第5章部分习题参考解答

5.1 G
在
自由空间中，
已知电场
G E(z,t)
=
G ey
103
sin(ωt
−
β
z)
V/m
，试
求磁场强度
H (z,t) 。
解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
G E(z,t)
=
eGy103
cos(ωt
−
β
z
−
π 2
)
V/m
这是一个沿 +z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 −90D 。与之相伴的磁
x] =
G = ex 400
282.75 W/m2 MHz 。当 y =
0.5
m
、
解teGx=0：0.6.沿2−neeGGszy0方时.8向。，传试电播求场的出强均电度匀场E平EG的G面和最波磁的大场电值HGG场为的强瞬25度时0的V表/一m示般式，表。表达征式其为方 向 的 单 位 矢 量 为
E( y,t) = Em cos(ωt − ky + φ)
后，其波长变为 λ = 0.09 m 。设该理想介质的 μr = 1 ，试求该理想介质的 εr 和波
在该理想介质中的传播速度。
解：在自由空间，波的相速 vp = c = 3×108 m/s ，故波的频率为
f = vp = 3×108 = 1.5×109 Hz λ0 0.2
在理想介质中，波长 λ = 0.09 m ，故波的相速为
∂2E ∂t 2
=
0
据此即可求出欲使给定的 E 满足方程所需的媒质参数。
方程中
G ∇2E
=
G ey∇
2
Ey
G
G = ey
∂2Ey ∂x2
=
G −ey
9425
cos(109
t
−
5
x)
∂2E ∂t 2
G = ey
∂2Ey ∂x2
=
G −ey
377
×1018
cos(109
t
−
5
x)
故得
−9425cos(109t − 5x) + με[377 ×1018 cos(109t − 5x)] = 0
∂Ey ∂x
G = −ez
1 jωμ0
377e− j5x (− j5)
=
G ez
109
×
1 4π
×10−7
e− j5x
=
G ez
1.5e −
j5
x
A/m
则得磁G 场的瞬时表G达式 H (x, t) = Re[Hejωt ] =
G Re[ez
1.5e−
j5
x
e
j109
t
]
=
G ez1.5
cos(109
μr μ0ε rε0
=
ω c
μrεr = 0.8π rad/m
(1)
η = μ = μr μ0 = 60π Ω
(2)
ε
εr ε0
联立解方程式(1)和(2)，得
μr = 2 ，εr = 8
5.6 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为
G E
=
eGx10−4
e−
j20
πz
G +ey
10−4
−
e
j( 20
理想介质后，其相位常数变为 β = 1.81 rad/m 。设该理想介质的 μr = 1，试求该理
想介质的 εr 和波在该理想介质中的传播速度。 解：自由空间的相位常数 β0 = ω μ0ε0 故ω = β0 = 0.524× 3×108 = 1.572×108 rad/s
μ0ε 0
在理想电介质中，相位常数 β = ω
试求该介质的相对磁导率 GG
μr
和相对介电常数
ε
r
。
解：由给出的 E 和 H 的表达式可知，它表征沿 +z 方向传播的均匀平面波，其相
关参数为：
角频率ω = 6π ×107 rad/s ，波数 k = 0.8π rad/m ，波阻抗η = E = 10 = 60π Ω H1
6π 而
k =ω
με = ω
πz
−
π 2
)
V/m
G
试求：(1) 平面波的传播方向和频率；(2) 波的极化方式；(3) 磁场强度 H ；(4) 流
过与传播方向垂直的单位面积的平均功率。
解：(1)Hale Waihona Puke 传播方向为G ez
，由题意知
k
= 20π = ω
μ0ε0 ，故
ω = 20π = 6π ×109 rad/s ， f = ω = 3×109 = 3 GHz
=
2π
rad/m
相速为 vp =
1= με
1 = 1.5×108 m/s 4μ0ε 0
