强化训练鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似同步训练试题(含详细解析)

八年级数学下册第九章图形的相似同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列说法正确的是（）
A．有两边成比例且有一个角相等的两个三角形相似
B．各有一个角是50°的两个等腰三角形相似
C．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
2、如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（）cm．
A．15
4
B．5 C．
15
2
D．8
3、如图，已知直线a b c
∥∥，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若8
AC=，12
CE=，6
BD=，则DF的值是（）
A．15 B．10 C．14 D．9 4、下列各组线段中是成比例线段的是（）
A．2cm,4cm,6cm,6cm B．2cm,4cm,4cm,8cm C．4cm,8cm,12cm,16cm D．3cm,6cm,9cm,12cm
5、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若
2
3
=
AB
BC
，DE＝
4，则DF的长是（）
A．8
3
B．
20
3
C．6 D．10
6、如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH~矩形HDFP~矩形PEBG，AE AH
>，AC交HG，EF于点M，Q，若要求APQ的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（）
A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPH
C．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形HDFP和矩形PGCF
7、如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA
则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为（）
A B．2：3 C．2：5 D．4：9
8、已知梯形ABCD的对角线交于O，AD∥BC，有以下四个结论：
①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③S△COD：S△AOD＝BC：AD；④S△COD＝S△AOB；正确结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9、如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）
A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF
C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC
10、若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（）
A． 4 B．9－C．3或9－D．4或12－
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ACD ＝∠B ,AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为__________．
2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，如果AE EC ＝34，那么AE AB ＝________________．
3、如图，E ，F 是ABCD 对角线AC 上两点，14
AE CF AC ==
，连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGH S S △△的值为______．
4、在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AOD △、BOC 的面积分别是1cm 2、4cm 2，那么梯形ABCD 的面积等于________cm 2．
5、如图，边长为5cm 的正方形ABCD ，E ，F 分别从A ，B 两点同时出发，以1cm/s 速度沿射线AB ，射线BC 运动，连结AF ，DE 交于点P ，G 为AD 中点，连结PG ，PB ，若PDG △与ABP △相似，则运动时间t 的值为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，延长BC到点F，使CF=AE．
(1)求证：DE=DF；
(2)在（1）的条件下，把△ADE绕点D逆时针旋转多少度后与△CDF重合；
(3)现把DCF向左平移，使DC与AB重合，得ABH，AH交ED于点G．若8
AD=，求EG的长．
2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AC交AB于点E，求证：BD BE DC ED
=．
3、如图，直角△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，证明：AB2＝BD•BC，AC2＝CD•BC，AD2＝BD•CD．
4、如图1，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现
①当0α=︒时，
AE BD =________；②当180α=︒时，AE BD
=______． (2)拓展探究
试判断：当0360α︒≤<︒时，
AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长________．
5、如图，AB ＝4，CD ＝6，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ．
(1)若AE ＝3，求ED 的长．
(2)求EF 的长．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法进行判断即可得．
【详解】
解：A、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，选项说法错误，不符合题意；
B、各有一个角是50°的两个等腰三角形不一定相似，选项说法错误，不符合题意；
C、有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；
