2021学年高二数学选择性必修一1.4 空间向量与立体几何(A卷基础篇)同步双测新人教B(解析版)

『高二教材·同步双测』
『A卷基础篇』
『B卷提升篇』
试题汇编前言：
本试题选于近一年的期中、期末、中考真题以及经典题型，精选精解精析，旨在抛砖引玉，举一反三，突出培养能力，体现研究性学习的新课改要求，实现学生巩固基础知识与提高解题能力的双基目的。

（1）A卷注重基础，强调基础知识的识记和运用；
（2）B卷强调能力，注重解题能力的培养和提高；
（3）单元测试AB卷，期中、期末测试。

构成立体网络，多层次多角度为考生提供检测，查缺补漏，便于寻找知识盲点或误区，不断提升。

祝大家掌握更加牢靠的知识点，胸有成竹从容考试！
专题1.4《空间向量与立体几何》（A 卷基础篇）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·辽宁高二期末）已知()2,3,1a =-，则下列向量中与a 平行的是（ ） A ．() 1,1,1 B ．() 4,6,2-- C ．() 2,3,5- D ．()23,5-,-
【答案】B 【解析】
选项A ：若()2,3,1a =-与() 1,1,1平行，则必存在实数1λ，使得()12,3,1λ-=() 1,1,1成立，即1
11231λλλ
=⎧⎪
-=⎨⎪=⎩
，
显然1λ无实数解，故本选项不符合题意；
选项B ：若()2,3,1a =-与() 4,6,2--平行，则必存在实数2λ，
使得()22,3,1λ-=() 4,6,2--成立，即2
22
224136212λλλλ
=-⎧⎪
-=⇒=-⎨⎪=-⎩
，故本选项符合题意； 选项C ：：若()2,3,1a =-与() 2,3,5-平行，则必存在实数3λ，使得()32,3,1λ-=() 2,3,5-成立，即
3
33223315λλλ
=⎧⎪
-=-⎨⎪=⎩
，显然3λ无实数解，故本选项不符合题意； 选项D ：：若()2,3,1a =-与()23,5-,-平行，则必存在实数4λ，
使得()42,3,1λ-=()23,5-,-成立，即4
44223315λλλ
=-⎧⎪
-=-⎨⎪=⎩
，显然4λ无实数解，故本选项不符合题意；
故选：B
2．（2020·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为
()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．不确定
【答案】A 【解析】
因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，
所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行， 故选：A
3．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是 ( ) A ．75
B ．2
C ．
53
D ．1
【答案】A 【解析】
因为()()1,1,01,0,2a b ==-，，所以1a b ⋅=-，25a b =
=，，
又2ka b a b +-与互相垂直，所以()()
20ka b a b +⋅-=， 即2
2
220k a ka b a b b -⋅+⋅-=，即4250k k +--=，所以7
5
k =;
故选A
4．（2020·浙江邵外高二期中）对于空间向量()1,2,3a =，(),4,6b λ=，若//a b ，则实数λ=（ ） A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】D 【解析】 因为//a b ，所以1
2346λ
=
=，即11
2
λ=，所以2λ=. 故选：D.
5．（2018·浙江高三其他）平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，则下列命题正确的是（ ） A ．α、β平行 B ．α、β垂直
C ．α、β重合
D ．α、β不垂直
【答案】B 【解析】
平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =， 因为2420u v =-+=， 所以两个平面垂直． 故选：B ．
6．（2020·威远中学校高二月考（理））在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱C 1D 1的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ．
2
2
B ．
34
C ．
26
D ．
36
【答案】C 【解析】
正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1B 1的中点，
设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
A （1，0，0），M （0，
1
2
，1），B （1，1，0），D （0，0，0）， AM =（-1，
1
2
，1），()11
0DB =，，，
cos AM BD ＜，＞=1
1223
62
2
-+
=-⋅， 所以异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为2
6
， 故选C ．
7．（2020·江苏高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面
11BB DD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
63
B ．
102
C ．
155
D ．
105
【答案】D 【解析】
以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),
1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110
cos ,58
BC AC ∴<>=
=⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为10
5
. 故选：D ．
8．（2018·甘肃高二期末（理））若平面α的一个法向量为n =（1，2，1），A （1，0，﹣1），B （0，﹣1，1），A ∉α，B ∈α，则点A 到平面α的距离为（ ） A ．1 B
C
D ．
13
【答案】B 【解析】
(1,1,2)AB =--，根据点到平面的距离公式可得点A 到平面α的距离为
1AB n n
⋅-⨯=
=
故选： B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·辽宁高二期末）若()1,,2a λ=--，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为120︒，则λ的值为（ ） A ．17 B ．－17 C ．－1 D ．1
【答案】AC 【解析】
由已知224a b λλ⋅=---=--，2
2
145,4116a b λλ=++=+=
++=，
1
cos12025a b a b
λλ⋅-∴=
=
=-⋅+，解得17λ=或1λ=-，
故选：AC.