波长为 λ = 2π = 1 m ，波阻抗为η = μ = μ0 = 60π ≈ 188.5 Ω
k
ε 4ε0
(2)
平均坡印廷矢量为 Sav
=
1 2η
Em2
= 0.265×10−6
W/m2
故得 Em = (2η × 0.265×10−6 )1/2 ≈ 10−2 V/m
]}
即 Pav = 2.65×10−11 W
5.7 在空气中，一均匀平面波的波长为12 cm ，当G 该波G 进入某无损耗媒质中传播 时，其波长减小为 8 cm ，且已知在媒质中的 E 和 H 的振幅分别为 50 V/m 和
0.1 A/m 。求该平面波的频率和媒质的相对磁导率和相对介电常数。
解：在自由空间中，波的相速 vp = c = 3×108 m/s ，故波的频率为
+
G ez
5 ) cos(8π ×108t 4π
−
8π 3
y
+
88π ) 75
A/m
5.4 有一均匀平面波在 μ = μ0 、 ε = 4ε0 、 σ = 0 的媒质中传播，其电场强度
G E
= Em sin(ωt − kz +
π) 。若已知平面波的频率 3
f
= 150
MHz ，平均功率密度为
0.265 μW/m2 。试求：(1) 电磁波的波数、相速、波长和波阻抗；(2) t = 0 、z = 0
时的电场 E(0, 0) 值；(3) 经过 t = 0.1 μs 后，电场 E(0, 0) 值出现在什么位置？
G 解：(1) 由 E 的表达式可看出这是沿 +z 方向传播的均匀平面波，其波数为
k =ω
με = 2πf
4ε0μ0 = 2π ×150×106
4ε 0 μ0
=
4π
×150
×106
×
3
1 × 108
即
με
=
9425 377 ×1018
=
25 ×10−18
故
εr
=
25 ×10−18 μ0ε 0
=
25 ×10−18
× (3×108 )2
=
2.25
其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿 +x 方向传播的均匀平面
波，其相速为 vp
=
ω k
= 109 5
=
2 ×108
m/s
而 vp =
1= με
×
G (−ez
)]
G = 120π[−ey
1 3π
cos(ωt
+
β
G z) × (−ez
)]
=
G ex
40 cos(ωt
+
β
z)
V/m
由 β = 30 rad/m 得波长 λ 和频率 f 分别为
λ = 2π = 0.21 m β
f = vp = c = 3×108 = 1.43×109 Hz λ λ 0.21
μ0ε rε 0
= 1.81 rad/m ，故得到 εr
=
1.812 ω 2μ0ε0
= 11.93
电介质中的波速则为 vp =
1= με
1= μ0ε rε 0
c = 3×108 = 0.87 ×108 m/s εr 11.93
5.9 在自由空间中，一均匀平面波的波长为 λ0 = 0.2 m ，当该波进入到理想介质
ω = 2πf = 2π ×1.43×109 = 9×109 rad/s
则磁场和电场分别为
G H
=
G −ey
1 3π
cos(9 ×109 t
+ 30z)
A/m ，
G E
=
G ex
40
cos(9
×109
t
+
30z)
V/m
5.11
在空气中，一均匀平面波沿
G ey
方向传播，其磁场强度的瞬时表达式为
播，已知其电场瞬时值表G达式为 G E(x,t) = ey
377
cos(109
t
− 5x) G
V/m
G
试求：(1) 该理想介质的相对介电常数；(2) 与 E(x,t) 相伴的磁场 H (x,t) ；(3) 该
平面波的平均功率密度。
G
解：(1)
理想介质中的均匀平面波的电场 G
∇2E − με G
E 应G 满足波动方程
t
−
5x)
A/m
也可以直接从关系式
G H
=
1 η
G en
×
G E
得到
G H
G H
=
1 η
G ex
×
G ey
377e−
j5
x
=
G ez
εr η0
× 377e− j5x = eGz1.5e− j5x
A/m
(3) 平均坡印廷矢量为
5.3
在空气SGav中=，12 沿ReeG[EyG方× 向HG *传]G=播12的Re均[eG匀y 3平77面e−波j5x ×的eG频z1.率5e−fj5
