3.2.2_复数代数形式的乘除运算
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故选D.
反思与感悟
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式
1 ＋i 1－i 1 ① i ＝－i；② ＝i；③ ＝－i. 1 －i 1＋i
跟踪训练 2 的值是 A.1 √ C.2
A.i
C.i3
√
B.i2
D.i4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 z1· z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1· z2为纯虚数，
m＋1＝0， ∴ m－1≠0， m＝－1， 即 m≠1，
得m＝－1，∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
2－ z －1＋2i 3.设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)， z 的共轭复数为 z ， 则 z ＝________.
∵z1· z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
反思与感悟
(1)两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将
i2换成－1；最后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
z1 a＋bi ac＋bd bc－ad 则z ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i. c＋di c ＋d c ＋d 2
类型一 复数代数形式的乘法运算
－3 例1 (1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝____. 解析 (1 ＋ 2i)(a ＋ i) ＝ a － 2 ＋ (2a ＋ 1)i 的实部与虚部相等，
第三章 §3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
知识点一
复数的乘法及其运算律
思考
怎样进行复数的乘法运算？ 答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结
果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.
梳理
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
则 z＝5＋i.
当堂训练
2 1.若复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 1－i
A.1＋i
解析
√
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
2 1 ＋i 21＋i 2 ∵z＝ ＝ ＝ 2 ＝1＋i， 1－i 1－i1＋i
∴ z ＝1－i，故选 B.
2.设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1· z2为纯虚数，则实数m可以是
再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习
的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想. 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a ＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
当两个复数的 实部相等， 虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为
共轭复数 ，z的共轭复数用 z 表示.即z＝a＋bi，则 z ＝ a－bi .
知识点三
复数的除法法则
思考
1＋ 3 1＋ 33＋ 2 类比根式除法的分母有理化，比如 ＝ ， 3－ 2 3－ 23＋ 2 你能写出复数的除法法则吗？
③(1±i)2＝±2i.
类型二 复数代数形式的除法运算
例2 (1)已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表
z 示复数 z，则表示复数 的点是 1＋i
A.M
B.N
C.P
解析 由图可知z＝3＋i.
√
D.Q
3＋i 3＋i1－i 4－2i z ∴复数 ＝ ＝ ＝ 2 ＝2－i 表示的点是 Q(2，－1). 1＋i 1＋i 1＋i1－i
2＋i (1)i 是虚数单位，若 ＝a＋bi(a，b∈R)，则 log2(a－b) 1＋i 3 B.2 D.3
解析
2＋i 2＋i1－i ＝ 1＋i 1＋i1－i
3 1 ＝2－2i＝a＋bi，
a＝3， 2 ∴ 1 b＝－2，
log2(a－b)＝log22＝1.
可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.
1 3 (2)已知复数 z1＝(2－2i)(1＋i)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1· z2 是实数，则
4＋2i z2＝______.
1 3 解析 z1＝(2－2i)(1＋i)＝2－i. 设z2＝a＋2i，z1· z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
解析 ∵z＝－1－i，∴ z ＝－1＋i，
2－ z 2－－1＋i 3－i ＝ ＝ ＝－ 1 ＋ 2i. z －1－i －1－i
1.复数代数形式的乘除运算 律、结合律以及乘法对加法的分配律.
规律与方法
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换 (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，
类型三 共轭复数
例 3
解析
(1)复数 z 的共轭复数记作 z .已知(1＋2i)( z －3)＝4＋3i，则 z＝
∵(1＋2i)( z －3)＝4＋3i，
5＋i ________.
4＋3i 4＋3i ∴ z －3＝ ， z ＝3＋ ， 1＋2i 1＋2i 4＋3i1－2i 10－5i z ＝3＋ ＝3＋ 5 ＝5－i， 1＋2i1－2i
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i .
