直线的参数方程1
13级：第二讲(三)直线的参数方程(1)
e
O
x
思考2
是否可以根据t的值来确定向量的 M 0 M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还 是有时向上有时向下呢？
分析: 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0
又 sin 表示e 的纵坐标， e 的纵坐标都大于0 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 就总会向上。
3、抛物线y2=2px的参数方程
2p y 2px x t an2 由 y (为 数 参 ） t an y 2p x t an
2
x t 任一点与原点连线的斜率的倒数，即： y
4
1 若 t 令 , t (,0) (0,),则 t an x 2pt 2 t的几何意义：是抛 (t为 数 ) 参 y 2pt 物线上除顶点外的
k
7
y2 y1 x2 x1
Ax By C 0
tan
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的参数方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 把它变成y y0 ( x x0 ) cos y y0 x x0 进一步整理，得： sin cos
求这条直线的方程.
M(x,y)
M0(x0,y0) 所以，该直线的参数方程为 e x x t cos
O
(cos ,sin )
x
10
练习1
x 3 t sin200 B （） 直 线 1 （t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （） 0 y t cos 20 0 0 0 0 A.20 B .70 C .110 D.160
直线参数方程-知识讲解
直线的参数方程【学习目标】1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。
【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1. 直线参数方程的标准形式：经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。
2. 参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。
当点M 在0M 上方时，0t >；当点M 在0M 下方时，0t <；当点M 与0M 重合时，0t =；要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y t x x .要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a b 的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。
若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.(2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 要点四、直线参数方程的应用1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0. 2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。
直线的参数方程课时教案(第一课时)
课时教案一、课题直线的参数方程（第一课时，共两课时）二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。
三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入（1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为；（2）已知两个向量),则共线的充要条件是；（3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。
2. 讲授新课问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M，求M点的坐标。
借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到，写成方程即。
问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。
借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。
问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。
可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。
问题4 你能写出具体推导过程吗？指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。
探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。
问题6 参数的几何意义是什么？为什么？结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到，也可由。
由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。
问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是我们学习数学时经常接触到的一个基本图形，它有着简单而明确的定义，可以通过各种方式来描述。
在本文中，我们将重点讨论直线的标准参数方程，通过参数方程的形式来描述直线的特征和性质。
首先，我们来回顾一下直线的一般方程和点斜式方程。
一般来说，直线的一般方程可以写作Ax + By = C的形式，其中A、B、C为常数且A和B不同时为0。
而点斜式方程则可以写作y y1 = k(x x1)，其中k为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的一点。
在学习直线的参数方程之前，我们首先要了解什么是参数方程。
参数方程是指用参数的形式来表示一个图形的方程，通常用t来表示参数。
