1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系(教学课件)高二上学期数学北师大版
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x2 x1
29
4、 斜率的求法
思考4：当α=90°时，斜率
当α为零角时
的这种求法还成立吗？
y
P1 ( x1 , y1 )
x1 o
P2 ( x2 , y2 )
x2
x
y2 y1
0
k=
=
=0
x2 x1 x2 x1
成立
30
4、 斜率的求法
斜率的求法：已知直线上两点：P1（x1，y1），P2（x2，
( x2 x1 , y2 y1 )
x2 x1
x2 x1
x2 x1
y
总结：
直线的一个方向向量的坐标为(1, ).
l
.
2(2, 2)
. ( , )
1 1 1
36
x
1、已知直线的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标.
（1,2）
2、已知直线l的一个方向向量v＝(2，4)，则直线l的斜率为
D．k1＜k3＜k2
【解析】由图可知1 < 0，2 > 3 > 0，故选 D.
D
)
环节五
斜率的求法
升高量
坡度（比）=
= tan
前进量
4、 斜率的求法
思考1：已知直线上两点：P1（x1，y1），P2（x2，y2），
(x1≠x2），如何求斜率k？
当α为锐角时
y
y21
P21( x21 , y12)
.
l
2(2, 2)
. ( , )
1 1 1
35
x
5、 直线的方向向量
思考2：那么你可以用斜率，快速写出直线的方向向量？
P1P2 = ( x2 x1 , y2 y1 )
=
2−1
2−1
= (其中1 ≠ 2 )
1
y2 y1
1
P1P2 =
=
(
1
,
) =（1, k）
k BC =
22 4
1
=
=
0 (8)
8
2
kCA =
2 (2) 4
= =1
40
4
∴直线AB的倾斜角为零度角。
∴直线BC的倾斜角为钝角。
∴直线CA的倾斜角为锐角
B
. . . .o
.
.
A
. . .
x
.
C
环节三
直线的方向
向量
5、 直线的方向向量
思考1：直线的方向向量与倾斜角、斜率之间有什么关系？
升高量
坡度（比）=
前进量
思考6：坡比跟倾斜角有什
么关系呢
升高量
坡度（比）=
= tan
前进量
2、 直线的斜率
斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜
率（slope）。
斜率通常用小写字母k表示，即
k = tan
思考7：你还记得正切函数吗？α的定义域是什么？
90
2、 直线的斜率
1、 直线的倾斜角
x
x
倾斜角：当直线 l
与 轴相交时，我们取
轴作为基准，
轴正向
x
与直线 向上方向之间所成的角
叫做直线
l
的倾斜角
l
思考1：α的对顶角是倾斜角吗？
y
l
思考2：倾斜角由哪些元素确定呢？
0
x
下列图中，表示直线的倾斜角的是( C )
12
1、 直线的倾斜角
思考3：倾斜角范围是什么呢？
在直线 上任取两个不同的点1(1, 1), 2(2, 2),1 ≠ 2，则1 2
是直线 的 方向向量.
P1P2 = ( x2 x1 , y2 y1 ) =
2−1
2−1
= (其中
y 1 ≠ 2 )
总结：
若直线 的一个方向向量的坐标为(, )则 k=
是以满足＝ + 的每一对， 的值为坐标的点构成的.同时
函数解析式＝ + 可以看作二元一次方程.
在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应
关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题.
一、直线的倾斜角与斜率
环节一
问题引入
【问题引入】
思考1：在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如
21
135°
150°
−1
3
−
3
环节四
斜率的变化
3、 斜率的变化
思考1：当倾斜角从0°-180°时，直线的斜率有什么变
化吗？
思考2：你认为要分几种情况进
行讨论？
α=0 α∈（0,90）
k=0
k＞0
α=90
α∈（90,180）
不存在
k＜0
3、 斜率的变化
思考3：当倾斜角从0°-180°时，倾斜角越大，直线的
B、任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C 、任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
20
α
k
0
30°
0
3
3
45°
1
60°
3
90°
120°
不存在 − 3
思考交流
其倾斜角相等，斜率就相等吗？
反之，其斜率相等，倾斜角就相等吗？
y
0
x
= 0°
零角
y
y
y
0
x
(0,90)
0
x
= 90°
直角
锐角
Fra Baidu bibliotek
倾斜角的范围是: 0 180
0
x
(90°,180°)
钝角
环节三
倾斜角与斜率
2、 直线的斜率
思考1：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系呢？
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，
倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，
1.2
直线的倾斜角、斜率及其关系
➢根据一次函数解析式和图像上点的坐标的关系，理解直线与方程
的关系，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次。
➢联系生活实际，理解直线的倾斜角和斜率的关系，能够由直线的
方向向量推导过不同两点的直线的斜率公式，达到数学抽象和逻
辑推理核心素养学业质量水平一的层次。
一、一次函数的图象与直线的方程
综上，斜率的取值范围是 ≤ −1或 ≥ 1 .
