导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案
1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：
根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x
代入函数f(x)的表达式：
f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -
(3x^2 - 4x + 2)] / delta x
化简并展开：
f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta x
f'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4
* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta x
f'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta x
f'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]
由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：
f'(x) = 6x - 4
所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

解答：
根据函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)，使用导数的定义来计算导数g'(x)。

g'(x) = lim(delta x -> 0) (g(x + delta x) - g(x)) / delta x
代入函数g(x)的表达式：
g'(x) = lim(delta x -> 0) [(2sin(x + delta x) + 3cos(x + delta x)) - (2sin(x) + 3cos(x))] / delta x
化简并展开：
g'(x) = lim(delta x -> 0) [2sin(x)cos(delta x) + 2sin(delta x)cos(x) + 3cos(x)cos(delta x) - 3sin(x)sin(delta x) - 2sin(x) - 3cos(x)] / delta x
利用三角恒等式sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)和cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)，化简结果：
g'(x) = lim(delta x -> 0) [2sin(x)cos(delta x) + 2sin(delta x)cos(x) + 3cos(x)cos(delta x) - 3sin(x)sin(delta x) - 2sin(x) - 3cos(x)] / delta x g'(x) = lim(delta x -> 0) [2(sin(x)cos(delta x) + cos(x)sin(delta x)) + 3(cos(x)cos(delta x) - sin(x)sin(delta x)) - 2sin(x) - 3cos(x)] / delta x g'(x) = lim(delta x -> 0) [2sin(x + delta x) + 3cos(x + delta x) -
2sin(x) - 3cos(x)] / delta x
根据三角函数的性质，当delta x趋近于0时，sin(x + delta x)和cos(x + delta x)可以分别用sin(x)和cos(x)来近似，即sin(x + delta x) ≈ sin(x)，cos(x + delta x) ≈ cos(x)。

化简结果：
g'(x) = lim(delta x -> 0) [2sin(x) + 3cos(x) - 2sin(x) - 3cos(x)] / delta x
g'(x) = lim(delta x -> 0) 0 / delta x
g'(x) = 0
所以函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)为0。

以上是导数的计算练习题及答案，希望对你的学习有所帮助。