专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展

专题7.22:解析几何中面积问题的研

究与拓展

【探究拓展】

2 2

探究1：如图，设A ,B 分别为椭圆E:笃爲

a b

别为S 1与S 2.

(1) 若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为 (2) 当点M 在线段AB 上运动时，求§的最大值.

S 2

2

解: (1) e 、2 ；

3

S

—

—时等号成立)，21可取得最大

值3 2 2 4 S 2

2:基本不等式的应用：

2 2 2 2

1 2

(bx o ) (ay o )

a b

t ,同理可得结果

2

椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行;

且在该交点处，此时 S 1, S 2, —1都是最大的

S 2

长等于C 1的长半轴长

2

x 探究2:如图，椭圆C 1 :飞

a

b 2

1(a b 0)的离心率为石，x

轴被曲线C 2

: y

2

x b 截得的线段

1(a b 0)的右顶点和上顶点，过原点 O 作直线交线段

AB 于点M (异于点A ， B )，交椭圆于C ，D 两点(点C 在第一象限内)

ABC 和ABD 的面积分

1

y -x ，求椭圆的离心率;

3

(2) 设C(x :0> y 。),

D( X o , y o ), (X o

o,y o o )

S 1

bx o ay 。 ab

bx o

ay o ab S

2

bx o ay o ab bx o

ay o

ab

4

2ab

1

bx ° ay o ab

令t bx o ay o

1: 三 ［角换元:

t

、• 2

sin

( o,—),

4 2

当且仅当t

2时(此时

(1)求C1, C2的方程;

(2)设C2与y轴的焦点为M ,过坐标原点0的直线I与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C i相交与D,E .

(I)证明：MD丄ME;

(II )记厶MAB, △ MDE的面积分别是S,S2.问：是否存在

直线l,使得S 32 ?请说明理由

c J3

解: (1)由题意知e c,从而a 2b,又2.、b a,解得a 2,b 1.

a 2

x2 2 2

故C l, C2的方程分别为y 1,y x 1.

4

(2) (i)由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线l的方程为y kx.

由y：得x2kx 1 0.

y x 1

设A(x1,y1),B(X2‘y2),则X1‘X2是上述方程的两个实根，于是

x1x2k, x1x2 1.

又点M的坐标为(0, —1),所以

k MA k MB

心

X 1

2

y 2

1 (kX 1 1)(kX

2 1) k X 1X 2

k (N x ?) 1

X 2

X 1X 2

X 1X

2

(ii ) k 2 k 2 1

设直线MA 0

1或

同理可得点 由y 2

X

n X

解得

y

1.故 MA 丄MB ，即 MD 丄ME.

的斜率为k i ，则直线MA 的方程为

y k 1X 1,由'

y

k 1X 2

X 1, 解得

1

k, k 12

1

，则点 A 的坐标为（k-k ； 1）.又直线MB 的斜率为

B 的坐标为

1 JMA|

k 1X 1, 4y 2

4 1 k 1

|MB|

得(1

0 4k 12)x 2 治|

k 1

|丄|

8k 1X 0.

2|k 1|

X

0,

或 1

y

8k 1 1 4k ；,

4 k ； 1

1 4k 12

，则点 D 的坐标为（ 4k 12 1)

-…2 ).

8k 1 1 4k 12

1 4k ；

又直线ME 的斜率为

同理可得点E 的坐标为（一

4 8k 1 4 k ；

2 2 ・

k-i 4 k-i

于是 S 2

1|MD| 2

|ME | 32(1 k 12) | k 1 | （1

k 12)(k 12 4) .因此f

6>2

4

17).

1 2 由题意知， （4匕

64

k 2

17) 17 2

37解得k

1 又由点A 、B 的坐标可知,

k 1

k 1

右所以

k

故满足条件的直线I 存在,

且有两条, k 1

其方程分别为 y

3

—X. 2

2

X

探究3:如图，已知椭圆 一

1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于 A, B 两点，线段AB 的中点