解：（3）由− 3 ≤ ≤ −
3
，可得
3
− 3 ≤ tan ≤ −
3
，
3
又0 ≤ < π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角的取值范围是
2π
3
≤≤
5π
6
解：（4）由−1 ≤ ≤ 3，可得−1 ≤ tan ≤ 3，
又 0 ≤ < π，所以由 正 切 函 数 的 性 质 ，
当α为钝角时
k = tan = tan(180 ) = tan
y
y2
y1
o
在RtP2QP1中
P2 ( x2 , y2 )
Q( x2 , y1 )
x2
x1
P1 ( x1 , y1 )
x
tan =
P2Q
P1Q
y2 y1
y2 y1
k = tan =
=
x1 x2
y 2）
y2 y1
k=
( x1 x2 )
x2 x1
P2
P1
31
例1. 求过A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的
倾斜角和斜率
解：设该直线的斜率为k , 倾斜角为
30
则由斜率公式得k = tan =
= 1
5 ( 2)
0。 180。
= 135。
P
y12
o
Q
Q((xx12,,yy21)
PP21( x21 , y12))
x12
x21
x
= P2 P1Q
k = tan = tan P2 P1Q
QP2 y2 y1
k=
=
P1Q x2 x1
思考3：如果P1P2交换位置，公式
还成立吗？ 成立！
28
4、 斜率的求法
= 180 ,
________.
2
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为. ≠ 90°时，＝ .
（1）若0 ≤ ≤
π
，求斜率的取值范围；
3
π
（2）若
4
3π
，求斜率的取值范围；
4
≤≤
（3）若− 3 ≤ ≤ −
3
，求倾斜角的取值范围；
3
（4）若−1 ≤ ≤ 3，求倾斜角的取值范围.
π
3
0≤≤ 或
3π
4
≤<π .
得倾斜角的取值范围是
.
3，
例4. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，直线l2⊥l1，求l1，
y
l2 的斜率.
l2
3
解： l1的斜率k1 = tan 1 = tan 30 =
3
。
1
O
l 2的倾斜角 2 = 90 30 = 120
。
。
。
l 2的斜率k 2 = tan 120 = tan( 180 60 )
π
3
3
解：（1）由0 ≤ ≤ 及正切函数的性质，可得tan0 ≤ tan ≤ tan ， 即0 ≤ tan ≤
所以斜率的取值范围是 0 ≤ ≤
π
4
3.
π
2
解：（2）由正切函数的性质，可得当 ≤ < 时， = tan ≥ 1，
π
2
当 <≤
3π
时，
4
π
2
= tan ≤ −1；当 = 时，斜率不存在.
。
= tan 60。= 3
。
。
l1
2
x
例6 根据下列条件，求直线的倾斜角：
（1）斜率为− 3；
（2）经过（ − 2，0），（ − 5，3）两点；
（3）一个方向向量为1 2 ＝
2 3
2,
3
.
解: 设直线的倾斜角为.
（1）＝
2π
.
