山西省中考数学31图形的相似复习课件

1．(2015·眉山)如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线 分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，
则EF的长为(
C)
A．4 B．5 C．6 D．8
2．(2015·永州)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是 ( D)
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.AADB＝BACB
【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据(1) 、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对 称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边 和对应角相等；(2)、勾股定理求解．
[对应训练] 2．(2015·南京)如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且ACDD＝ CD BD. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB 的大小．
8．相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角___相__等_____，对应边__成__比__例___． (2) 相 似 多 边 形 周 长 之 比 等 于 __相__似__比___ ， 面 积 之 比 等 于 __相__似__比__的_平__方___．
9．位似图形 (1)概念：如果两个多边形不仅__相__似___，而且对应顶点的连线相 交 于 ___一__点___ ， 这 样 的 图 形 叫 做 位 似 图 形 ． 这 个 点 叫 做 ____位__似__中__心______． (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于____位__似__比______． (3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似 比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k
解：证明：(1)∵∠C＝90° ，△ACD 沿AD折叠，∴∠C＝∠AED＝90°， ∴∠DEB＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B
，∴△BDE∽△BAC
(2)由勾股定理得，AB＝10.由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE
＝CD，∠AED＝∠C＝90°.∴BE＝AB－AE＝10－6＝4，在 Rt△BDE
中，由勾股定理得，DE2＋BE2＝BD2，即 CD2＋42＝(8－CD)2，解得： CD＝3，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AC2＋CD2＝AD2，即 32＋62 ＝AD2，解得：AD＝3 5
解：(1)证明：∵CD 是边 AB 上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90 °，∵ACDD＝CBDD.∴△ACD∽△CBD
(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD 中， ∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°， 即∠ACB＝90°
相似三角形综合问题
1．两个注意 (1)求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位．如 果单位不同，那么必须先化成同一单位，且两条线段的比是一个实 数，没有单位． (2)四条线段成比例与它们的排列顺序有关，线段 a，b，c，d 成比例表示成ab＝dc，而线段 b，a，c，d 成比例则表示成ba＝dc.
2．“三点定形”法 证明比例式或等积式的方法主要有“三点定形”法：(1)横向定形：欲 证DABE＝BECF，横向观察，比例式中分子的两条线段是 AB 和 BC，三个字母 A，B，C 恰为△ABC 的顶点；分母的两条线段是 DE 和 EF，三个字母 D， E，F 恰为△DEF 的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF； (2)纵向定形：欲证BACB＝DEFE，纵向观察，比例式中左边的两条线段 AB 和 BC 中的三个字母 A，B，C 恰为△ABC 的顶点；右边的两条线段 DE 和 EF 中 的 三 个 字 母 D ， E ， F 恰 为 △DEF 的 三 个 顶 点 ． 因 此 只 需 证 △ABC∽△DEF；
4．五种基本思路 (1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理； (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； (4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角 边对应成比例； (5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等， 或找底和腰对应成比例．
【例 3】 (2015·凉山州)如图，⊙O 的半径为 5，点 P 在⊙O 外， PB 交⊙O 于 A，B 两点，PC 交⊙O 于 D，C 两点．
(1)求证：PA·PB＝PD·PC； (2)若 PA＝445，AB＝149，PD＝DC＋2，求点 O 到 PC 的距离．
解：(1)连接 AD，BC，∵四边形 ABDC 内接
数学
图形的相似
1．比和比例的有关概念
(1)表示两个比相等的式子叫做__比__例___式____，简称比例．
(2)第四比例项：若ba＝dc或 a∶b＝c∶d，那么 d 叫做 a，b，c 的
__第__四__比___例__项____．
(3)比例中项：若ab＝bc或 a∶b＝b∶c，那么 b 叫做 a，c 的___比__例__中__项___．
的坐标是(
C)
A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1)
5．(2015·南通)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平 分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为( B) A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
比例的基本性质、黄金分割
【例 1】 (2015·东营)若yx＝34，则x＋x y的值为(
A．1
4 B.7
5 C.4
7 D.4
D)
【点评】 此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键 是注意掌握比例的性质与比例变形．
[对应训练] 1．(1)(2015·六盘水)已知4c＝b5＝6a≠0，则b＋a c的值为__32____． (2)已知a2＝b5＝7c，且 a＋b＋c≠0，则2aa＋＋3bb＋－c2c的值为( A )
解：(1)①∵EF∥BC，∴AADK＝EBFC，∴EAFK＝ABDC＝182＝32，即EAFK的 值是32 ②∵EH＝x，∴KD＝EH＝x，AK＝8－x，∵EAFK＝32，∴
EF＝32(8－x)，∴S＝EH·EF＝32x(8－x)＝－32(x－4)2＋24，∴当 x ＝4 时，S 的最大值是 24
2．比例的基本性质及定理 (1)ab＝dc⇒ad＝bc； (2)ab＝dc⇒a±bb＝c±dd； (3)ab＝dc＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)⇒ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝ab.
