2020届江苏省南通市高三高考模拟(2.5)数学试题(解析版)
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【答案】 .
【解析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由所求的圆与圆 相切于原点，知两圆圆心的连线在直线 上，设所求圆的圆心为 ，由半径相等列式求得 值，则答案可求.
【详解】
解：圆 化为 ，
圆心坐标为 ，半径为 .
如图，
所求的圆与圆 相切于原点， 两圆圆心的连线在直线 上，
可设所求圆的圆心为 ，则 ，
【详解】
解：（1）在 中，由余弦定理得 ，
化简得 ，即 ，
因为 ，且 为 外接圆半径），
所以 ，
所以 ，
所以 为正三角形，
所以 .
（2）因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为斜三角形 中， ， ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的计算能力和转化思想，属于基础题.
【详解】
解：（1）设椭圆的焦距为 ，则 .
因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
所以 .
又两准线间的距离为 ，则 ，
所以 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）①设 ， ， ， ，
联立 消去 得 ，
，化简得 ，
所以 ， ，
又 的斜率 ， 的斜率 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 .又因为 ，即 ，
【答案】 .
【解析】设 ， ，由三点共线的向量表示可设 ，结合已知条件进一步得到 ，
由此可得 ，结合余弦函数的有界性即可得出答案.
【详解】
解：不妨设 ， ，由于 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
故由平面向量基本定理可设， ，
，
，
，解得 ，
，
,
又 ，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角形中的几何计算，涉及了平面向量基本定理的运用，数量积的运算等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题.
【答案】 .
【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出 的值，由题意即可计算得解.
【详解】
解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出 的值，
当输入的 为 时，可得 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了伪代码的应用，属于基础题.
5．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线的方程是__.
又 ，所以 .
②由①得 ，直线 的方程为 ，
且 ， ， .
又 所以 .
所以
，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时， 的面积最大，
所以，直线 的方程为 .
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.
20．已知数列 的前 项和为 ， ， ， ， .
方案1：设 ，求出 关于 的函数解析式 ，并求出 的最小值.
方案2：设 米，求出 关于 的函数解析式 ，并求出 的最小值.
请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）
【答案】答案不唯一，具体见解析.
【解析】方案1：由 ，得 ，可得 ， .求解三角形可得 ， ， ，即可得到 关于 的解析式，其中 .设 ，化为关于 的函数求解；
2020届江苏省南通市高三高考模拟（2.5）数学试题
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _______.
【答案】
【解析】求出集合 ，利用交集的定义可得集合 .
【详解】
， ，因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2．已知复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 的值是__.
17．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，侧面 是矩形，点 ， 分别为 ， 的中点.求证：
（1） ；
（2） 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）推导出 ，从而 平面 .由此能证明 .
（2）取 的中点 ，连结 ， .推导出四边形 为平行四边形， .由此能证明 平面 .
【详解】
【详解】
解：等比数列 的各项均为正数，设公比为 ， ，
由 ， ， 成等差数列，可得 ，
即有 ，即 ，解得 舍去），
则 .
故答案为：16.
【点睛】
本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
9．在平面直角坐标系 中，已知过点 的圆 与圆 相切于原点，则圆 的半径是__.
二、解答题
15．已知非零向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 __.
【答案】4.
【解析】先把 两边平方，再展开，并结合平面向量的数量积运算进行求解即可.
【详解】
解：由题可知， ，
，
即 ，
解得 .
故答案为：4.
【点睛】
本题考查平面向量的模长、数量积运算，对式子进行平方处理是解决平面向量模长问题的常用手段，考查学生的运算能力，属于基础题.
方案2：由已知证明 ，得 .由 ，得 ， ，再求得 ， ，可得 ， .然后利用基本不等式求最值.
【详解】
解：方案 ， ，
在 中， ，
， .
，
在 和 中， ， ，
，
，其中 .
设 ，则 ，
， ，
， .
，
当 时， .
答：景观桥总长的最小值为 米；
方案 ，
，
在 中， ，
，则 ，
.
， ， ，
，则 ，
， .
，
.
【答案】2.
【解析】设圆柱的高为 ，表示出表面积可得 ，再分别表示出 ， 即可.
【详解】
解：设酒杯上部分高为 ，
则酒杯内壁表面积 ，
则 ，
所以 ， ，
故 ，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.
11．已知函数 的图象与直线 相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则 的最小值是__.
故答案为： .
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
7．将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象．若 为奇函数，则 的最小正值是______．
【答案】
【解析】先由平移求出 的解析式 ，再由 为奇函数，可得 ，从而可求出 的最小正值.