D、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形不一定相似，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
2、C
【解析】
【分析】
EF是BD的垂直平分线，则OB=OD，进而可以判定△BOF≌△DOE，得OE=OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的长，根据FO即可求EF的长．
【详解】
解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
∵∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE，
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴FO AD BO AB
=，
∵BD，∴BO=5，
∴FO=5×6
8
=
15
4
，
∴EF=2FO=15
2
（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BD的长是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】
解：∵a b c
∥∥，
∴AC BD
CE DF
=，
∵8AC =，12CE =，6BD =， ∴8612DF
= ，解得：9DF = ． 故选：D
【点睛】
本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
根据成比例线段的定义和性质，即可求解．
【详解】
解：A 、因为2646⨯≠⨯ ，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
B 、因为2844⨯=⨯，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意；
C 、因为416812⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
D 、因为31269⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段a b c d ,,, ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．
5、D
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF ，结合图形计算即可．
【详解】
解：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴DE EF ＝AB BC ＝23，又DE ＝4， ∴EF ＝6，
∴DF ＝DE +EF ＝10，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6、B
【解析】
【分析】
设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，根据相似多边形的性质与相似三角形的性质与判定，分别求得矩
形AEPH 的面积为：ab ，矩形HDFP 的面积为：3
a b ，矩形PEBG 的面积为：3b a
，以及APQ 的面积，HDFP AEPH S S -矩形矩形，进而比较可
【详解】
解：∵矩形ABCD 被分割成4个小矩形，
设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，
矩形AEPH ~矩形HDFP
AE HD EP HP
∴= 2
AE HP a PF HD EP b
⋅∴=== 222
a a
b AD BC EP PF b b b +∴==+=+=
矩形AEPH ~矩形PEBG ，
AE EP EP EB
∴= 22
EP b EB AE a
∴== 2
b FC EB a
∴== ∴矩形AEPH 的面积为：ab
矩形HDFP 的面积为：3
a b
矩形PEBG 的面积为：3
b a
∴HDFP AEPH S S -=矩形矩形3a b -ab 32a ab b
-= EQ BC ∥
AEQ ABC ∴∽
2222EQ AE a a b BC AB a b a a
∴===++ 222222
2222a a a b a a EQ b a b b a b b b
⎛⎫+∴=⨯+=⨯= ⎪++⎝⎭ 11=22
APQ AEQ AEP S S S AE EQ AE EP ∴-=⋅-⋅△△ ()1=2
AE EQ EP ⋅- 22232
111=222a a b a ab a b a b b b ⎛⎫--=⨯-=⨯⨯ ⎪⎝⎭ ()1=2HDFP AEPH
S S -矩形矩形
故选B
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，进行的性质，题中相等量两较多，关系复杂，设参数是解题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质，即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA
∴::AD A D OA OA '''== ，
∴四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′的面积比为
22:2:3= ．
故选：B
【点睛】 本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
8、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式对各选项进行一一判断即可．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∵∠BAO 不一定等于∠CDO ，
∴△AOB 与△COD 不一定相似，①错误；
△AOD ∽△BOC ，②正确；
∴S △DOC ：S △AOD ＝CO ：AO ＝BC ：AD ，③正确；
S △COD ＝S △AOB ，④正确，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质和判定、梯形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据条件证明出ABD ACE ∽，根据性质得：
AE AC AD AB =，变形即可得到．
【详解】
解：BEC CDB ∠=∠， AEC ADB ∴∠=∠，
A A ∠=∠，
ABD ACE ∴△∽△，
AE AC AD AB
