浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程

单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两点P (－1,1)，Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 的延长线相交．如图14－2，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，32B ．⎝⎛⎭⎫－3，－23C ．(－∞，－3)D ．⎝⎛⎭⎫－23，＋∞2．已知直线l 是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的右准线，如果在直线l 上存在一点M ，使得线段OM （O 为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．)1,23[B ． )1,22[C ．)1,22(D ． )1,21[3． 已知椭圆221369xy+=，以及椭圆内一点P(4,2),则以P 为中点的弦所在的直线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．-24．已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线010=-+y x 的距离是d 2，则d l +d 2的最小值是 ( ) A ．3 B ． 32 C ． 26 D ．35．已知两直线x ＋ay ＋1＝0与ax －y －3＝0互相垂直，则a 的取值集合是( ) A ．{－1,1} B ．{x |x ≠0} C ．R D ．6．双曲线mx 2+ y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 ( ）A ．-14B ．-4C ．4D ．147．已知椭圆C 1：x2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝28． 已知θ是三角形的一个内角，且1sin cos 2θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线 9．已知点M (0,1)、A (1,1)、B (0,2)，且＝cos θ＋sin θ(θ∈[0，π])，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1(0≤x ≤1)B ．x 2＋y 2＝1(0≤y ≤2)C ．x 2＋(y －1)2＝1(0≤y ≤1)D ．x 2＋(y －1)2＝1(1≤y ≤2)10．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 211．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足⊥，另有动点P ，满足∥，∥(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝4x (x ≠0) C ．y 2＝－4x D ．y 2＝－4x (x ≠0) 12．已知双曲线22122xy-=的准线过椭圆22214xy b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A ． 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B ． 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ． 22,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D ． 22,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．抛物线x y 42=的焦点坐标是 . 14．已知过点P (－3,0)的直线l 与双曲线x216－y29＝1交于A 、B 两点，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝________.15．椭圆C ：x216＋y29＝1及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)的位置关系是________． 16． 过点(4,4)P 且与双曲线221169xy-=只有一个公共点的直线有 条。

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．(Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；(Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．18．设椭圆C 1和抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录(1）求曲线C 1，C 2的标准方程；(2）设直线l 与椭圆C 1交于不同两点M 、N ，且0OM ON ⋅=，请问是否存在直线l 过抛物线C 2的焦点F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

19．已知点21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的左、右焦点，点P 为椭圆上任意一点，P 到焦点2F 的距离的最大值为12+，且21F PF ∆的最大面积为1(1）求椭圆C 的方程。

(2）点M 的坐标为)0,45(，过点2F 且斜率为k 的直线L 与椭圆C 相交于B A ,两点。

对于任意的MB MA R k ∙∈,是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。

20． 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，求m 6＋m 4的值．21．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M. (1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足＋＝t (O 为坐标原点)，当|－|＜253时，求实数t 的取值范围．1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】C6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】B9. 【答案】D 10. 【答案】C 11.【答案】B12. 【答案】A 13. 【答案】（1，0）14. 【答案】91615. 【答案】相交 16. 【答案】417. 【答案】（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为2214xy +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，[来源:学。

科。

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X 。

X 。

K]且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故212214x x k=-=+．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k=+==+；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以221012714kk=++，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =．(Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+，22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+．又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+214(12)525(14)k k +=+22(12)14k k+=+22144214k k k++=+22≤，当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22．解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△ 222x y =+222(2)x y =+ 22222244x y x y =++22222(4)x y +≤22=，当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22．18. 【答案】（1）由题意（-2，0）一定在椭圆C 1上。

设C 1方程为12222=+by ax ，则2=a ∴椭圆C 1上任何点的横坐标.2||≤x所以)22,2(也在C 1上，从而12=b∴C 1的方程为1422=+yx从而)32,3(-，（4，-4）一定在C 2上，设C 2的方程为)0(22>=p px y.2=∴p 即C 2的方程为.42x y=[来源:](2）假设直线l 过C 2的焦点F （1，0）。

当l 的斜率不存在时，则).23,1(),23,1(-N M此时041431≠=-=⋅ON OM ， 与已知矛盾。

当l 的斜率存在时设为k ，则l 的方程为)1(-=x k y 代入C 1方程并整理得：.0448)41(2222=-+-+kx k x k设),(),,(2211y x N y x M ，则222122214144,418kkx x kkx x +-=+=+22212122121413)1()1()1(kkx x x x k x k x k y y +-=+--=--=0=⋅ON OM ， 02121=+∴y y x x ， 2,042±==-∴k k∴存在符合条件的直线l 且方程为).1(2-±=x y 19.【答案】⑴由题意可知：a+c= 2 +1 ，12×2c ×b=1,有∵a 2=b 2+c2∴a 2=2, b 2=1, c 2=1 ∴所求椭圆的方程为：2212xy +=⑵设直线l 的方程为：y=k （x-1）A(x 1，y 1) ,B(x 2，y 2)，M(54,0)联立()222222112-42-202y=k x-1 x y y k x k x k ⎧+=⎪++=⎨⎪⎩消去得：（）则2122212241222120k x x kk x x k ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩[来源:Z|xx|] ∵20. 【答案】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p 2=-m ，将x =my -m 代入抛物线方程整理得 y 2-2pmy +2pm =0，由韦达定理得y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=2pm ，∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2，又△OAB 的面积21. 【答案】(1)抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2，于是，4＋p 2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x.(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴k FA ＝43．又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组),1(34),432(-=-=-x y x y 得.54),58(==y x ∴N )54,58(. 22. 【答案】(1)由题意知e ＝c a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12．即a 2＝2b 2.又因为b ＝21＋1，所以a 2＝2，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，化简得k 2<12，x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k 2．∵＋＝t ，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k2t (1＋2k 2)，∴y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2)． ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)． ∵|－|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2]<209，∴(1＋k 2)⎣⎡⎦⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14．∴14<k 2<12，∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)， ∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，∴83<t 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2， ∴实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2．。