8.多元函数积分学PPT

性质 4（二重积分对于积分区域的可加性）如果区
域 D 被一条曲线分成 D1 ， D2 两个闭区域，则
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d ．
D
D1
D2
性质 5 如果在区域 D 上总有 f (x, y) g(x, y) ，则
f (x, y)d g(x, y)d ．
D
dV A(x)dx ，
8-2 二重积分的计算
所以曲顶柱体的体积为
V
f (x, y)d
b
dV
a
b
A(x)dx
a
b a
d c
f (x, y)dydx ．
D
等式右边的积分 d f (x, y)dy 是将 x 看成常数，对于 c
积分变量 y 在区间c, d 上求定积分，积分结果是不含 y
的近似值，即
n
V f (i ,i )i ． i 1
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8-1 二重积分的概念与性质
（3）取极限
当上述分割的份数 n 越来越多且每个小区域的面
积越来越小时，上述体积的近似值就会越来越精确，
当分割的份数 n 趋于无穷且每个小平面区域 i 越来
越小收缩于一点时，上述和式的极限就是曲顶柱体体
积的精确值，若用 表示 n 个小区域的最大直径，则
轴的平面，此平面与曲顶柱体相交所得的截面的面 积为
d
A(x) c f (x, y)dy
此积分中 y 是积分变量，积分时 x 应看作常量对待．
8-2 二重积分的计算
将曲顶柱体用垂直于 x 轴的平面切成多个小薄片，任
取一个对应于区间x, x dx 的薄片，当这个薄片的厚度 dx
充分小时，这个薄片可以近似看成是以截面 A(x) 为底面 积，以 dx 为高的薄柱体，如图，故该薄片体积的近似值为
其 中 ， D 称 为 积 分 区 域 ， f (x, y) 称 为 被 积 函 数 ，
f (x, y)d 称为被积表达式，d 称为面积元素，x 和 y 称
为积分变量．
8-1 二重积分的概念与性质
由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积V 就是 曲顶所对应的函数 f (x, y) 在区域 D 上的二重积分，即
f (x, y)d
b
dx
2 (x) f (x, y)dy ．
D
a
1 ( x)
8-2 二重积分的计算
3.积分区域 D 可以用不等式表示为： 1( y) x 2 ( y), c y d
即区域 D 是由曲线 x 1( y), x 2 ( y) 及直线 y c, y d 所围成的闭区域（如图）．
积为 A ，则 d A ．
D
性质 2 常数因子可以从积分号下提出来，即
kf (x, y)d k f (x, y)d （ k 为常数）．
D
D
性质 3 函数的代数和的积分等于各函数积分的代数和，
f (x, y) g(x, y)d f (x, y)d g(x, y)d ．
D
D
D
8-1 二重积分的概念与性质
f (x, y)d f (,) A ．
D
8-2 二重积分的计算
在平面直角坐标系的 xoy 坐标平面中，可以用平行 于 x 轴， y 轴的直线将区域 D 分成若干小区域（含边界 点的除外），如图，这时 xy ，
所以面积元素可以写成 d dxdy ，
从而
f (x, y)d f (x, y)dxdy ．
0
2x
0
0
D
1 2
1(x2 1)d(x2 1) 1 (x2 1)3
0
6
1 0
1 6
8-2 二重积分的计算
例 4 把 f (x, y)dxdy 化成二次积分(两种次序),其中 D 为由
D
双曲线 xy 2 和直线 y 2x , 2y x 所围的在第一象限的部分．
解 积分区域 D 如图中阴影部分所示，
f (x, y)d f (x, y)dxdy ．
D
D
8-1 二重积分的概念与性质
(3) 二重积分是一个数值，其大小只与被积函
数 f (x, y) 和积分区域 D 有关，而与积分变量用什么
字母表示无关，即
f (x, y)dxdy f (u,v)dudv ．