10．（2020·全国高二课时练习）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）
A ．若12
33
AD AC AB =
+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111
333
PQ PA PB PC =++
C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=
D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】
对于A ，12
33
AD AC AB =
+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；
对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=
3PQ PA PB PC ∴=++即111
333
PQ PA PB PC =
++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅
0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=
()
0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+=
0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅= 0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=
()
0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=
0CA BC PC AC ∴⋅+⋅= 0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=
()
0AC CB PC ∴⋅+=
0AC PB ∴⋅=
故C 正确； 对于D ，
()()
111
222
MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+- 1
2
MN PA PB PC ∴=
-- 2
22
222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅
=
=
=
2MN ∴=
故D 错误. 故选：ABC
11．（2020·江苏高二期中）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒
B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥
C ．当二面角P B
D C --的大小为90︒时，6PC =
D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 的距离为3 【答案】BC 【解析】 如图所示：
对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；
对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，
所以PB CD ⊥，故B 正确；
对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；
对D ，因为BN =
B 到平面PD
C BN ⊥平面PC
D ，则
2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；
故选：BC.
12．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B ．若对空间中任意一点O ，有111
632
OP OA OB OC =
++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{}
,,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC 【解析】
对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；
对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111
632
OP OA OB OC =
++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；
对于C 中，由{}
,,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{}
,,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2
a b π
π∈，所以不正确.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2020·山东章丘四中高二月考）已知()2,3,a m =-，()2,1,1b =-，若a b ⊥，则实数m 的值为________． 【答案】7 【解析】
因为a b ⊥，所以0223(1)0a b m ⋅=⇒-⨯+⨯-+=，解得7m =． 故答案为：7．
14．（2020·上海复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.
【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行 【解析】
由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥. 又向量n 为平面α的一个法向量.
所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.
15．（2020·全国高三（理））设正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是_______.
【答案】23
3
【解析】
如图建立空间直角坐标系，
则1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，(0,0,0)D ，2,20B （，），
∴11(2,0,0)=D A ，1(2,0,2)DA =，(2,2,0)DB =， 设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，
1220
220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨
⋅=+=⎩
，令1x =，则(1,1,1)n =--，
∴点1D 到平面1A BD 的距离11||223
||33
D A n d n ⋅=
==
. 故答案为：
23
3
. 16．（2019·乐清市知临中学高二期末）如图在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且
2
ASB BSC CSA π
∠=∠=∠=
，M N 、分别是AB 和SC 的中点．则异面直线SM 与BN 所成的角的余
弦值为______，直线SM 与面SAC 所成角大小为_________.
【答案】10
5
4π
【解析】
因为2
ASB BSC CSA π
∠=∠=∠=
，所以以S 为坐标原点，SA,SB,SC 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设
2SA SB SC ===，则(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,0,2).M B N A C
因为210
(1,1,0),(0,2,1),cos ,25
SM BN SM BN -==-=
=SM 与BN 所成的角10
， 面SAC 一个法向量为(0,2,0),SB =则由22
cos ,222
SM SB =
=
⋅得π,4SM SB =，即直线SM 与面SAC 所成角大小为
π
4
. 四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·全国高三（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中, 1||||2,||3AB BC D D ===，点N 是AB 的中点，点M 是11B C 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点,,D N M 的坐标； （2）求线段,MD MN 的长度；
（3）判断直线DN 与直线MN 是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1）(0,0,0)D ，(2,1,0)N ，(1,2,3)M ；（2）线段,MD MN 14,11； （3）不垂直，理由见解析 【解析】
（1）两直线垂直，证明：由于D 为坐标原点，所以(0,0,0)D ， 由1||||2,||3AB BC D D ===得：
11(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,3),(0,2,3)A B C B C ，
因为点N 是AB 的中点，点M 是11B C 的中点，
(2,1,0)N ∴，(1,2,3)M ；
（2）由两点距离公式得：
222||(10)(20)(30)14MD =-+-+-= 222||(21)(12)(03)11MN =-+-+-=
（3）直线DN 与直线MN 不垂直， 理由：由（1）中各点坐标得：
(2,1,0)DN =，(1,1,3)MN =-- (2,1(1,1,)3)01,M D N N ∴⋅=-⋅-=，
DN ∴与MN 不垂直，
所以直线DN 与直线MN 不垂直.
