2021高考一轮复习：9.1椭圆达标训练(配套)

9.1 椭圆
一、选择题
1．已知圆(x ＋3)2＋y 2＝64的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为(3，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是 ( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
2．(2020·河南洛阳一模)已知椭圆x 211－m ＋y 2
m －3＝1的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m
等于( )
A ．5
B ．6
C ．9
D ．10
3．已知方程x 2k ＋1＋y 2
3－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B ．(1，3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，3)
4. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，
则椭圆C 的标准方程为( )
A.4x 225＋y 2
6＝1 B.x 24＋y 2
2＝1
C.x 22
＋y 2
＝1
D.x 24＋y 2
3
＝1
5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的上顶点、左顶点、左焦点分别为B ，A ，F ，中心为
O ，其离心率为1
2
，则S △ABF : S △BFO ＝( )
A ．1:1
B ．1:2
C ．(2－3):2
D.3:2
6．“方程x 22－n ＋y 2
n ＋1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”是“－1<n <2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．(2020届福建南安侨光中学高三月考)在平面内，曲线C 上存在点P ，使点P 到点A (3，0)，B (－3，0)的距离之和为10，则称曲线C 为“有用曲线”．以下方程对应的曲线不是“有用曲线”的是( )
A ．x ＋y ＝5
B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 2
9
＝1
D ．x 2＝16y
8．(2020届广东广雅中学高三开学考试)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右
焦点，过F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且|QF 1|＝2|PF 1|，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为( )
A ．2－ 3 B.2－1 C.2－1
D ．2＋3
二、填空题
9．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点是F ，A ，B 分别是椭圆上顶点和右顶点，△
F AB 为直角三角形，则椭圆的离心率e 为________．
10．(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
9＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，
则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________．
11．已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的
三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．
12．已知P 为椭圆x 29＋y 2
8＝1上一个动点，直线l 过圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心与圆相交
于A ，B 两点，则P A →·PB →
的最大值为________，最小值为________．
13．(2019浙江卷，15)已知椭圆x 29＋y 2
5＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上
方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．
14．(2019全国卷Ⅲ，15)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 2
20＝1的两个焦点，M 为C 上一点
且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．
三、解答题
15．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e .
(1)若e ＝
3
2
，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标
原点O在以MN为直径的圆上，且
2
2＜e≤
3
2，求k的取值范围．
16．(2019江苏卷，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C
于点E，连接DF1.已知|DF1|＝5 2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求点E的坐标．
参考答案
1．B
解析：由题意得|P A |＝|PN |，∴|MP |＋|PN |＝|AM |＝r ＝8>|MN |＝6，则动点P 的轨迹是椭圆．故选B.
2. C
解析：由椭圆x 211－m ＋y 2
m －3＝1的长轴在y 轴上，焦距为4，可得m －3－11＋m ＝2，
解得m ＝9.故选C.
3．B
解析：因为方程x 2
k ＋1＋y
2
3－k
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k >0，k ＋1>0，k ＋1>3－k ，
解得
1<k <3.故选B.
4．D
解析：由椭圆C 的离心率为12，得c a ＝1
2.椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则2a ＋2c ＝
6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
5．A
解析：∵S △ABF ＝12(a －c )·b ，S △BFO ＝12cb ，∴S △ABF :S △BFO ＝1
2
(a －c )b :⎝⎛⎭⎫12cb ＝(a －c ):c ＝⎝⎛⎭⎫1e －1:1.又离心率e ＝12
，∴S △ABF :S △BFO ＝1:1. 故选A. 6．A
解析：∵方程x 22－n ＋y 2
n ＋1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2－n >0，n ＋1>0，2－n >n ＋1，解得－1<n <12
.
∵⎝
⎛⎭⎫－1，1
2 (－1，2)， ∴“方程x 22－n ＋y 2n ＋1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”是“－1<n <2”的充分不必要条
件．故选A.
7．B
解析：由点P 到点A (3，0)，B (－3，0)的距离之和为10，可得点P 的轨迹方程为x 2
25＋
y
2
16
＝1.对于A.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x 225＋y 216＝1，
化为41x 2－250x ＋225＝0，Δ＝2502－4×41×225＞0，因此曲线x ＋y ＝5上存在点P 满足条件，∴是“有用曲线”，正确；同理，曲线x 225＋y 29＝1与x 2
25＋
y 216＝1有交点(±5，0)，曲线x 2
＝16y 与x 225＋y 2
16＝1显然有交点，因此可判断C ，D 给出的方程对应的曲线是“有用曲线”，而B 给出的方程对应的曲线不是“有用曲线”，曲线x 2＋y 2＝9在x 225＋y 2
16
＝1内部，无交点． 8．D
解析：设|PF 1|＝t ，则|QF 1|＝2|PF 1|＝2t .由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －t ，|QF 2|＝2a －2t ，|PQ |＝4a －3t .由|PQ |2＋|PF 1|2＝|QF 1|2，即(4a －3t )2＋t 2＝4t 2，即有4a －3t ＝3t ，解得t ＝
4
3＋3
a ，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为 1
2|PF 1
|·|PF 2|12|QF 1|·|QF 2|·sin 30°＝12·4
3＋3a ·2＋233＋3a 12·83＋3a ·23－23＋3a ·12
＝1＋33－1＝2＋ 3.故选D.