D
D
8-1 二重积分的概念与性质
用类似于 1 中的方法可以证明，二重积分
f (x, y)d
d
dy
2 ( y)
f (x, y)dx ．
D
c
1( y)
8-2 二重积分的计算
在二重积分的计算中，常常既要考虑有界闭区域 的边界，又要兼顾被积函数的情况，以确定是先对积 分还是先对积分．如果的边界比较复杂，可以把分成 若干个小闭区域，使得在每个小闭区域上可以用上述 公式进行二重积分的计算，然后利用二重积分对积分 区域的可加性求出区域上的二重积分的值．
D
8-1 二重积分的概念与性质
性质 6 设 m, M 分别是 f (x, y) 在有界闭区域 D 上的 最小值与最大值，区域 D 的面积为 A ，则
mA f (x, y)d MA ．
D
性质 7（中值定理）设函数 f (x, y) 在有界闭区域 D 上 连续， A 是区域 D 的面积，则在区域 D 中至少存在一点 ( ,) ，使得
在每个 i 上任取一点 pi (i ,i ) ，以这点处的函数值 f (i ,i ) 近似代替小区域 i 上每点处的函数值，即把以 i 为底的曲顶柱体近似的看成以 f (i ,i ) 为高的平顶柱
体，则
Vi f (i ,i )i (i 1, 2, , n)
把 n 个小平顶柱体的体积加起来便是整个曲顶柱体体积
D
D
8-2 二重积分的计算
分三种情况来讨论直角坐标系下二重积分的计算： 1.积分区域 D 可以用不等式表示为：
a x b, c y d 即区域 D 是由直线 x a, x b 及 y c, y d 围成的矩形．
为了计算二重积分 f (x, y)d ， D
可以将它理解为曲顶柱体的体积 V （如图）
只含 x 的函数，所以在把它作为被积函数在 a,b上求定
积分即可．
8-2 二重积分的计算
这样二重积分的计算就化成了先对 y 后对 x 的两次定
积分的计算了．另外，上式右端的二次积分也可以写成
b
dx
d
f (x, y)dy ．
a
c
同样，这个二重积分也可以化为先对 x 后对 y 的二次积分
d
8-1 二重积分的概念与性质
（1）分割 将区域 D 任意分割为 n 个小区域 1 ， 2 ， ， n ， 简 单 起 见 ， 把 这 样 的 小 区 域 的 面 积 也 记 作 i (i 1, 2, , n) ，相应的，整个曲顶柱体也被分为 n 个小曲
顶柱体．
8-1 二重积分的概念与性质
（2）近似求和
在做题时应先将区域的图形画出，结合图形较易 确定二次积分的上、下限．一定要注意，在解具体问 题时，还应考虑选择的积分次序应使计算尽量简便．
8-2 二重积分的计算
例 1 计算二重积分 xexydxdy ，其中区域 D 是由直线 D
x 0, x 1, y 0, y 1围成的闭区域．
解 积分区域 D 如图中阴影部分所示，于是
8-1 二重积分的概念与性质
如何计算曲顶柱体的体积呢？
如果曲顶柱体的上表面是平行于 xoy 坐标平 面的平面，即二元函数 z f (x, y) h（ h 为常数）， 则曲顶柱体实际上就是一个平顶柱体了，如果区 域 D 的面积为 A ，则此平顶柱体的体积为 V Ah ．
8-1 二重积分的概念与性质
c
b a
f
(x, y)dxdy
或
d
dy
b f (x, y)dx ．
c
a
8-2 二重积分的计算
2.积分区域 D 可以用不等式表示为： 1(x) y 2 (x), a x b
即区域 D 是由曲线 y 1(x) ，y 2 (x) 及直线 x a ，x b
所围成的闭区域（如图）．
用类似于 1 中的方法可以证明，
例 3 计算二重积分 2xydxdy ，其中区域 D 是由抛物线
D
y x2 1和直线 y 2x ， x 0 所围成的闭区域．
解 积分区域 D 如图中阴影部分所示，
由
y x2 1
y
2x
解得交点 A(1, 2), 于是
2xydxdy
1
dx
x2 1
2xydy
1 x(x4 2x2 1)dx= 1 x(x2 1)dx
8-2 二重积分的计算
在区间a,b 上任取一点 x0 ，作垂直于 x 轴的平面，