3
（2）直线的斜率＝
3−0
−5− −2
＝ − 1，又因为0 ≤ < ，所以＝
思考8：当倾斜角为90°时，直线的斜率是多少呢？
k = tan = tan 90 不存在
即倾斜角为90 时，斜率k不存在
思考9：直线的斜率与倾斜角的关系是什么呢？
斜率与倾斜角的关系：k = tan 90
请观察下列语句，哪些语句正确：B、E
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
l
y
l
l
倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。
O
x
2、 直线的斜率
思考2：确定直线的几何要素是什么？
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线
上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考4：现在你能确定直线的解析式了吗？
不能！倾斜角不知道是什么？
2、 直线的斜率
思考5：日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？
何表示呢？
思考2：直线位置的确定需要几个几何要素？y
l
两点确定一条直线。
O
x
【问题引入】
思考3：一个点能不能确定一条直线呢？
不能！
y
思考4：这些直线的区别在哪里呢？
l
倾斜程度不一样
思考5：那怎么描述倾斜程度呢？
O
P
x
【问题引入】
思考6：我们以前是怎么定义任意角的呢？
y
l
O
P
x
环节二
倾斜角的概念
零角
锐角
0 a 90 k = tan a 0
a = 90 tan a (不存在) k不存在直角
90 a 180 k = tan a 0
钝角
y2 y1
k=
( x1 x2 )
4、斜率公式：
x2 x1
42
（3）由直线的一个方向向量为1 2 ＝
π
6
又因为0 ≤ < ，所以＝ .
2 3
2,
3
，可得斜率＝
2 3
3
2
3π
.
4
3
3
＝ ，
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180
(
a
90
)
2、直线的斜率定义： k = tan a
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a = 0 k = tan 0 = 0
思考1：一次函数的图像与直线的方程是什么关系？
在平面直角坐标系中，一次函数的图象是一条直线.
例如，函数＝2 + 1，图象是直线（如图所示）.
代数：方程y=2x+1中每一对x,y的取值
几何：图像上点的坐标
一、一次函数的图象与直线的方程
一般地，一次函数＝ + （ ≠ 0）的图象是一条直线，它
斜率就越大吗？
➢ 当α∈（0°,90°）时，倾斜角越大，
斜率越大
➢ 当α∈（90°,180°）时，倾斜角越
大，斜率越大
3、 斜率的变化
思考4：直线斜率的取值范围是什么？
（-∞,+∞）
5．如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则(
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
综上可知：直线的斜率
为 1，倾斜角135。
例2 如图，已知A(4,2)、B(－8,2)、C(0,－2)，求直线AB、
BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？
y
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
∵
∵
∵
k AB = 0
k BC 0
kCA 0
k AB
22
=
=0
8 4
29
4、 斜率的求法
思考4：当α=90°时，斜率
当α为零角时
的这种求法还成立吗？
y
P1 ( x1 , y1 )
x1 o
P2 ( x2 , y2 )
x2
x
y2 y1
0
k=
=
=0
x2 x1 x2 x1
成立
30
4、 斜率的求法
斜率的求法：已知直线上两点：P1（x1，y1），P2（x2，
( x2 x1 , y2 y1 )
x2 x1
x2 x1
x2 x1
y
总结：
直线的一个方向向量的坐标为(1, ).
l
.
2(2, 2)
. ( , )
1 1 1
36
x
1、已知直线的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标.
（1,2）
2、已知直线l的一个方向向量v＝(2，4)，则直线l的斜率为
D．k1＜k3＜k2
【解析】由图可知1 < 0，2 > 3 > 0，故选 D.
D
)
环节五
斜率的求法
升高量
坡度（比）=
= tan
前进量
4、 斜率的求法
思考1：已知直线上两点：P1（x1，y1），P2（x2，y2），
(x1≠x2），如何求斜率k？
当α为锐角时
y
y21
P21( x21 , y12)
.
l
2(2, 2)
. ( , )
1 1 1
35
x
5、 直线的方向向量
思考2：那么你可以用斜率，快速写出直线的方向向量？
P1P2 = ( x2 x1 , y2 y1 )
=
2−1
2−1
= (其中1 ≠ 2 )
1
y2 y1
1
P1P2 =
=
(
1
,
) =（1, k）
k BC =
22 4
1
=
=
0 (8)
8
2
kCA =
2 (2) 4
= =1
40
4
∴直线AB的倾斜角为零度角。
∴直线BC的倾斜角为钝角。
∴直线CA的倾斜角为锐角
B
. . . .o
.
.
A
. . .
x
.
