高中数学讲义：点线面位置关系

点线⾯位置关系的判定

⼀、基础知识

（一）直线与直线位置关系：

1、线线平行的判定

（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行

（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行

（3）面面平行性质：

2、线线垂直的判定

（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直

直线与平面位置关系：

（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系

1、线面平行判定定理：

∥

（1）若平面外的一条直线l与平面a上的一条直线平行，则l a

（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行

2、线面垂直的判定：

^

（1）若直线l与平面a上的两条相交直线垂直，则l a

（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直

（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直

（三）平面与平面的位置关系

1、平面与平面平行的判定：

（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行

（2）平行于同一个平面的两个平面平行

2、平面与平面垂直的判定

如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直

（四）利用空间向量判断线面位置关系

1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量

平面：法向量

2、向量关系与线面关系的转化：

设直线,a b 对应的法向量为,a b r r ，平面,a b 对应的法向量为,m n u r r （其中,a b 在,a b 外）

（1）a ∥b Ûa r ∥b

r （2）a b a b

^Û^r r （3）a a a ^Ûr ∥m

u r （4）a a m

a Û^r u r ∥（5）m n

a b Ûu r r ∥∥（6）m n

a b ^Û^u r r 3、有关向量关系的结论

（1）若,a b b c r r r r ∥∥，则a c r r ∥ 平行+平行→平行

（2）若,a b b c ^r r r r ∥，则a c ^r r 平行+垂直→垂直

（3）若,a b b c ^^r r r r ，则,a c r r 的位置关系不定。

4、如何用向量判断位置关系命题真假

（1）条件中的线面关系翻译成向量关系

（2）确定由条件能否得到结论

（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假

二、典型例题：

例1：已知,a b 是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，现给出下列命题：

①若,,,m n m n a a b b ÌÌ∥∥，则a b ∥；

②若,m a b a ^Ì，则m b ^；

③若,m m a b ^∥，则a b ^；

④若,m n m a Ì∥，则n a ∥．

其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B ．1 C ．2 D ．3

思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中,m n 不一定相交。所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面

垂直。而②中m 不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设,a b 对应法向量为,m n u r r ，

直线m 方向向量为a r ，则条件转换为：,a m a n ^r u r r r ∥，可推得m n ^u r r ，即a b ^，③正确；

④为线面平行判定，要求n 在a 外，所以④错误；综上只有1个命题正确

答案：B

例2：已知,,m n l 是不同的直线，,a b 是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n a b ÌÌ，则a ∥b ；

②若,m n a b ÌÌ，a ∥l m b ^，，则l n ^；

③若,,m n a b a ^^∥b ，则m ∥n ；

④若a b ^，m ∥a ，n ∥b ，则m n ^；

A．②③ B ．③④ C ．②④ D ．③

思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题① 两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平

行，例如在正方体中在平面ABCD 和平面11CC D D 中，虽然11AB C D ∥，但两个平面不平行，所以①错误② 例如：平面ABCD ∥平面1111A B C D ，BD AC ^，但BD 与11A B 不垂直，所以②错误

③ 考虑利用向量帮助解决：,,m m n n a a b b a b a b ^Þ^ÞÞu r u r r u r u r ∥∥∥∥，所以可以推

断m n u r r ∥，所以可得m ∥n

④ 考虑利用向量解决：,,m m n n a b a b a a b b ^Þ^Þ^Þ^u r u r u r u r r u r ∥∥，由垂直关系不

能推出m n ^u r r ，所以④错误

答案：D

A

A C 1D

例3：对于直线,m n 和平面,a b ，a b ∥的一个充分条件为（ ）

A.,,,m n m n a b b a ÌÌ∥∥

B.,,m n m n a b

∥∥∥C.,,m n m n a b ^^∥ D.,,m n m n a b

^^^思路：求a b ∥的充分条件，即从A,B,C,D 中选出能判定a b

∥的条件，A 选项：例如正方体中的平面ABCD 和平面11

CDD C 可知虽然AB ∥平面11CDD C ，11C D ∥平面ABCD ，但这两个

平面不平行。B 选项：也可利用A 选项的例子说明无法推出a b ∥，C 选项可用向量模型进行分析：

,,m n m n m m n n a a b b Þ^Þ^Þu r r u r u r r u r ∥∥∥∥，所以可得：a b u r u r ∥，即a b ∥；D 选项可利用A 选项的例子：1,m BC n CC ==，可知,m n m ^^平面11CDD C ，n ^平面ABCD ，但这两个平面不平行，综上所述，只有C 为a b ∥的一个充分条件

答案：C

例4：给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）

A．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④

思路：分别判断四个命题：① 必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以①错误；② 该命题为面面垂直的判定，正确；③ 空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④ 可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④

答案：D

A

A C 1D