提高中学生数学思维能力 案例一

提升高中生数学思维能力 案例一
左海涛 培养与发展学生的数学能力，特别是思维能力，是当前数学教学改革深入发展的一个重要研究课题。

有人说：学会一点数学知识，只能管一阵子，若学会了思考问题的方法，就能管一辈子。

这话颇有道理。

科 学的思维方法是学生探索获取新知识、分析解决新问题的金钥匙。

那么在数学课堂教学中，怎样培养、发展和训练学生的思维能力呢？
例如（11年全国新课标第13题）已知a 与b
为两个不共线的单位向量，k 为实数，
若向量a b + 与向量ka b -
垂直，则k = .
解一（常规）设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b
不共线，所以cos 1θ≠±.
由条件知
()()0a b ka b +-= ，展开得()()()2210k a b k a b -+-⋅= ，即()()110k a b -⋅+= ，因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅= ，所以10a b ⋅+≠
，从而1k =.
解二（类比，特殊化思想）我们可将a 与b 看作是i
与j ，于是
(1,1),(,a b k a b k +=-=- ，所以()()
(1,1)(,1)0a b k a b k +⋅-=⋅-= ，即10,1k k -==.
解三（联想，数形结合）a b + 与a b - 是以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线，因为a b = ，所以这个平行四边形是菱形，于是a b + 与a b - 垂直，从而ka b - 和a b -
共线，对比得1k =
例3（11年湖南第8题）已知函数
2()1,()43x f x e g x x x =-=-+-.若有()()f a g b =，则b 的取值范围为
([]()
.22.22.1,3.1,3A B C D ⎡+-⎣
解一（数形结合）在同一坐标系画出函数(),
()f x g x 的图象.由图，解得()y g x =和1y =-
的两个交点的横坐标为22B .
解二（转化）易知()(1,),()(,1]f a g b ∈-+∞∈-∞，因为
()()g b f a =，所以()1g b >-（消去a ，转化为关于b 的不等式）.于是2431b b -+->-，
解得22b <<
人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。

这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。

数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。