C
环节三
直线的方向
向量
5、 直线的方向向量
思考1：直线的方向向量与倾斜角、斜率之间有什么关系？
升高量
坡度（比）=
前进量
思考6：坡比跟倾斜角有什
么关系呢
升高量
坡度（比）=
= tan
前进量
2、 直线的斜率
斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜
率（slope）。
斜率通常用小写字母k表示，即
k = tan
思考7：你还记得正切函数吗？α的定义域是什么？
90
2、 直线的斜率
1、 直线的倾斜角
x
x
倾斜角：当直线 l
与 轴相交时，我们取
轴作为基准，
轴正向
x
与直线 向上方向之间所成的角
叫做直线
l
的倾斜角
l
思考1：α的对顶角是倾斜角吗？
y
l
思考2：倾斜角由哪些元素确定呢？
0
x
下列图中，表示直线的倾斜角的是( C )
12
1、 直线的倾斜角
思考3：倾斜角范围是什么呢？
在直线 上任取两个不同的点1(1, 1), 2(2, 2),1 ≠ 2，则1 2
是直线 的 方向向量.
P1P2 = ( x2 x1 , y2 y1 ) =
2−1
2−1
= (其中
y 1 ≠ 2 )
总结：
若直线 的一个方向向量的坐标为(, )则 k=
是以满足＝ + 的每一对， 的值为坐标的点构成的.同时
函数解析式＝ + 可以看作二元一次方程.
在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应
关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题.
一、直线的倾斜角与斜率
环节一
问题引入
【问题引入】
思考1：在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如
21
135°
150°
−1
3
−
3
环节四
斜率的变化
3、 斜率的变化
思考1：当倾斜角从0°-180°时，直线的斜率有什么变
化吗？
思考2：你认为要分几种情况进
行讨论？
α=0 α∈（0,90）
k=0
k＞0
α=90
α∈（90,180）
不存在
k＜0
3、 斜率的变化
思考3：当倾斜角从0°-180°时，倾斜角越大，直线的
B、任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C 、任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
20
α
k
0
30°
0
3
3
45°
1
60°
3
90°
120°
不存在 − 3
思考交流
其倾斜角相等，斜率就相等吗？
反之，其斜率相等，倾斜角就相等吗？
y
0
x
= 0°
零角
y
y
y
0
x
(0,90)
0
x
= 90°
直角
锐角
Fra Baidu bibliotek
倾斜角的范围是: 0 180
0
x
(90°,180°)
钝角
环节三
倾斜角与斜率
2、 直线的斜率
思考1：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系呢？
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，
倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，
1.2
直线的倾斜角、斜率及其关系
➢根据一次函数解析式和图像上点的坐标的关系，理解直线与方程
的关系，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次。
➢联系生活实际，理解直线的倾斜角和斜率的关系，能够由直线的
方向向量推导过不同两点的直线的斜率公式，达到数学抽象和逻
辑推理核心素养学业质量水平一的层次。
一、一次函数的图象与直线的方程
综上，斜率的取值范围是 ≤ −1或 ≥ 1 .
解：（3）由− 3 ≤ ≤ −
3
，可得
3
− 3 ≤ tan ≤ −
3
，
3
又0 ≤ < π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角的取值范围是
2π
3
≤≤
5π
6
解：（4）由−1 ≤ ≤ 3，可得−1 ≤ tan ≤ 3，
又 0 ≤ < π，所以由 正 切 函 数 的 性 质 ，
当α为钝角时
k = tan = tan(180 ) = tan
y
y2
y1
o
在RtP2QP1中
P2 ( x2 , y2 )
Q( x2 , y1 )
x2
x1
P1 ( x1 , y1 )
x
tan =
P2Q
P1Q
y2 y1
y2 y1
k = tan =
=
x1 x2
y 2）
y2 y1
k=
( x1 x2 )
x2 x1
P2
P1
31
例1. 求过A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的
倾斜角和斜率
解：设该直线的斜率为k , 倾斜角为
30
则由斜率公式得k = tan =
= 1
5 ( 2)
0。 180。
= 135。
P
y12
o
Q
Q((xx12,,yy21)
PP21( x21 , y12))
x12
x21
x
= P2 P1Q
k = tan = tan P2 P1Q
QP2 y2 y1
k=
=
P1Q x2 x1
思考3：如果P1P2交换位置，公式
还成立吗？ 成立！
28
4、 斜率的求法
= 180 ,
________.
2
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为. ≠ 90°时，＝ .
