高中数学第7章概率1随机现象与随机事件1.3随机事件1.4随机事件的运算学案含解析北师大版第一册

1.3 随机事件
1.4随机事件的运算
学习目标核心素养
1。

理解随机事件与样本点的关系．(重点)
2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点）1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．
1．三种事件的定义
事件随
机
事
件
一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件,常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个;反之，当这一子集中的一个样本点出现时,这一事件必然发生
必
然
样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；
又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本
事
件
点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件不
可能事件空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件
2。

随机事件的运算事件
的运算定义图形表示
符号表
示
交事件一般地,由事件A与事件B都发
生所构成的事件，称为事件A
与事件B的交事件（或积事件）
A∩B
（或
AB）
并事件一般地，由事件A与事件B至
少有一个发生所构成的事件，称
为事件A与事件B的并事件(或
和事件）
A∪B
（或A
＋B)
3。

互斥事件与对立事件
事件
的运
算
定义图形表示符号表示
互斥事件一般地，不能同时发生的两个
事件A与B（A∩B＝∅)称为互斥
事件．它可以理解为A，B同时
发生这一事件是不可能事件
A∩B＝∅
对立事件若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B
＝Ω，则称事件A与事件B互为
对立事件，事件A的对立事件
记作错误!
A∩B＝∅
且A∪B＝
Ω
思考：1.一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝｛出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
提示：A＝C∩D.
2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？（指充分性与必要性）
提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B
为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．
1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球,则下列选项中两个事件是互斥事件的为(）
A．“都是红球”与“至少一个红球"
B．“恰有两个红球”与“至少一个白球"
C．“至少一个白球”与“至多一个红球”
D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”
D[A,B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项,两个事件不可能同时发生,是互斥事件．]
2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(）
A．A⊆B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
C［设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.]
3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列
事件：
①在这200件产品中任意选9件,全部是一级品；
②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；
③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．
其中_______是随机事件；_______是不可能事件．（填序号）
①③②［因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件．］
事件类型的判断
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2）三角形的内角和为180°;
（3)没有空气和水，人类可以生存下去;
（4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5）从分别标有1,2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签;
（6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”
将会出现．
［解］（1)购买一注彩票，可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件．
（2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
（3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水,人类无法生存，所以是不可能事件．
（4）同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5）任意抽取，可能得到1，2，3,4号标签中的任一张,所以是随机事件．
(6）由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
判断一个事件是哪类事件的方法
判断一个事件是哪类事件要看两点：
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
［跟进训练］
1．下列事件不是随机事件的是(）
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
B［B是必然事件,其余都是随机事件．］
事件关系的判断
【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
（1）“恰有1名男生"与“恰有2名男生”；
（2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
（3)“至少有1名男生"与“全是女生”;
(4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生"．
[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生,1男1女．
(1)“恰有一名男生"指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两
个事件都不发生，所以它们不是对立事件．
（2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3）“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．（4）“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生"与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的，也可列出全部结果,再进行分析．
［跟进训练］
2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
（1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
（2)“至少有1件次品"和“全是次品”；
(3)“至少有1件正品"和“至少有1件次品"．
［解］依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：（1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件；同理可以判断（2)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
事件的运算
［探究问题]
1．事件的运算与集合的运算有什么对应关系？
［提示］由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件，对应集合A与集合B的公共元素构成的集合为A∩B；
由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件,对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为A∪B。

2．进行事件的运算，有哪些方法?
［提示]（1）利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
（2)利用Venn图．借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
【例3】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件,如：A＝｛出现1点}，B＝｛出现3点或4点｝,C＝｛出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
（1)说明以上4个事件的关系；
(2）求A∩B，A∪B,A∪D，B∩D，B∪C。

［思路点拨］(1）错误!→错误!
（2）错误!→错误!
［解]在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i＝｛出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6).则A ＝A1,B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5,D＝A2∪A4∪A6。

(1）事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C,事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事
件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝∅，A∪B＝A1∪A3∪A4＝｛出现点数1，3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝｛出现点数1，2，4或6｝．
B∩D＝A4＝｛出现点数4}．
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝｛出现点数1，3，4或5}．
1．在例3的条件下,求A∩C，A∪C，B∩C.
[解］A∩C＝A＝｛出现1点｝，A∪C＝C＝{出现点数1，3或5｝，B∩C＝A3＝{出现点数3｝．
2．用事件A i＝｛出现的点数为i｝（其中i＝1,2,…,6)表示下列事件：
(1）B∪D；(2)C∪D.
［解](1）B∪D＝{出现点数2，3，4或6｝＝A2∪A3∪A4∪A6.
(2)C∪D＝｛出现点数1，2,3，4，5，6｝＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6。

进行事件运算应注意的问题
（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用
Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件,在给定的条件下判断是一定发生（必然事件），还是不一定发生(随机事件),还是一定不发生(不可能事件）.
2．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥,它们未必对立;反之，两个事件对立，它们一定互斥．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”）
(1）若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．
（）
（2）若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．
（)
（3）事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件．
(）
［提示]（1)错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
（2）正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．
(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2,则事件A∪B是必然事件,但事件A和B不是对立事件．
[答案]（1)×（2)√(3)×
2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，为对立事件的是(）
A．①B．②④C．③D．①③C[从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两
偶,共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立事件．］3．从100个同类产品中（其中有2个次品）任取3个．
①三个正品;②两个正品,一个次品；③一个正品，两个次品；
④三个次品;⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________,随机事件是________．
⑥④①②③⑤［从100个产品（其中2个次品)中取3个可能结果是．“三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品”．]
4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球,设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球｝，事件C＝{3个球中至少有一个红球｝，事件D＝{3个球中既有红球又有白球｝．
（1)事件D与A，B是什么样的运算关系；
(2）事件C与A的交事件是什么事件．
[解](1）对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B。

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球,或3个红球，
故C∩A＝A。