3．平行线分线段成比例定理 (1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成___比__例____； (2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应 线段成___比__例___； 4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫 做_____相__似__三__角__形_____． 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的 _____相__似__比______．
(2)设正方形的边长为 a，①当正方形 PQMN 的两个顶点在
BC 边上时，8－a a＝182，解得 a＝254 ②当正方形 PQMN 的两个顶
点在 AB 或 AC 边上时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝12÷2 ＝6，∴AB＝AC＝ AD2＋BD2＝ 62＋82＝10，∴AB 或 AC 边上的
高等于：AD·BC÷AB＝8×12÷10＝458∴458－ a a＝14508，解得 a＝24490.综
上，可得正方形 PQMN 的边长是254或24490
相似多边形与位似图形
【例4】 (2015·漳州)如图，在10×10的正方形网格中，点A，B ，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与 四边形ABCD位似，且位似比为2. (1)在图中画出四边形AB′C′D′； (2)填空：△AC′D′是_______等__腰__直三角角形． 解：(1)如图所示
(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的 情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用 三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法．在证明比 例式时，常常要用到中间比． 3．判定两个三角形相似的技巧： (1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单； (2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成 比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例； (4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形．
5 5 14 16 A.14 B.11 C. 5 D.17 解析：设 a＝2k，b＝5k，c＝7k，则2aa＋＋3bb＋－c2c＝4k2k＋＋155kk－ ＋174kk ＝154kk＝154
三角形相似的性质及判定
【例2】 (2015·湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD 沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． (1)求证：Байду номын сангаасBDE∽△BAC； (2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．
＋2)，解得：DC＝8 或 DC＝－11(舍去)，∴DE＝4，∵OD＝5，∴OE＝3， 即点 O 到 PC 的距离为 3
【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边 形的性质以及垂径定理，根据题意判断出△PAD∽△PCB是解答 此题的关键．
[对应训练] 3．(2015·武汉)已知锐角△ABC 中，边 BC 长为 12，高 AD 长为 8. (1)如图，矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其余两个 顶点 E，F 分别在 AB，AC 边上，EF 交 AD 于点 K. ①求AEKF 的值； ②设 EH＝x，矩形 EFGH 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并求 S 的最大值； (2)若 AB＝AC，正方形 PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个 顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形 PQMN 的边长．
于⊙O，∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴
△PAD∽△PCB，∴PPAC＝PPDB，∴PA·PB＝PC·PD
(2)连接 OD，作 OE⊥DC，垂足为 E，∵PA＝445，AB＝149，PD＝DC ＋2，∴PB＝16，PC＝2DC＋2∵PA·PB＝PD·PC，∴445×16＝(DC＋2)(2DC
6．相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、 对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等 于相似比的平方． 7．射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上 的高，则有下列结论． (1)AC 2＝AD·AB； (2)BC 2＝BD·AB； (3)CD 2＝AD·BD； (4)AC 2∶BC 2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
5．相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交， 所截得的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三 角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形 相似．
(4)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段
(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段 ___黄__金__分__割_____ ． 即 AC2 ＝ ____A__B_·_B_C_____ ， AC ＝
5－1 ____2_______AB≈___0_.6_1_8_____AB. 一 条 线 段 的 黄 金 分 割 点 有 ____两____个．
(2)∵AC′2＝42＋82＝16＋64＝80，
3．(2015·铜仁)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，
DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF
的面积之比为( B )
A．3∶4 B．9∶16
C．9∶1 D．3∶1
4．(2015·营口)如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似
图形，已知点A(3，4)，点C(2，2)，点D(3，1)，则点D的对应点B