18．（2018·儋州市第一中学高二期中）如图，直棱柱111ABC A B C -的底面△ABC 中，1CA CB == ，90ACB ∠=︒ ，棱12AA =，如图，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．
（1）求平面11A B C 的法向量；
（2）求直线AC 与平面11A B C 夹角的正弦值． 【答案】（1）()2,2,1--；（2）2
3
． 【解析】
（1）由题意可知11(0,0,0),(1,0,2),(0,1,2)C A B 故11(1
,0,2),(0,1,2)CA CB == 设()000,,v x y z =为平面11A B C 的法向量， 则10010020,20v CA x z v CB y z ⋅=+=⋅=+= 即00
022x z y z =-⎧⎨
=-⎩，令01z =，则(2,2,1)v =--
（2）设直线AC 与平面11A B C 夹角为θ，而(1,0,0)CA =， 所以直线AC 与平面11A B C 夹角的正弦值222|||(1,0,0)2
sin 3||||1221
CA v CA v θ⋅==
==⨯++=
19．（2016·安徽高二期末（理））在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，A 1A=4，点D 是BC 的中点；
（I ）求异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值； （II ）求直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值． 【答案】（I ）（II ）
【解析】 （I ）以
，
，
为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，可得
和
的坐标，可得cos ＜
，
＞，可得答案；
（II ）由（I ）知，
=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C 1AD 的法向量为=（x ，y ，z ），由
10
{0
n AC n AD ⋅=⋅=可得=（1，﹣1，），设直线AB 1与平面C 1AD 所成的角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|=
，进而可
得答案． 解：（I ）以
，
，
为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，
则可得B （2，0，0），A 1（0，0，4），C 1（0，2，4），D （1，1，0）， ∴
=（2，0，﹣4），
=（0，2，4），
∴cos ＜
，
＞=
=
∴异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值为：； （II ）由（I ）知，
=（2，0，﹣4），
=（1，1，0），
设平面C 1AD 的法向量为=（x ，y ，z ），
则可得10{0
n AC n AD ⋅=⋅=，即
，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB 1与平面C 1AD 所成的角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|=
∴直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值为：
20．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A D 的中点，H 为平面11AA D D 内的点.
（1）若1C H ⊥平面BDE ，确定点H 的位置； （2）求点1C 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）H 是1AA 的中点；（2）1 【解析】
以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：
由棱长为1可得()0,0,0D ，()10,0,1D ，()1,0,0A ，()11
,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，由E 是棱11A D 的中点可得1,0,12E ⎛⎫
⎪⎝⎭
， （1）由H 为平面11AA D D 内的点可设(),0,H m n ，则()1,1,1C H m n =--，
()1,1,0DB =，1,0,12DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
若1C H ⊥平面BDE ，
则11101102C H DB m C H DE m n ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
，解得1
12m n =⎧⎪⎨=⎪⎩即11,0,2H ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， 所以H 是1AA 的中点；
（2）由（1）知平面DBE 的一个法向量为111,1,2n C H ⎛
⎫==-- ⎪⎝⎭
， 连接1BC ，可得1(1,0,1)BC =-，
所以1C 到平面DBE 的距离11121||
1114
BC n
d n --
⋅=
==++
.
21．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AB BB ==，P 为11B C 的中点.
（1）求直线AC 与平面ABP 所成的角； （2）求异面直线AC 与BP 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离. 【答案】（1）30°；（2）60°；（3）23
3
. 【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系.
()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()1,2,1P . ()2,2,0AC =-，()0,2,0AB =，()1,2,1AP =-
设平面ABP 的法向量(),,m x y z =，
则00
m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，化为2020y x y z =⎧⎨-++=⎩，
令1x =，解得0y =，1z =.∴()1,0,1m =. 设直线AC 与平面ABP 所成的角为θ，则
sin cos ,m AC θ=||||||
m AC m AC ⋅=
228=⋅12=，
∴直线与AC 与平面ABP 所成的角为30°. （2）()1,0,1BP =-，∴cos ,AC BP ||||
AC BP AC BP ⋅=282=⨯1
2=
∴异面直线AC 与BP 所成的角为60°. （3）设平面APC 的法向量()000,,n x y z =，
则00
n AP n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴0000020
220x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，令01x =，解得01y =，01z =-.
∴()1,1,1n =-.
∴点B 到平面APC 的距离||223
||33
n AB d n ⋅=
==
. 22．（2020·上海复旦附中高二期中）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面
ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P .
（1）求曲线Γ的长度； （2）当2
π
θ=
时，求点1C 到平面APB 的距离.
【答案】（12π；（2）
2
244
πππ++
【解析】
（1）曲线Γ的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长, 其中AD π=,底面的半圆长为
1
212
ππ⨯⨯⨯=
∴Γ的长为2π （2）当2
π
θ=
时,建立如图所示的空间直角坐标系:
则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,
2P π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
、()11,0,C π-, 所以()0,2,0AB =、1,1,
2AP π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
、()11,0,OC π=-. 设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =,
则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得2002y x y z π
=⎧⎪
⎨-++=⎪⎩
, 令2z =,得(),0,2n π=,
所以点1C 到平面PAB 的距离为12
4
OC n d n
ππ⋅==
+。