根据本题所给条件可知，式中各参数为：
ω = 2πf = 8π ×108 rad/s
k =ω G
μ0ε 0 G
= ω = 8π ×108 c G 3×108
= 8π 3
rad/m
Em = 250(eGx 0.6 − ez 0.8) V/m
由于 y = 0.5 m 、 t = 0.2 ns 时， E 达到最大值，即
的振幅为 1 A/m 3π G
= 0 、 z = 0 时， H
，在自由空间沿
在
G −ey
方向。(1)
G −ez
方向传播，
GG
写出 E 和 H 的
表达式；(2) 求频率和波长。
解：以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式
G H
=
G −ey
1 3π
cos(ωt
+
β
z)
A/m
与之相伴的电场为
G E
G = η0[H
1 =1
μ0ε rε 0
εr
1 = 1 × 3×108
μ0ε 0
εr
故εr
=
( 3 )2 2
=
2.25
G
G
G
G
G
G E
=
(2) 与电场 E 相伴的磁场
G ey
377e −
j5
x
V/m ，故
H
可由 ∇ ×
E
=
− jωμ0H
求得。先写出
E
的复数形式
G H
=−
1 jωμ0
G ∇×E
=−
1 jωμ0
G ez
vp = f λ = 1.5×109 × 0.09 = 1.35×108 m/s
另一方面， vp =
1= με
1= μ0ε rε0
c εr
故
εr
=
⎛ ⎝⎜⎜
c vp
⎞2 ⎠ ⎟⎟
=
⎛ 3×108
⎜ ⎝
1.35
×108
⎞2 ⎟ ⎠
=
4.94
G 5.10 均匀平面波的磁场强度 H 其相位常数 β = 30 rad/m 。当 t
η=
E G
=
Em
= 50 = 500 Ω
H Hm 0.1
又由于
η=
μr μ0 ε rε 0
= η0
μr εr
故
μr = ( η )2 = (500)2
(2)
εr η0
377
联立式(1)和式(2)，得
μr = 1.99 ， εr = 1.13 5.8 在自由空间中，一均匀平面波的相位常数为 β0 = 0.524 rad/m ，当该波进入到
e−
j20
πz
A/m
(4)
G Sav
=
1 2
GG Re[E × H *]
=
1 2
Re{[eGx10−4 e− j20πz
+
G ey
10−4
−
e
j( 20
πz
−
π 2
)
]
=
eG×z[2−.e6Gx52×.6150×−111 0W−7/em− j2(20
πz
−
π 2
)
+
G ey
2.65 ×10−7
e−
j20 πz
因此 E(0, 0)
=
Em
sin( π ) 3
=
8.66 ×10−3
V/m
(3) 随着时间 t 的增加，波将沿 +z 方向传播，当 t = 0.1 μs 时，电场为
E
= 10−2 sin(2πf
− kz +
π )
3
= 10−2 sin(2π ×150×106 × 0.1×10−6 − 2πz + π）= 8.66×10−3 3
场为
G H
(z,t)
=
1 η0
G ez
×
G E(z,t)
=
1 η0
G ez
×
G ey
103
cos(ωt
−
β
z
−
π) 2
=
G −ex
103 120π
cos(ωt
−
β
z
−
π 2
)
=
G −ex
2.65 sin(ωt
−
β
z)
A/m
5.2 理想介质（参数为 μ = μ0 、 ε = εrε0 、σ = 0 ）中有一均匀平面波沿 x 方向传
f
=
vp λ0
=
c λ0
=
3×108 12 ×10−2
= 2.5×109
Hz
在无损耗媒质中，波的相速为
vp = f λ = 2.5×109 × 8×10−2 = 2×108 m/s
又
vp =
1= μr μ0ε rε 0
c μrε r
故
μrε r
=
c ( vp
)2
=
9 4
(1)
无损耗媒质中的波阻抗为
G
得 sin(30π − 2πz + π）= 0.866 ，即 30π − 2πz + π = π ，则 z = 15 m
3
33
5.5 理想介质中的均匀平面波的电场和磁场分别为
G E
=