∴=， AE AB AD AC ∴=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出ABD ACE ∽．
10、D
【解析】
【分析】
叫做黄金数，当AC BC >时，AC AB =AC BC <时
BC AB =，即AB AC AB - 【详解】
解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，
当AC BC >时，AC AB = ，
84AC ==；
当AC BC <时，BC AB =，
即AB AC AB -
8]8AC -
84)12AC =-=-
综上，AC 的长为4或12-
故选D ．
【点睛】
本题考查了黄金分割，解题的关键是要不重不漏，分情况讨论AC和BC之间的长度关系．
二、填空题
1、4
【解析】
【分析】
证明△ADC∽△ACB，可得AC
AB
＝
AD
AC
，即AC2＝AD•AB，由此即可解决问题；
【详解】
解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝8，
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，
∴AC
AB
＝
AD
AC
，
∴AC2＝AD•AB＝2×8＝16，
∵AC＞0，
∴AC＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练证明相似三角形，利用比例式解决问题．
2、4 7
【解析】【分析】
由DE ∥AB 可得
DE CE AB AC
=，进而结合题干中的条件得到AE ＝DE ，即可求解． 【详解】 解：∵DE ∥AB ，
∴~CDE CBA ， ∴DE CE AB AC
=， 又∵AE EC ＝34， ∴DE CE AB AC =＝47
， 又∵AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，
∴∠ADE ＝∠BAD ＝∠DAE ，
∴AE ＝DE ， ∴AE DE CE AB AB AC ==＝47
， 故答案为：47
． 【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
3、34
##0.75 【解析】
【分析】
首先证明AG ：AB =CH ：BC =1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得
2239()()24ADC
BAC
BGH BGH S
S BA S S BG ====，13
ADG
ADC S S =，由此即可解决问题．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD =BC ，DC =AB ，
∵AC =CA ，
∴△ADC ≌△CBA （SAS ），
∴S △ADC =S △ABC ，
∵AE =CF =14
AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ， ∴AG ：DC =AE ：CE =1：3，CH ：AD =CF ：AF =1：3，
∴AG ：AB =CH ：BC =1：3，
∴BG ：BA =BH ：BC ，
∵∠B =∠B ，
∴△BGH ∽△BAC ， ∴2239()()24ADC BAC BGH BGH S
S BA S
S BG ====， ∵13
ADG
ADC S
S =， ∴913444
ADG
BGH S
S =⨯=， 故答案为：34
． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4、9
【解析】
由于AD ∥BC ，可得△OAD ∽△COB ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出BO 与OD 的关系，AO 与OC 的关系，从而求出△ABO 和△CDO 的面积，进而求出梯形的面积．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴△OAD ∽△COB ， ∴214AOD COB S OA S OC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴AO ：CO =DO ：BO =1：2， ∴=2ABO
ADO S BO S DO
=， ∴2=2cm ABO S ，
同理求出2=2cm CDO S
2=9cm ABO AOD BOC CDO ABCD S S S S S +++=梯形，
故答案为：9
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质，以及三角形面积的求解，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5、5或10
【解析】
分两种情况：①E 点在AB 上；②E 点在AB 延长线上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t 即可．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，E 点在AB 上时，
,,90AD BA AE BF DAE ABF ==∠=∠=︒， ()ADE BAF SAS ∴≌，
DE AF ∴=，ADE BAF ∠=∠， 90ADE DEA ∠+∠=︒，
90BAF DEA ∴∠+∠=︒，
90APD ∴∠=︒，AF DE ⊥．
DE ==
525AD AE t AP DE ==
DP
PDG BAP ∆∆∽，
PDG BAP ∴∠=∠，PGD ∠与BPA ∠是钝角，
∴DG AP A PD B =
，
解得5t =；
②如图2，E 点在AB 延长线上时， ,,90AD BA AE BF DAE ABF ==∠=∠=︒， ()ADE BAF SAS ∴≌，
DE AF ∴=，ADE BAF ∠=∠， 90ADE DEA ∠+∠=︒，
90BAF DEA ∴∠+∠=︒，
90APD ∴∠=︒，AF DE ⊥．
DE 25(55AD
AE AP DE ==
DP
PDG
△与ABP
△，分论讨论，
当PDG BAP
∆∆
∽，
∴DG
AP A
PD
B
=
，即52
5(5)t+
÷
=
解得0
=
t，即用时5秒，不合题意舍去；
当PDG PAB
∆∆
∽，
∴DG
AB A
PD
P
=
，即52
5
÷
解得5
t=，即用时10秒，符合题意；
综上：若PDG
△与ABP
△相似，则运动时间t的值为5或10，
故答案为：5或10．
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)90°