【详解】
将函数 的图象向右平移 个单位得到， 的图象，
证明：（1）因为侧面 是矩形，所以 ，
因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 在平面 内，
所以 平面 .
因为 在平面 内，所以 .
（2）取 的中点 ，连结 ， .
在△ 中， ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，且 .
在矩形 中， 是 的中点，
所以 ，且 .
所以 ，且 .
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又因为 在平面 外， 在平面 内，
【答案】 .
【解析】由双曲线的离心率结合隐含条件求得 的值，则答案可求.
【详解】
解：由题意， ，得 ，
解得： ，
该双曲线的渐近线的方程是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，注意隐含条件的运用，是基础题.
6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是__.
故答案为：3.
【点睛】
本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题.
12．已知函数 若关于 的不等式 的解集是 ， ， ， ，则 的取值范围是__.
【答案】 .
【解析】作出函数 与直线 的图象，找到两个极限情况，结合图象即可得解.
【详解】
由不等式 得 ，作出函数 与直线 的图象如图所示，
所以 平面 .
【点睛】
本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.
18．如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为 ， 到河两岸距离 ， 相等， ， 分别在两岸上， .为方便游客观赏，拟围绕 区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度 （即 的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：
【答案】 .
【解析】基本事件总数 ，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数 ，由此能求出抽到的2道题他都会的概率.
【详解】
解：某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.
基本事件总数 ，
该同学会其中的3道题，
抽到的2道题他都会包含的基本事件个数 ，
抽到的2道题他都会的概率是 .
14．已知实数 满足 ，则 的最小值为.
【答案】
【解析】利用条件 ,构造柯西不等式 ，进行解答即可.
【详解】
由柯西不等式可知: ,
即
故 ,当且仅当 ,
即 的最小值为 .
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.
16．在斜三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由余弦定理化简已知等式可得 ，利用正弦定理化简已知等式可得 ，从而可得 ，即可得解.
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，由题意可得 ， ，利用同角三角函数基本关系式可求 的值.
当且仅当 ，且 ，
即 时取“ ”.
，
答：景观桥总长的最小值为 米.
【点睛】
本题考查三角形的解法，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题.
19．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， .已知 .
①求 的值；
②当 的面积最大时，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2）① ；② .
【解析】（1）设椭圆的焦距为 ，则 .利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，求出 ， ，然后求解椭圆 的标准方程.
（2）①设 ， ， ， ，联立 利用韦达定理，通过直线的斜率求解即可；②由①得 ，直线 的方程为 ，然后求解弦长，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解即可.
注意到直线 恒过点 ，且点 也在函数 上，
当直线 与函数 相切时，可得 ，则△ ，解得 ，
当直线 过点 时，则 ，解得 ，
由图可知，满足条件的实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，二次函数的性质应用，其它不等式的解法，考查数形结合思想，属于中档题.
13．如图，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， .若 与 相交于点 ，则 的取值范围是__.
2利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2coscossinsin利用同角三角函数基本关系式可求tantansinsinsinsinsinsin外接圆半径所以所以abc为正三角形所以2因为cos2所以cos所以coscoscossinsin3coscos3sinsin所以2coscossinsin所以tantan点评
【答案】 .
【解析】先把复数 化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求 .
【详解】
解：因为复数 ，
由于它为纯虚数，所以 ，且 ，则 ，
故答案是： .
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.
3．某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是__.
【答案】 .
【解析】先求出平均数，再由方差计算公式求出这5次得分的方差.
【详解】
某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，
平均数为 ，
则这5次得分的方差为：
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
4．根据如图所示的伪代码，当输入的 为 时，最后输出的 的值是__.
解得 ，
所求圆 的半径为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题.
10．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为 ，酒杯内壁表面积为 .设酒杯上部分（圆柱）的体积为 ，下部分（半球）的体积为 ，则 的值是__.
【答案】3.
【解析】由题知两函数其中一个交点 ，另一个交点的纵坐标为1，得 ，利用交点满足两函数解析式可求出 ，由均值不等式求最小值即可.
【详解】
解： 函数 与直线 过 ，
由函数 的图象与直线 相交.其中一个交点的纵坐标为1得 ，设交点 ，代入 ， ，
，
再把点 代入直线方程： ，即 ，当且仅当 时，等号成立， 取最小值3.
（1）若 ， ，求 的值；
由于函数 为奇函数，
所以 ，
整理得： ，
当 时， 的最小正值是 ．
故答案为：
【点睛】
此题考查三角函数的平移变换，正弦函数的性质，属于基础题.
8．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 的值是__.
【答案】16.