对于直线来说，我们可以用参数方程来表示直线上的所有点，这样可以更加灵活地描述直线的特性。
对于一条直线来说，我们可以用参数方程x = x0 + at，y = y0 + bt来表示，其中(x0, y0)为直线上的一点，a和b为常数。
这种形式的参数方程被称为直线的标准参数方程。
通过这种形式，我们可以很方便地得到直线上的任意一点的坐标。
直线的标准参数方程的优点在于可以直接得到直线上的点，而无需通过斜率和截距等参数来计算。
这对于一些特殊的直线来说尤为方便，比如平行于坐标轴的直线或者经过原点的直线等。
另外，直线的标准参数方程也可以很方便地用于描述直线的运动轨迹。
比如，当直线上的点按照一定的速度做匀速直线运动时，我们可以通过参数方程来描述这条直线上的点随时间的变化情况，这对于物理学等领域的问题求解非常有用。
在使用直线的标准参数方程时，我们需要注意一些特殊情况。
比如当a或b为0时，直线的参数方程会简化为x = x0或y = y0的形式，这时直线将平行于y轴或x轴。
另外，当a和b都为0时，直线的参数方程将退化为一个点的坐标，即直线上的所有点都将重合在一点上。
总之，直线的标准参数方程是一种灵活而方便的描述直线特性的方法，通过参数t的变化，我们可以得到直线上的任意一点的坐标。
直线的参数方程 (1)
即，x x0 t cos , y y0 t sin
y
M(x,y)
所以，该直线的参数方程为 x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
e
M0(x0,y0)
O
x
由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？ 解: M M te M 0 M te 0
练习
x 2 t sin20 1.求直线 ( t为参数 )的倾斜角 y t cos 20
x t sin 20 3 2。直线 (t为参数）的倾斜角是 o y t cos 20
o
C
A.20
o
Байду номын сангаасB.70
o
C.110o
D.160
o
x t cos x 4 2 cos 3.直线 (t为参数）与圆 y t sin a y 2sin (为参数）相切，则直线倾斜角 为( A )
课后作业：P39.T1
例题选讲
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
2
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
2 t x 1 2 即 (t为参数） y 2 2 t 2
当a b 1时，t有明确的几何意义，即 t M 0 M 当a b 1时，t没有明确的几何意义。
2 2
x x0 at (t为参数） y 2 y0 bt 2
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是我们在数学中经常接触到的一种基本几何图形，它具有很多重要的性质和特点。
在平面几何中，直线可以通过不同的方式来描述，其中一种常见的描述方式就是参数方程。
在本文中，我们将讨论直线的标准参数方程及其相关知识。
首先，我们来了解一下什么是参数方程。
参数方程是一种用参数表示的函数方程，它可以用来描述一条曲线或者曲面。
在平面几何中，我们可以利用参数方程来描述直线的位置和方向。
对于直线来说，我们通常会用到两种参数方程，点向式参数方程和标准参数方程。
在这里，我们重点讨论标准参数方程。
假设直线上有一点P(x, y)，并且直线的方向向量为\vec{v}=(a, b)，其中a和b 不全为0。
那么，直线的标准参数方程可以表示为：\begin{cases}。
x=x_0+at \\。
y=y_0+bt。
\end{cases}。
其中(x_0, y_0)为直线上的一点，t为参数。
通过这个参数方程，我们可以得到直线上任意一点的坐标。
当参数t取不同的值时，我们可以得到直线上不同位置的点的坐标。
这就是参数方程的作用所在，它可以帮助我们描述直线上所有的点。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设直线L上有一点P(1, 2)，并且直线的方向向量为\vec{v}=(3, 4)。
那么，直线L的标准参数方程可以表示为：\begin{cases}。
x=1+3t \\。
y=2+4t。
\end{cases}。
通过这个参数方程，我们可以得到直线L上任意一点的坐标。
当参数t取不同的值时，我们可以得到直线L上不同位置的点的坐标。
这样，我们就可以用参数方程来描述直线L的位置和方向了。
除了上面讨论的直线的标准参数方程，我们还可以用其他方式来描述直线，比如点斜式方程、两点式方程等。
每种描述方式都有其独特的特点和适用范围。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的描述方式来描述直线。
总之，直线的标准参数方程是描述直线位置和方向的重要工具。
通过参数方程，我们可以方便地得到直线上任意一点的坐标，从而更好地理解和应用直线的相关知识。
直线的参数方程怎么写
直线的参数方程怎么写直线是几何学中最基础的图形之一，它由无数个点组成，且这些点都在同一条直线上。
直线的方程是用来表示直线上的所有点的数学表达式。
在解析几何中，我们通常使用直线的一般方程、斜截式、点斜式和参数方程来描述和研究直线的性质。
本文将着重介绍直线的参数方程的基本概念和应用。
一、直线的一般定义直线是由无数个点组成的无穷集合，它是经过两个不同点的最短路径。
直线还有一些重要的性质，如无宽度、无曲率和无限延伸等。
二、直线的一般方程直线的一般方程通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数常数，且A和B不同时为0。
一般方程是直线的一种常用形式，它可以描述直线上的所有点。
然而，一般方程不够直观，不能直接得到直线的斜率和截距等重要信息。
三、直线的斜截式直线的斜截式是直线的另一种常见表达形式，它是以直线与y轴的交点和直线的斜率来表示的。
斜截式的一般形式是y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
斜截式可以更直观地反映直线的性质，如斜率和截距等。
四、直线的点斜式直线的点斜式是一种更加灵活和简洁的表达方式，它是以直线上的一个已知点和直线的斜率来表示的。
点斜式的一般形式是y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
