专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(学生版)

专题3等腰(直角)三角形中动点问题
【典型例题】
1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．
【专题训练】
一、填空题
1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．
2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB ＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为
ABC中，N为线段AB
上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______
4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____________秒时，PA与△ABC的腰垂直．
5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，
则12
AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．
7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．
二、解答题
8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．
(1)出发2秒后，求CP 的长．
(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．
(3)当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？
9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，AB =6．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB 上运动．点P 出发后，连接CP ，以CP 为直角边向右作等腰直角三角形CDP ，使∠DCP =90°，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为t 秒．
(1)△ABC 的AB 边上高为；
(2)求BP 的长（用含t 的式子表示）；
(3)就图中情形求证：△ACP ≌△BCD ；
(4)当BP ：BD =1：2时，直接写出t 的值．
10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D ．
(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；
(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．
①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD
的值．
11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，
在△ABC中，AB＝AC，AB
BC
的值为△ABC的正度．
已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．
（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；
（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD
的正度是2
2
，求∠A的度数．
（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为3
5，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？
若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．
12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．
（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：AB=2AF ；
（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．
（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．。