【解析】设等比数列的公比为 ， ，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得 ，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值.
【解析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由所求的圆与圆 相切于原点，知两圆圆心的连线在直线 上，设所求圆的圆心为 ，由半径相等列式求得 值，则答案可求.
【详解】
解：圆 化为 ，
圆心坐标为 ，半径为 .
如图，
所求的圆与圆 相切于原点， 两圆圆心的连线在直线 上，
可设所求圆的圆心为 ，则 ，
【详解】
解：（1）在 中，由余弦定理得 ，
化简得 ，即 ，
因为 ，且 为 外接圆半径），
所以 ，
所以 ，
所以 为正三角形，
所以 .
（2）因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为斜三角形 中， ， ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的计算能力和转化思想，属于基础题.
【详解】
解：（1）设椭圆的焦距为 ，则 .
因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
所以 .
又两准线间的距离为 ，则 ，
所以 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）①设 ， ， ， ，
联立 消去 得 ，
，化简得 ，
所以 ， ，
又 的斜率 ， 的斜率 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 .又因为 ，即 ，
【答案】 .
【解析】设 ， ，由三点共线的向量表示可设 ，结合已知条件进一步得到 ，
由此可得 ，结合余弦函数的有界性即可得出答案.
【详解】
解：不妨设 ， ，由于 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
故由平面向量基本定理可设， ，
，
，
，解得 ，
，
,
又 ，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角形中的几何计算，涉及了平面向量基本定理的运用，数量积的运算等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题.
【答案】 .
【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出 的值，由题意即可计算得解.
【详解】
解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出 的值，
当输入的 为 时，可得 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了伪代码的应用，属于基础题.
5．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线的方程是__.
又 ，所以 .
②由①得 ，直线 的方程为 ，
且 ， ， .
又 所以 .
所以
，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时， 的面积最大，
所以，直线 的方程为 .
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.
20．已知数列 的前 项和为 ， ， ， ， .
方案1：设 ，求出 关于 的函数解析式 ，并求出 的最小值.
方案2：设 米，求出 关于 的函数解析式 ，并求出 的最小值.
请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）
【答案】答案不唯一，具体见解析.
【解析】方案1：由 ，得 ，可得 ， .求解三角形可得 ， ， ，即可得到 关于 的解析式，其中 .设 ，化为关于 的函数求解；
2020届江苏省南通市高三高考模拟（2.5）数学试题
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _______.
【答案】
【解析】求出集合 ，利用交集的定义可得集合 .
【详解】
， ，因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2．已知复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 的值是__.
17．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，侧面 是矩形，点 ， 分别为 ， 的中点.求证：
（1） ；
（2） 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）推导出 ，从而 平面 .由此能证明 .
（2）取 的中点 ，连结 ， .推导出四边形 为平行四边形， .由此能证明 平面 .
【详解】
【详解】
解：等比数列 的各项均为正数，设公比为 ， ，
由 ， ， 成等差数列，可得 ，
即有 ，即 ，解得 舍去），
则 .
故答案为：16.
【点睛】
本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
9．在平面直角坐标系 中，已知过点 的圆 与圆 相切于原点，则圆 的半径是__.
二、解答题
15．已知非零向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 __.
【答案】4.
【解析】先把 两边平方，再展开，并结合平面向量的数量积运算进行求解即可.
【详解】
解：由题可知， ，
，
即 ，
解得 .
故答案为：4.
【点睛】
本题考查平面向量的模长、数量积运算，对式子进行平方处理是解决平面向量模长问题的常用手段，考查学生的运算能力，属于基础题.
方案2：由已知证明 ，得 .由 ，得 ， ，再求得 ， ，可得 ， .然后利用基本不等式求最值.
【详解】
解：方案 ， ，
在 中， ，
， .
，
在 和 中， ， ，
，
，其中 .
设 ，则 ，
， ，
， .
，
当 时， .
答：景观桥总长的最小值为 米；
方案 ，
，
在 中， ，
，则 ，
.
， ， ，
，则 ，
， .
，
.
【答案】2.
【解析】设圆柱的高为 ，表示出表面积可得 ，再分别表示出 ， 即可.
【详解】
解：设酒杯上部分高为 ，
则酒杯内壁表面积 ，
则 ，
所以 ， ，
故 ，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.
11．已知函数 的图象与直线 相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则 的最小值是__.
故答案为： .
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
7．将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象．若 为奇函数，则 的最小正值是______．
【答案】
【解析】先由平移求出 的解析式 ，再由 为奇函数，可得 ，从而可求出 的最小正值.