点斜式可以直接得到直线的方程，且适用于非垂直于坐标轴的直线。
五、直线的参数方程直线的参数方程是一种用参数表示直线上的点的表达形式。
参数方程的一般形式是x = x₁ + at，y= y₁ + bt，其中(x₁, y₁)是直线上的一个已知点，a和b是参数，t是参数的取值范围。
参数方程实际上是将直线上的每一个点转化成了一个参数化的形式，可以方便地进行计算和描述。
直线的参数方程可以通过以下步骤来确定：1. 选择任意两个不同的点来确定直线的斜率。
2. 使用斜率和一个已知点来确定直线的点斜式方程。
3. 将点斜式方程转化成参数方程形式。
第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)
第四讲 直线参数t 的几何意义1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(1)当0M M u u u u u r与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．(2)当0M M u u u u u r与e 反向时，t 取负数，(3)当M 与M 0重合时，t ＝0.3.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）212121212121212()4,0,0t t t t t t t t PA PB t t t t t t ⎧-=+-<⎪+=+=⎨+>⎪⎩当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；知识解读考向一 参数t 的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．【答案】（1）见解析 （2）3【解析】(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3. 学科&网【举一反三】1.已知曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， C 2的参数方程为32(32x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）（1）将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，求AB .【答案】(1)曲线C 1的普通方程y 2=4x ,C 2的普通方程x+y-6=0 ；（2）AB 【解析】（1）曲线C 1的普通方程为y 2=4x ， 曲线C 2的普通方程为x+y-6=0（2）将C 2的参数方程代入C 1的方程y 2=4x，得23=43-+（）（）整理可得260t +-=，由韦达定理可得12126t t t t +=-=-12AB t t =-==2.已知曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为34π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=即曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4直线l 的参数方程31+t cos 4(3sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）即1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅱ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1)2)4-+-=整理，得210t -+=，由韦达定理得12121t t t t +== 因为t 1t 2>0，所以1212MA MB t t t t +=+=+=考向二 t 系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{22x t y t=+=-（t 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 22y x =；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =（Ⅱ）方法一：由t 的几何意义可得C 1的参数方程为12(t 22x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-，∴1262PA PB t t +=+=. 方法二：把1:3C x y +=代入22:2C y x =得2890x x -+=所以128x x +=， 129x x = 所以()221212*********PA PB x x x x +=+-++-=⨯-+-()()1221128262x x =⨯-+-=⨯-=【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为3(3x tt y t⎧=⎪⎨⎪=-⎩为参数）数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点3,0)，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值. 【答案】（1）直线l 330x y +-=，【总结套路】直线参数t 几何意义运用最终版套路 第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t 的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；如果否，则先化1.2202200022(t a b y t a x x t x x at a b t y y bt b y y t a b ±+⎧=+⎪=+⎧+⎪⎪−−−−−→⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪+⎩前的系数同时除以保证中的的系数为正数为参数） 第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第四步--写：写出韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4； （2）3MA MB ⋅=-【解析】（1）直线l30y +-= 因为曲线C 的极坐标方程为cos ρθ=. 所以曲线C 的直角坐标方程(x-2)2+y 2=4；(2)点在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120°，可设直线的参数方程为：12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入到曲线C 的方程得：30t +-=，由韦达定理得12122,t t t t +==-由参数的几何意义知123MA MB t t ⋅==。
