23深圳科学高中高一下期中考试数学试题

深圳科学高中2022-2023学年第二学期期中考试试题 科目：高一数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分

命题人：陈钦 审题人：俸进

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}16M x x =∣，{Z36}N x x =∈<<∣，则M N =（ ）

A ．{}3,4

B ．{}4

C ．{}4,5,6

D ．{}4,5 2．已知12i z =−+，则

z z =（ ） A ．34i 55− B ．34i 55−+ C ．43i 55−+ D ．43i 55− 3．底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（ ）

A ．1

B

C ．2

D ．4．已知3515a b ==，则下列结论正确的是（ ）

A ．a b <

B ．(1)(1)1a b −−=

C ．4ab

D ．()()22

112a b −+−< 5．已知函数2(1),0()34,0f x x f x x x x +⎧=⎨−−>⎩

，则 ()()6f f −=（ ） A ．6− B ．0 C ．4 D ．6 6．已知()1,1a =，()2,1b =−，则b 在a 上的投影向量为（ ）

A ．11,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭

B ．()1,1−−

C ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．()1,1

7．对任意的实数[]0,2m ∈，不等式(2)(3)0x x m −−+>恒成立，则x 的取值范围是（ ）

A ．1x <或3x >

B ．1x <或2x >

C ．2x <或3x >

D ．R 8．已知()f x 是偶函数且在[)0,+∞上单调递增，则满足()()sin cos f x f x <的一个x 值的区间可以是（ ）

A ．3π7π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．ππ,24⎛⎫−− ⎪⎝⎭

C ．3π3π,45⎛⎫−− ⎪⎝⎭

D ．π,04⎛⎫− ⎪⎝⎭

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．关于平面向量,,a b c ，下列说法不正确．．．

的是（ ）

A ．若a c b c ⋅=⋅，则a b =

B ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅

C ．若22a b =，则a c b c ⋅=⋅

D ．()()a b c b c a ⋅=⋅

10．将正弦曲线上所有的点向右平移

π6个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，从而得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ）

A ．()f x 的最小正周期是π

B ．若()f x θ+为奇函数，则θ的一个可取值是π4

C ．()f x 的一条对称轴可以是直线π3x =

D ．()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1 11．如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点P 为线段1B C 上一动点，则下列说法正确的是（ ）

A ．直线1BD ⊥平面11A C D

B ．存在点P ，使得直线BP 与11A

C 所成角为30︒

C ．三棱锥11-P A DC 的体积为定值

D ．平面11A C D 与底面ABCD 的交线平行于直线AC

12．已知函数21()(1)2x f x k x x −=

−−−，则下列说法正确的是（ ）

A ．当1k =时，函数()f x 有两个不同的零点

B ．存在实数k ，使得函数()f x 的图象与x 轴没有交点

C ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称

D ．若函数()f x 有四个不同的零点，则4k <−

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知幂函数()()

23m f x m x −=−在()0,+∞上为单调增函数，则实数m 的值为__________． 14．已知直线1y =与函数()2x f x x =+，

2()log g x x x =+的图象交点的横坐标分别为1x ，2x ，则12x x +=__________．

15．已知三棱锥P ABC −满足1PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若23

P ABC V −=

，则其外接球体积的最小值为__________．

16．在等腰ABC △中，底边1BC =，底角B 的内角平分线BD 交AC 于D ，则BD 的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知平面向量()1,a x =，()23,b x x =+−，x ∈R ．

（1）若a b ⊥，求a b −； （2）若a 与b 的夹角为锐角，求x 的取值范围．

18．设函数()2sin cos f x x x x =−，x ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间，并写出对称轴；

（2）设θ为锐角，若4()25f θ=，求πsin(2)12θ+的值．

19．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入(110)x x <<万元，珍珠棉的销售量可增加101

x p x =+吨，每吨的销售价格为(83p −)万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元．

（1）写出该公司本季度增加的利润y 与x (单位：万元)之间的函数关系；

（2）当x 为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？