高中数学必修2立体几何常考题型：平面

平面
【知识梳理】
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②
.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD . 4．平面的基本性质
题型一、文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P 与直线AB ； (2)点C 与直线AB ； (3)点M 与平面AC ；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
[解](1)点P∈直线AB；
(2)点C∉直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
【类题通法】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
【对点训练】
1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A ∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)；
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)．
题型二、点、线共面问题
【例2】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[解]已知：如图所示，l
∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法1：(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2⊂α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法2：(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
【类题通法】
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
【对点训练】
2．下列说法正确的是()
①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面
③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面
A．①②B．②③
C．②④D．③④
解析：选C不在同一条直线上的三点确定一个平面．圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，∴①不正确，②正确．当四点在一条直线上时不能确定一个平面，③不正确．根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故④正确.
题型三、共线问题
【例3】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，
BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．
求证：P，Q，R三点共线．
[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，
∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
【类题通法】
点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
【对点训练】
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1
交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：如下图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.
∴BD1⊂平面A1BCD1.
同理BD1⊂平面ABC1D1.
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C⊂平面A1BCD1，
∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．
【练习反馈】
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()
A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂β
C．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β
解析：选B∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.
又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()
A．相交B．重合
C．相交或重合D．以上都不对
解析：选C若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
3．下列对平面的描述语句：
①平静的太平洋面就是一个平面；
②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；
③四边形确定一个平面；
④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．
其中正确的是________．
解析：
答案：④
4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.
答案：C
5．将下列符号语言转化为图形语言．
(1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a.
(2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.
解：(1)
(2)。