这个平面与曲顶柱体相交所得的截面是一个以区间 c, d
为底，以 z f (x0, y) 为曲边的曲边梯形，其面积为
A(x0 )
d c
f
(x0 ,
y)dy
．．
8-2 二重积分的计算
一般地，过区间a,b 上任意一点 x 作垂直于 x
y x 4 和抛物线 y2 2x 围成的闭区域．
解 积分区域 D 如图中阴影部分所示，由方程组
y x4
y
2
2x
解得交点 A(8, 4), B(2, 2) ，于是
4
y4
xydxdy 2 dyy2 xydx
D
2
1 4 (y3 +8y2 +16ydy y5 )dy 90
2 2
4
8-2 二重积分的计算
xexydxdy
1
dx
1 xexydy
0
0
D
1
dx
0
1 e xy d(xy)
0
1 (ex
0
1)dx
(ex
x)
1 0
e 2．
注意，此题如选用以下积分次序积分
xexydxdy
1
dy
1 xexydx ，
00
会比上面的方法繁琐．
D
8-2 二重积分的计算
例 2 计算二重积分 xydxdy ，其中区域 D 是由直线 D
但一般来说，曲顶柱体的上表面是一张不规则的 曲面，即二元函数 z f (x, y) 在区域 D 上是变化的， 因此就不能用上述平顶柱体体积的计算方法来计算 曲顶柱体的体积了
我们可以采用和计算曲边梯形面积类似的方法 来计算曲顶柱体的体积，即采用分割、近似求和、取 极限的方法，也就是我们常说的“以直代曲”的思想 方法，使“曲顶”问题转化为“平顶”问题来解决
二重积分的几何意义
f (x, y) 0时， f (x, y)d表曲顶柱体体积
D
f (x, y) 0时， f (x, y)d表曲顶柱体体积负值
D
f (x, y)符号不定时， f (x, y)d表曲顶柱体体积代数和
D
8-1 二重积分的概念与性质
三、二重积分的性质
性质 1 如果在区域 D 上 f (x, y) 1，且区域 D 的面
由
xy 2
y
2x
和2xyy
2 x
解得 A(1, 2)和B(2,1) ，于是
1
2x
n
V
lim 0
i 1
f (i ,i ) i ．
8-1 二重积分的概念与性质
z
z f (x, y)
y
D
o
x
f (i ,i )
i
D
8-1 二重积分的概念与性质
二、二重积分及其基本概念 定义 7.1 设 z f (x, y) 为定义在有界闭区域 D 上的 有界函数,将区域 D 任意分成 n 个小区域 i (i 1,2, ,n) ，它们的面积也用 i 表示，在每个小区 域上任取一点 (i ,i ) ,作乘积 f (i ,i )i (i 1, 2, , n) ,
n
并求和 f (i ,i )i ,令各个小区域的最大直径为 ， i 1
8-1 二重积分的概念与性质
如果 0 时，上述和式的极限存在，则称此极限值为
函数 f (x, y) 在区域 D 上的二重积分，记作
即
f (x, y)d
D
n
D
f (x, y)d = lim 0 i1
f (i ,i ) i ．
说明：
V f (x, y)d ．
D
(1) 如果函数 z f (x, y) 在区域 D 上的二重积分存在， 则称该函数在区域 D 上可积．可以证明，当函数 f (x, y) 是 有界闭区域上的连续函数时， f (x, y) 一定可积．
8-1 二重积分的概念与性质
(2) f (x, y) 在有界闭区域 D 上可积时,二重积分与区 域 D 的分割是无关的,故通常用平行于 x 轴和 y 轴的直线 把区域 D 分成若干小矩形（除包含边界点的小闭区域外）, 如图,记小矩形 i 的边长分别为 xi 和 yi ,则 i xi yi ,因 此 d dxdy ，二重积分也可记作
第8章 多元函数积分学
8-1 二重积分的概念与性质
一、曲顶柱体与曲顶柱体体积的计算方法
设有一个立体（如图），它的下 表面是 xoy 坐标平面上的有界闭区 域 D ，侧面是以 D 的边界为准线， 母线平行与 z 轴的柱面，上表面是定 义在区域 D 上的曲面 z f (x, y)（不 妨设 f (x, y) 0 ），由于这个柱体的 上表面是曲面，故称它为曲顶柱体．