9.5－1
2
解析：∵△F AB 为直角三角形，∴a 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，等号两边同除以a 2，得e 2＋e －1＝0，解得e ＝
5－1
2
. 10. 答案：4
5
18
解析：由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝4
5.
△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18. 11.
⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭
⎫152，－1 解析：设P (x ，y )．由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 2
4＝1，得x ＝
±
152.又x ＞0，所以x ＝152，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1. 12．15 3
解析：由(x －1)2
＋y 2
＝1可得圆心O 1(1，0)，由x 29＋y 2
8
＝1得椭圆右焦点的坐标为(1，
0)．∵P A →·PB →＝(PO 1→＋O 1A →)·(PO 1→＋O 1B →)＝(PO 1→＋O 1A →)·(PO 1→－O 1A →)＝PO 1→2－O 1A →2＝|PO 1→
|2－1.∵3－1≤|PO 1→|≤3＋1，∴3≤|PO 1→|2－1≤15，∴P A →·PB →
的最大值为15，最小值为3.
13. 15
解析：如图，设F 1为椭圆的右焦点．由题意可知|OF |＝|OM |＝c ＝2.由中位线定理可得|PF 1|＝2|OM |＝4.设
P (x ，y )，可得(x －2)2＋y 2＝16，与方程
x 29＋y 2
5
＝1联立，可解得x ＝－32，x ＝212(舍去)．又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得P ⎝⎛⎭
⎫
－32，152，所以k PF ＝15212＝15.
14．(3，15)
解析：由已知可得a 2＝36，b 2＝20，∴c 2＝a 2－b 2＝16，∴c ＝4，∴|MF 1|＝|F 1F 2|＝2c ＝8，∴|MF 2|＝4.设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则S △MF 1F 2＝1
2·|F 1F 2|·y 0＝4y 0，又
S △MF 1F 2＝12×4×82－22
＝415，∴4y 0＝415，解得y 0＝15，∴x 2036＋（15）220＝1，解
得x 0＝3(x 0＝－3舍去)，∴M 的坐标为(3，15)．
15. 解：(1)由题意得c ＝3，c a ＝3
2，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以
椭圆的方程为x 212＋y 2
3
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2＋y 2
b 2＝1，y ＝kx 得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2
b 2＋a 2k 2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，
所以AF 2⊥BF 2.
因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→
＝(x 2－3，y 2)，
所以F 2A ―→·F 2B ―→
＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k
2)x 1x 2＋9＝0.
即－a 2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)
＋9＝0，
将其整理为k 2
＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81
a 4
－18a 2
. 因为
22＜e ≤3
2
，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－24∪⎣⎡⎭⎫2
4，＋∞.
16．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c .
因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2＝2，c ＝1.
又因为|DF 1|＝5
2，AF 2⊥x 轴，所以|DF 2|＝|DF 1|2－|F 1F 2|2＝
⎝⎛⎭⎫522
－22＝32
，因此2a
＝|DF 1|＋|DF 2|＝4，从而a ＝2.由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.因此，椭圆
C 的标准方程为x 24＋y 23
＝
1.
(2)(方法一)由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1，a ＝2.因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为
1.将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16，解得y ＝±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，
4)．又F 1(－1，0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2.由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，
（x －1）2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0，解得x ＝1或x ＝－115.将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－12
5，因此B ⎝⎛⎭⎫－115，－125.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：y ＝3
4
(x －1)．
由⎩
⎨⎧y ＝3
4（x －1），x 24＋y
23
＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝13
7.又因为E 是线段BF 2与
椭圆的交点，所以x E ＝－1.
将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－3
2.
因此E ⎝
⎛⎭⎫－1，－3
2. (方法二)由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1.
如图，连接EF 1.
因为|BF 2|＝2a ，|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，所以|EF 1|＝|EB |， 从而∠BF 1E ＝∠B .
因为|F 2A |＝|F 2B |，所以∠A ＝∠B ， 所以∠A ＝∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴． 因为F 1(－1，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x 24＋y 23
＝1，得y ＝±32.
又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以y ＝－3
2.
因此E ⎝
⎛⎭⎫－1，－3
2.。