直线AD 的方程为：

11

3

023

02

x y y x -

-=-- ，

令x ＝1得2222221122222114(1)4111()()=44(1)1(1)

2321t y y y t ty t y y y y t t y t y t x ty +

-+-=-=-=+-+=+-- ∴FD∥BE． 【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的关系，注意直线平行的转化方法，侧重考查数学运算的核心素养.

2．已知双曲线22221(00)x y C a b a b

：、-=>>

2a c =．

（1）求双曲线C 的方程；

（2）已知直线0x y m －＋＝与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且线段AB 的中点在圆2

2

5x y ＋＝上，求m 的值．

【答案】（1）2

2

12

y x -=；

（1）±1 【解析】 【分析】

（1）由题意，列出方程组，求得,a c 的值，又由222b c a ＝－，即可得到椭圆的方程； （2）把直线的方程与椭圆方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得

12

0x x x m 2

+=

=，00y x m 2m ＝＋＝，代入圆的方程，即可求解． 【详解】

(1)

由题意得2a c 3c a

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

解得1a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又由222b c a 2＝－＝，

所以双曲线C 的方程为2

2

y x 12

-=．

(2)设A B ，两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，

线段AB 的中点为()00M x y ，， 由220y x 12x y m -+=⎧⎪

⎨-=⎪⎩

得22x 2mx m 20－－－＝(判别式Δ0>)，

所以12

0x x x m 2

+=

=，00y x m 2m ＝＋＝，

因为点()00M x y ，在圆22x y 5＋＝上， 所以()2

2m 2m 5＋＝，故m 1±＝． 【点睛】

本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．

3．已知曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-．

（1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；

（2）若l 与C 交于A B 、两点，O 是坐标原点，且AOB ∆

，求实数k 的值． 【答案】（1

）()

1-；（2）0k =

或k =±【解析】 【分析】

（1）将直线与双曲线联立，利用条件，结合韦达定理，建立不等式，从而可求实数k 的取值范围；

（2）利用韦达定理，结合△AOB

可建立k 的方程，从而可求实数k 的值． 【详解】

（1）由2211

x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，得()22

1220k x kx -+-=．

∵l 与C 左支交于两个不同的交点

∴()

2

22

104810

k k k ⎧-≠⎪

⎨∆=+->⎪⎩且121222220,011k x x x x k k +=-=--- ∴k

的取值范围为()

1-

（2）设()()1122,,A x y B x y 、，由（1）得1212

22

22

,11k x x x x k k +=-=---． 又l 过点()0,1D -

，∴121

2

OAB S x x ∆=-= ∴(

)

(2

2

12x x -=，即2

22

28811k k k

⎛⎫

-+= ⎪--⎝⎭．