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z2z1 z1z2＝___ z1(z2z3) (z1z2)z3＝______
z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝________
知识点二
共轭复数
反思与感悟
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式
1 ＋i 1－i 1 ① i ＝－i；② ＝i；③ ＝－i. 1 －i 1＋i
跟踪训练 2 的值是 A.1 √ C.2
A.i
C.i3
√
B.i2
D.i4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 z1· z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1· z2为纯虚数，
m＋1＝0， ∴ m－1≠0， m＝－1， 即 m≠1，
得m＝－1，∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
2－ z －1＋2i 3.设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)， z 的共轭复数为 z ， 则 z ＝________.
∵z1· z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
反思与感悟
(1)两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将
i2换成－1；最后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
z1 a＋bi ac＋bd bc－ad 则z ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i. c＋di c ＋d c ＋d 2
类型一 复数代数形式的乘法运算
－3 例1 (1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝____. 解析 (1 ＋ 2i)(a ＋ i) ＝ a － 2 ＋ (2a ＋ 1)i 的实部与虚部相等，
第三章 §3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
知识点一
复数的乘法及其运算律
思考
怎样进行复数的乘法运算？ 答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结
果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.
梳理
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
则 z＝5＋i.
当堂训练
2 1.若复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 1－i
A.1＋i
解析
√
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
2 1 ＋i 21＋i 2 ∵z＝ ＝ ＝ 2 ＝1＋i， 1－i 1－i1＋i
∴ z ＝1－i，故选 B.
2.设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1· z2为纯虚数，则实数m可以是
再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习
的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想. 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a ＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
当两个复数的 实部相等， 虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为
共轭复数 ，z的共轭复数用 z 表示.即z＝a＋bi，则 z ＝ a－bi .
知识点三
复数的除法法则
思考
1＋ 3 1＋ 33＋ 2 类比根式除法的分母有理化，比如 ＝ ， 3－ 2 3－ 23＋ 2 你能写出复数的除法法则吗？
③(1±i)2＝±2i.
类型二 复数代数形式的除法运算
例2 (1)已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表
z 示复数 z，则表示复数 的点是 1＋i
A.M
B.N
C.P
解析 由图可知z＝3＋i.
√
D.Q
3＋i 3＋i1－i 4－2i z ∴复数 ＝ ＝ ＝ 2 ＝2－i 表示的点是 Q(2，－1). 1＋i 1＋i 1＋i1－i
2＋i (1)i 是虚数单位，若 ＝a＋bi(a，b∈R)，则 log2(a－b) 1＋i 3 B.2 D.3
解析
2＋i 2＋i1－i ＝ 1＋i 1＋i1－i
3 1 ＝2－2i＝a＋bi，
a＝3， 2 ∴ 1 b＝－2，
log2(a－b)＝log22＝1.
可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.
1 3 (2)已知复数 z1＝(2－2i)(1＋i)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1· z2 是实数，则
4＋2i z2＝______.
1 3 解析 z1＝(2－2i)(1＋i)＝2－i. 设z2＝a＋2i，z1· z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
解析 ∵z＝－1－i，∴ z ＝－1＋i，
2－ z 2－－1＋i 3－i ＝ ＝ ＝－ 1 ＋ 2i. z －1－i －1－i
1.复数代数形式的乘除运算 律、结合律以及乘法对加法的分配律.
规律与方法
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换 (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，
类型三 共轭复数
例 3
解析
(1)复数 z 的共轭复数记作 z .已知(1＋2i)( z －3)＝4＋3i，则 z＝
∵(1＋2i)( z －3)＝4＋3i，
5＋i ________.
4＋3i 4＋3i ∴ z －3＝ ， z ＝3＋ ， 1＋2i 1＋2i 4＋3i1－2i 10－5i z ＝3＋ ＝3＋ 5 ＝5－i， 1＋2i1－2i
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i .
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z2z1 z1z2＝___ z1(z2z3) (z1z2)z3＝______
z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝________
知识点二
共轭复数