【详解】
将函数 的图象向右平移 个单位得到， 的图象，
证明：（1）因为侧面 是矩形，所以 ，
因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 在平面 内，
所以 平面 .
因为 在平面 内，所以 .
（2）取 的中点 ，连结 ， .
在△ 中， ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，且 .
在矩形 中， 是 的中点，
所以 ，且 .
所以 ，且 .
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又因为 在平面 外， 在平面 内，
【答案】 .
【解析】由双曲线的离心率结合隐含条件求得 的值，则答案可求.
【详解】
解：由题意， ，得 ，
解得： ，
该双曲线的渐近线的方程是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，注意隐含条件的运用，是基础题.
6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是__.
故答案为：3.
【点睛】
本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题.
12．已知函数 若关于 的不等式 的解集是 ， ， ， ，则 的取值范围是__.
【答案】 .
【解析】作出函数 与直线 的图象，找到两个极限情况，结合图象即可得解.
【详解】
由不等式 得 ，作出函数 与直线 的图象如图所示，
所以 平面 .
【点睛】
本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.
18．如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为 ， 到河两岸距离 ， 相等， ， 分别在两岸上， .为方便游客观赏，拟围绕 区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度 （即 的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：
【答案】 .
【解析】基本事件总数 ，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数 ，由此能求出抽到的2道题他都会的概率.
【详解】
解：某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.
基本事件总数 ，
该同学会其中的3道题，
抽到的2道题他都会包含的基本事件个数 ，
抽到的2道题他都会的概率是 .
14．已知实数 满足 ，则 的最小值为.
【答案】
【解析】利用条件 ,构造柯西不等式 ，进行解答即可.
【详解】
由柯西不等式可知: ,
即
故 ,当且仅当 ,
即 的最小值为 .
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.
16．在斜三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由余弦定理化简已知等式可得 ，利用正弦定理化简已知等式可得 ，从而可得 ，即可得解.
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，由题意可得 ， ，利用同角三角函数基本关系式可求 的值.
当且仅当 ，且 ，
即 时取“ ”.
，
答：景观桥总长的最小值为 米.
【点睛】
本题考查三角形的解法，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题.
19．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， .已知 .
①求 的值；
②当 的面积最大时，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2）① ；② .
【解析】（1）设椭圆的焦距为 ，则 .利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，求出 ， ，然后求解椭圆 的标准方程.
（2）①设 ， ， ， ，联立 利用韦达定理，通过直线的斜率求解即可；②由①得 ，直线 的方程为 ，然后求解弦长，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解即可.
注意到直线 恒过点 ，且点 也在函数 上，
当直线 与函数 相切时，可得 ，则△ ，解得 ，
当直线 过点 时，则 ，解得 ，
由图可知，满足条件的实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，二次函数的性质应用，其它不等式的解法，考查数形结合思想，属于中档题.
13．如图，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， .若 与 相交于点 ，则 的取值范围是__.
2利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2coscossinsin利用同角三角函数基本关系式可求tantansinsinsinsinsinsin外接圆半径所以所以abc为正三角形所以2因为cos2所以cos所以coscoscossinsin3coscos3sinsin所以2coscossinsin所以tantan点评
【答案】 .
【解析】先把复数 化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求 .
【详解】
解：因为复数 ，
由于它为纯虚数，所以 ，且 ，则 ，
故答案是： .
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.
3．某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是__.
【答案】 .
【解析】先求出平均数，再由方差计算公式求出这5次得分的方差.
【详解】
某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，
平均数为 ，
则这5次得分的方差为：
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
4．根据如图所示的伪代码，当输入的 为 时，最后输出的 的值是__.
解得 ，
所求圆 的半径为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题.
10．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为 ，酒杯内壁表面积为 .设酒杯上部分（圆柱）的体积为 ，下部分（半球）的体积为 ，则 的值是__.
【答案】3.
【解析】由题知两函数其中一个交点 ，另一个交点的纵坐标为1，得 ，利用交点满足两函数解析式可求出 ，由均值不等式求最小值即可.
【详解】
解： 函数 与直线 过 ，
由函数 的图象与直线 相交.其中一个交点的纵坐标为1得 ，设交点 ，代入 ， ，
，
再把点 代入直线方程： ，即 ，当且仅当 时，等号成立， 取最小值3.
（1）若 ， ，求 的值；
由于函数 为奇函数，
所以 ，
整理得： ，
当 时， 的最小正值是 ．
故答案为：
【点睛】
此题考查三角函数的平移变换，正弦函数的性质，属于基础题.
8．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 的值是__.
【答案】16.
【解析】设等比数列的公比为 ， ，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得 ，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值.