15 直线的参数方程(1)(学生版)
15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核：学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程.学习重点：直线参数方程的简单应用.学习难点：直线参数方程中参数意义的理解.学习过程：一、课前准备：阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题：1.将参数方程122x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程是 . 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？答：3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？答：二、新课导学：（一）新知：直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ，所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=，所以00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程.(3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =.（4）练习：①直线003sin20cos20x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角为 ；②直线10x y +-=的一个参数方程是 .(二)典型例题：【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB的长和点(0,3)M -到A 、B 两点的距离之积.【解析】点(0,3)M -在直线l 上，直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的参数方程为 0cos 4 3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩为参数（），即 3 x t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数（）， 代入抛物线方程，得2102180t t -+=，设该方程的两个根为1t 、2t ，则1212 102 18t t t t +=⋅=，，所以弦长为 ()22121212 4 (102)41882AB t t t t t t =-=+-=-⨯=12||||||18MA MB t t ⋅==.动动手：1.试用选修1-1中的方法解例1.【解析】2.直线00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线()y f x =交于1M 、2M ，对应的参数分别为1t 、2t . 问（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？【解析】将直线的参数方程代入曲线方程后得到一个关于t 的方程：00(cos ,sin )0f x t y t αα++=，这个方程的解为1t 、2t ，对应的点是直线与曲线的交点1M 、2M ，所以（1）由参数的几何意义得1212||||M M t t =-.（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是122t t +. （同学们自己画图验证，要分000(,)M x y 在线段12M M 内和在线段12M M 外两种情况）.3.求直线12 2 3 x t t y ⎧=+⎪⎨⎪⎩（为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长. 【解析】三、总结提升：1．直线的参数方程与普通方程00tan ()y y x x α-=-的关系：由00tan ()y y x x α-=-得00sin cos y y x x αα--=，令00sin cos y y x x t αα--==， 得直线的参数方程.2.注意直线的参数方程与向量的知识的联系.3.要了解直线参数方程中参数t 的几何意义.4.简单应用：用参数t 可以表示点的坐标、直线上两点间的距离、直线被曲线截得的弦长，还可以表示弦的中点对应的参数.四、反馈练习：1．直线3()14x at t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点 （ ） A . (3,1)-- B . (3,1)- C . (3,1)- D . (3,1)2．在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是 （ ）A .122t t - B . 122t t + C . 12||2t t - D . 12||2t t + 3. 直线22()32x t t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -2的点的坐标是 （ ） A .(3,4)-或(1,2)- B . (3,4)-或(1,2)-C . (3,4)-或(1,2)-D . (3,4)--或(1,2)-4. 直线112333x t y =+=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为 （ ）A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-5. 过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求P M P N ⋅的最小值及相应的α的值．【解析】五、学后反思：。
参数方程1问知识点