（1）若0 ≤ ≤
π
，求斜率的取值范围；
3
π
（2）若
4
3π
，求斜率的取值范围；
4
≤≤
（3）若− 3 ≤ ≤ −
3
，求倾斜角的取值范围；
3
（4）若−1 ≤ ≤ 3，求倾斜角的取值范围.
π
3
0≤≤ 或
3π
4
≤<π .
得倾斜角的取值范围是
.
3，
例4. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，直线l2⊥l1，求l1，
y
l2 的斜率.
l2
3
解： l1的斜率k1 = tan 1 = tan 30 =
3
。
1
O
l 2的倾斜角 2 = 90 30 = 120
。
。
。
l 2的斜率k 2 = tan 120 = tan( 180 60 )
π
3
3
解：（1）由0 ≤ ≤ 及正切函数的性质，可得tan0 ≤ tan ≤ tan ， 即0 ≤ tan ≤
所以斜率的取值范围是 0 ≤ ≤
π
4
3.
π
2
解：（2）由正切函数的性质，可得当 ≤ < 时， = tan ≥ 1，
π
2
当 <≤
3π
时，
4
π
2
= tan ≤ −1；当 = 时，斜率不存在.
。
= tan 60。= 3
。
。
l1
2
x
例6 根据下列条件，求直线的倾斜角：
（1）斜率为− 3；
（2）经过（ − 2，0），（ − 5，3）两点；
（3）一个方向向量为1 2 ＝
2 3
2,
3
.
解: 设直线的倾斜角为.
（1）＝
2π
.
3
（2）直线的斜率＝
3−0
−5− −2
＝ − 1，又因为0 ≤ < ，所以＝
思考8：当倾斜角为90°时，直线的斜率是多少呢？
k = tan = tan 90 不存在
即倾斜角为90 时，斜率k不存在
思考9：直线的斜率与倾斜角的关系是什么呢？
斜率与倾斜角的关系：k = tan 90
请观察下列语句，哪些语句正确：B、E
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
l
y
l
l
倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。
O
x
2、 直线的斜率
思考2：确定直线的几何要素是什么？
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线
上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考4：现在你能确定直线的解析式了吗？
不能！倾斜角不知道是什么？
2、 直线的斜率
思考5：日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？
何表示呢？
思考2：直线位置的确定需要几个几何要素？y
l
两点确定一条直线。
O
x
【问题引入】
思考3：一个点能不能确定一条直线呢？
不能！
y
思考4：这些直线的区别在哪里呢？
l
倾斜程度不一样
思考5：那怎么描述倾斜程度呢？
O
P
x
【问题引入】
思考6：我们以前是怎么定义任意角的呢？
y
l
O
P
x
环节二
倾斜角的概念
零角
锐角
0 a 90 k = tan a 0
a = 90 tan a (不存在) k不存在直角
90 a 180 k = tan a 0
钝角
y2 y1
k=
( x1 x2 )
4、斜率公式：
x2 x1
42
（3）由直线的一个方向向量为1 2 ＝
π
6
又因为0 ≤ < ，所以＝ .
2 3
2,
3
，可得斜率＝
2 3
3
2
3π
.
4
3
3
＝ ，
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180
(
a
90
)
2、直线的斜率定义： k = tan a
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a = 0 k = tan 0 = 0
思考1：一次函数的图像与直线的方程是什么关系？
在平面直角坐标系中，一次函数的图象是一条直线.
例如，函数＝2 + 1，图象是直线（如图所示）.
代数：方程y=2x+1中每一对x,y的取值
几何：图像上点的坐标
一、一次函数的图象与直线的方程
一般地，一次函数＝ + （ ≠ 0）的图象是一条直线，它
斜率就越大吗？
➢ 当α∈（0°,90°）时，倾斜角越大，
斜率越大
➢ 当α∈（90°,180°）时，倾斜角越
大，斜率越大
3、 斜率的变化
思考4：直线斜率的取值范围是什么？
（-∞,+∞）
5．如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则(
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
综上可知：直线的斜率
为 1，倾斜角135。
例2 如图，已知A(4,2)、B(－8,2)、C(0,－2)，求直线AB、
BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？
y
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
∵
∵
∵
k AB = 0
k BC 0
kCA 0
k AB
22
=
=0
8 4