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可用SAS直接证明△ADE≌△CDF，即可证明DE=DF；
（2）由（1）结论证明∠EDF =90°即可；
（3）由中点性质及平移性质可得BH =CF =AE =4，由勾股定理可得AH ，再证明△AEG ∽△AHB ，利用相似三角形的性质即可得到答案．
(1)
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =CD =AD =BC ，∠BAD =∠BCD =∠ABC =∠ADC =90°，
∴∠DCF =90°，
在△ADE 和△CDF 中，
DA DC DAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△CDF （SAS ），
∴DE =DF ；
(2)
解：由（1）可△ADE ≌△CDF ，
∴∠ADE =∠CDF ，
∴∠ADE +∠EDC =∠CDF +∠EDC =90°，
∴∠EDF =90°，
即△ADE 绕点D 逆时针旋转 90度后与△CDF 重合；
(3)
解：∵点E 是AB 的中点，
∴AE =BE =CF =12AB =12
AD =4． 又由平移性质可得CF =BH ，
∴AE =BE =CF =BH =4，
由平移可得DF ∥AH ，
由勾股定理得AH
∴∠AGE =∠EDF =90°，
∴∠AGE =∠B =90°，
又∠EAG =∠HAB ，
∴△AEG ∽△AHB ，
∴
EG AE BH AH ==，
∴EG 【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，证明△ADE ≌△CDF 是解题的关键．
2、见解析
【解析】
【分析】
由平行线的性质和角平分线的性质可得AE DE =，通过证明BDE BCA ∆∆∽，可得
BD BE DC AE
=，可得结论． 【详解】
证明：AD 平分BAC ∠， BAD CAD ∴∠=∠，
//DE AC ，
DAC ADE ∴∠=∠，
即BAD ADE ∠=∠，
AE ED ∴=，
//DE AC ，
BDE BCA ∴∆∆∽， ∴BD BE DC AE
=， ∴
BD BE DC ED =． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形相似是解题的关键．
3、见解析
【解析】
【分析】
证明ABD CBA ∆∆∽，由相似三角形的性质可知
AB BD BC AB =，故此可得到：2AB BD BC =；证明ADC BAC ∆∆∽，由相似三角形的性质可知AC DC BC AC
=故此2AC CD BC =；证明ABD CAD ∆∆∽，由相似三角形的性质可知
AD DC BD AD
=，故此可知：2AD BD CD =． 【详解】 证明：在ABD ∆和CBA ∆中，
B B ∠=∠，90BA
C ADB ∠==︒∠，
ABD CBA ∴∆∆∽． ∴AB BD BC AB
=． 2·AB BD BC ∴=．
在ADC ∆和BAC ∆中，
C C ∠=∠，90BAC ADC ∠=∠=︒，
ADC BAC ∴∆∆∽． ∴AC DC BC AC
=． 2AC CD BC ∴=．
．ADC BAC ∆∆∽，ABD CBA ∆∆∽，
ABD CAD ∴∆∆∽． ∴AD DC BD AD
=． 2·AD BD CD ∴=．
【点评】
本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
4、(2)当0°≤α＜360°时，
AE BD 的大小没有变化，证明见解析
(3)BD 【解析】
【分析】
（1）①当α＝0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出的AE BD
值是多少．②α＝180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC AE ＝BC DB ，求出AE BD
的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA ＝∠DCB ，再根据
EC DC ＝AC BC ECA ∽△DCB ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E 在线段AB 上时，分别求解即可．
(1)
解：①当α＝0°时，
∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，
∴AC ＝
∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，
∴AE ＝12AC BD ＝1
2BC ＝1，
∴AE BD ②如图1中，
当α＝180°时，
可得AB ∥DE ， ∵AC AE ＝BC BD
，
∴
AE BD ＝AC BC
(2)
解：如图2，
当0°≤α＜360°时，
AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD ＝∠ACB ，
∴∠ECA ＝∠DCB ，
又∵EC DC ＝AC BC ∴△ECA ∽△DCB ，
∴AE BD ＝EC DC 0°≤α＜360°时，AE BD
的大小没有变化． (3)
解：①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，
在Rt △BCE 中，CE BC ＝2，
∴BE ＝1，
∴AE ＝AB +BE ＝5，
∵AE BD
∴BD
②如图3﹣2中，当点E 在线段AB 上时，
BE
1，AE ＝AB -BE =4﹣1＝3，
∵AE BD
∴BD ，
综上所述，满足条件的BD 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
5、 (1)92
(2)125
【解析】
【分析】
（1）证明AEB DEC ∆∆∽，得到AE AB DE CD
=，把已知数据代入计算即可；
（2）根据BEF BCD ∆∆∽，得到EF BF CD BD =，同理得到EF DF AB BD =，两个比例式相加再代入计算，得到答案．
【小题1】
解：//AB CD ， AEB DEC ∴∆∆∽， ∴
AE AB DE CD =， 4AB =，6CD =，3AE =， ∴346
DE =， 解得：92DE =
； 【小题2】 //CD EF ， BEF BCD ∴∆∆∽， ∴EF BF CD BD
=， 同理：EF DF AB BD =， ∴1EF EF BF DF CD AB BD BD +=+=， ∴
164EF EF +=， 解得：125
EF =
． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。