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用字母表示数及整式（基础）知识讲解
责编:某老师
【学习目标】
1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；
2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．
【要点梳理】
要点一、字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba ．
要点二、代数式
1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，2
n ，2)(b a +等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 要点诠释：
带等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式．
2.列代数式：
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．
要点三、整式
1.单项式
（1）单项式的定义：如22xy -，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m
就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：
①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254
x y ． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
2．多项式
(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：
①多项式的每一项包括它前面的符号．
②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627x x --是一个三项式．
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 要点诠释：
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
如:多项式2x 3y 2-xy 3+2
1
x 2y 4-5x 4-6是六次五项式,按x 的降幂排列为 -5x 4+2x 3y 2+2
1x 2y 4-xy 3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列为-6-5x 4+2x 3y 2-xy 3+2
1x 2y 4． 要点诠释：
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
3.整式：单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
【典型例题】
类型一、字母表示数
1．填空：
（1）如果a 表示一个有理数，那么它的相反数是 ；
（2）一个正方形的边长是 a cm ，把这个正方形的边长增加1cm 后所得到的正方形的周长是 ；
（3）某城市5年前人均收入为n 元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．
【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；
（2）正方形的周长等于边长的4倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言．
【答案】（1）-a ； （2）（4a+4)cm （或4（a+1）cm ）； （3）(2n+500).
【解析】
解：（1）如果a 表示一个有理数，那么它的相反数是﹣a ；
（2）这个正方形的边长增加1cm 后所得到的正方形的边长为(a+1) cm ，所以周长为4（a+1）cm ，也即（4a+4)cm ；
（3）某城市5年前人均收入为n 元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达(2n+500)元．
【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
类型二、代数式
2．（2016春•定州市校级月考）下列式子中，不属于代数式的是（ ）
A ．a+3
B ．mn 2
C ．
D ．x ＞y
【思路点拨】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”、“＞（≥）”、“=”、“≠”等符号的不是代数式，分别进行各选项的判断即可．
【答案】D ．
【解析】
解：A 、是代数式，故本选项错误；
B 、是代数式，故本选项错误；
C 、是代数式，故本选项错误；
D 、不是代数式，故本选项正确；
故选D ．
【总结升华】本题考查了代数式的知识，注意将代数式与等式及不等式区分开来．
举一反三：
【变式1】
（1）x 的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 .
（2） 操作电脑时，甲4小时打x 个字，乙3小时打y 个字，甲乙两人每小时共打 个字．
【答案】（1）235x - （2）（43
x y +） 【变式2】
（2015•吉林）购买1个单价为a 元的面包和3瓶单价为b 元的饮料，所需钱数为（ ）
A ．（a+b ）元
B ． 3（a+b ）元
C ． （3a+b ）元
D ．（a+3b ）元
【答案】D ．
类型三、整式
3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
234a b -，a -，442x ，a mn ，223a y π，a -3，5-3
，82-310tm ⨯，2x y 【答案与解析】 解：234a b -，a -，442x ，223a y π，5-3
，82-310tm ⨯，2x y 是单项式，其中
234a b -的系数是34
-，次数是3； a -的系数是-1，次数是1；
442x 的系数是42，次数是4；
223a y π的系数是3π，次数是4；
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-为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0； 82-310tm ⨯的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；
2x y 只含有字母因数，系数是l ，次数为字母指数之和为3．
【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如44
2x 中，42的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）π是常数，不能看作字母．
举一反三：
【变式1】单项式3x 2y 3
的系数是 ．
【答案】3．
【变式2】（泰州）下列结论正确的是( )．
A ．没有加减运算的代数式叫做单项式．
B ．单项式2
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xy 的系数是3，次数是2． C ．单项式m 既没有系数，也没有次数．
D ．单项式2
xy z -的系数是-1，次数是4．
【答案】D
4. （2015秋•三亚期末）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？
（1）7x 2﹣3x 3y ﹣y 3+6x ﹣3y 2+1
（2）10x+y 3﹣0.5．
【答案与解析】
解：（1）7x 2﹣3x 3y ﹣y 3+6x ﹣3y 2+1
是四次六项式，最高次项是﹣3x 3y ，
最高次项的系数是﹣3，
常数项是1；
（2）10x+y 3﹣0.5，
是三次三项式，最高次项是y 3，
最高次项的系数是1，
常数项是﹣0.5．
【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．
举一反三：
【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？
325x -, 43a b -+,2x y ，abc ， 12-， 232a b -，a+1， 23a b -， 2321x x -+， 3x
． 【答案】 解：多项式有：43a b -+，232a b -，a+1，23
a b -，2321x x -+．其中， 43a b -+是一次二项式；232a b -是二次二项式；a+1是一次二项式；23
a b -是一次二项式；2321x x -+是二次三项式．。