编辑：波参数方程知识点（1问）1.规则参数方程与普通方程的转化（1）直线参数方程：{x=x0+tcosθy=y0+tsinθ（t为参数）【什么为参数一定要说】，定义是（x0，y0）为直线上的定点，θ是直线的倾斜角，ItI为直线上任意一点（x，y）到定点（x0，y0）的距离（2）圆的参数方程：{x=a+rcosθy=b+rsinθ（θ为参数）【什么为参数一定要说】，定义是以（a，b）为圆心，r为半径的圆（3）椭圆x 2a +y2b=1的参数方程：{x=acosθy=bsinθ（θ为参数）【什么为参数一定要说】（4）抛物线y2=2px的参数方程是{x=2pt2y=2pt（t为参数）【什么为参数一定要说】2.极坐标与直角坐标的关系若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点p极坐标为（p，θ）。
直角坐标为（x，y），则x=pcosθ，y=psinθx2+y2=p2，p=√x2+y2（这四个公式记住，大部分题都需要用于转化）例：将c1普通方程x2+y=2化为极坐标方程解析：把公式运用熟悉，x=pcosθ→x2=p2cosθ2，y=psinθ那么极坐标方程为p2cosθ2+psinθ=2书写过程写为：解：因为c1的普通方程为x2+y=2所以c1的极坐标方程为p2cosθ2+psinθ=23.参数方程，极坐标方程，直角坐标三者的转化（1问必备）例1：（2021年全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cosθ（1）将C的极坐标方程化为曲线C直角坐标方程解析：ρ=2√2cosθ→p2=2√2pcosθ（两个同时×p）x2+y2=p2，x=pcosθ→x2+y2=2√2x→x2+y2−2√2x=0所以用圆的公式【不懂的自行百度】（x−√2）2+y2=2解：因为曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cosθ所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2√2x即曲线C的直角坐标方程为（x−√2）2+y2=2注：主要是运用前面的8大公式转化这题，无论规则与不规则都是这样，当遇见需要读题分析的题，那就需要读懂意思在运用方法。
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（2 直线 x + y − 1 = 0的一个参数方程是 ）
t的几何意义是： t 表示参数对应的点 t M 直线的参数方程中参数 的几何意义是： M 的距离。 M e同向时，取正数； M t e异向时， 到定点 0的距离。当 0 M与 同向时，取正数；当 0 M与 异向时， t取负数；当点 与M0重合时， = 0. M 重合时， t 取负数；
4 应用： t表示点的坐标、直线上 两点间的距离、直 （）应用：用参数 表示点的坐标、 两点间的距离、 t. 线被曲线所截得的 41
四、课堂练习
解得： 由(*)解得： x1 = −1+ 5 −1− 5 ，x 2 = 2 2
3− 5 3+ 5 ∴ y1 = ，y 2 = 2 2
记直线与抛物线的交点 坐标A(
则 MA ⋅ MB = ( −1 −
−1+ 5 3− 5 −1− 5 3+ 5 , )，B( , ) 2 2 2 2
3− 5 2 3+ 5 2 −1+ 5 2 −1− 5 2 ) + (2 − ) ⋅ ( −1 − ) + (2 − ) 2 2 2 2
四、课堂小结
及其简单应用， 及其简单应用， 本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推导 知识点： 学习后要把握以下几个 知识点：
1 ） 通方程 y − y0 = tanα( x − x0 )的联系； 的联系； （ 直线的参数方程与普
2 量知识的联系； （）直线的参数方程与向 量知识的联系；
3 t的几何意义； （）参数的几何意义；
一、课题引入
在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何 条件是什么？ 根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条 件来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样 选择参数？
二、新课讲授
l平行且方向向上（ l的倾斜角不为） 0 设e是与直线平行且方向向上（ l 0 的单位方向向量（ 位长度 或向右（ 或向右（的倾斜角为）的单位方向向量（单 同 与坐标轴的单位长度相 ）
= 3+ 5 ⋅ 3− 5 = 4 = 2
1 ） l的参数方程？ （ 如何写出直线 的参数方程？
①
2 A B t t （）如何求出交点 ， 所对应的参数1， 2 ?
①
3 M B 有什么关系？ （） AB、 A ⋅ M 与t1，t2有什么关系？
1 （） M1M2 = t1 − t2
t1 + t2 2 （） t = 2
又 ∵ M 0 M // e ∴ 存在惟一实数 t ∈ R，使得 M 0 M = t e
1 ） 些是变量？哪些是常量 ？ 注：（ 直线的参数方程中哪 些是变量？ （）参数的取值范围是什么？ 2 t的取值范围是什么？ 3 什么特点？ （）该参数方程形式上有 什么特点？
x = 3 + t sin 200 1 为参数）的倾斜角是（ （）直线 （t为参数）的倾斜角是（ B） 0 y = t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
三、例题讲解
x + y −1 = 0 x (*) 解：由 得： 2 + x − 1 = 0 如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样 2 y= x 求解本题呢？ 由韦达定理得： ∴由韦达定理得： x1 + x2 = −1，x1 ⋅ x 2 = −1
∴ AB = 1 + k 2 ( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x 2 = 2 ⋅ 5 = 10
设直线 l的倾斜角为 α，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为( x0 , y0 )、x , y ) (
(1)如何利用倾斜角 写出直线的单位方向向量 ？ α l e (2)如何用 和M0的坐标表示直线上任意 e M的坐标？ 一点 的坐标？
(1) e = (cos α , sin α )
( 2) M 0 M = ( x , y ) − ( x 0 , y 0 ) = ( x − x 0 , y − y 0 )