高中数学_函数的周期性练习题含答案

高中数学 函数的周期性练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，f(0)=2，则f(10)=( ) A.−4 B.−2 C.2 D.4
2. 若f(x)是R 上周期为3的偶函数，且当0<x ≤3
2时，f(x)=log 4x ，则f(−13
2)=( ) A.−2 B.2 C.−1
2
D.1
2
3. 已知函数f (x )满足f (1+x )=f (1−x )，且f (−x )=f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )=2x −1，则f (2021)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.−1
4. 已知函数f(x)满足f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，当1≤x ≤2时，f(x)=2x −1，求f(2017)=( ) A.−1 B.0 C.1 D.2
5. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
6. 已知函数y =f (x )对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (−x )且f (4−x )+f (x )=0成立，若f (0)=1，则f (2019)+f (2020)+f (2021)的值为（ ） A.1 B.2 C.0 D.−2
7. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，当x ∈(−1,0]时，f (x )=tan πx 3
，
则f (19
4)=（ ）
A.−1
B.−2
C.0
D.1
8. 已知f (x )是R 上的偶函数且满足f (x +3)=−f (x )，若f (1)>7，f (2021)=4+3a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0,+∞)
B.(1,+∞)
C.(−∞,0)
D.(−∞,1)
9. 已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (−x )=−f (x )，f (2−x )=f (2+x )，且在区间[0,2]上，f (x )=x 22
+cos x −1 ，m =f(√3)，n =f (7)，t =f (10)，则( )
A.m <n <t
B.n <m <t
C.m <t <n
D.n <t <m
10. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2−x )=f (2+x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )={e x −1,0≤x ≤1,x 2−4x +4,1<x ≤2. 若关于x 的不等式m|x|≤f (x )的整数解有且仅有9个，则实数m 的取值范围为（ ） A.(e−17
,
e−15
] B.[
e−17
,
e−15
] C.(
e−19
,
e−17
] D.[
e−19
,
e−17
]
11. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5)，当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2，当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，则f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=( ) A.809 B.811 C.1011 D.1013
12. 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x ⋅(1+x)，则f(−92)=________．
13. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f (2016)=________.
14. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝−f(x +2)，若当x ∈[0, 2)时，f(x)＝3x ，则f(2019)＝________
15. 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 均有f (x +4)=−f (x )+2√2，若函数f (x −2)的图象关于直线x =2对称，则f (2018)=________．
16. 已知函数f (x )为R 上的奇函数，且f (−x )=f (2+x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=2x +
a 2x
，则f (101)+f (105)的值为________.
17. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )．当x ∈[−3,3)时，f (x )=
{−(x +2)2,−3≤x <−1，x,−1≤x <3，则f (4)=________；f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=________．
18. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2+2x，则f(2021)=________．
19. 已知函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，当x≤2时，f(x)=−x2+kx+2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[2,4]上的最大值．
．
20. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0, 2)时，f(x)=e x
x
(1)求f(x)在[−2, 2]上的解析式；
(2)若|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．
21. 已知函数f(x)在R上满足f(2−x)=f(2+x)，f(7−x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0．
试判断函数y=f(x)的奇偶性；
试求方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．
22. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=−f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)=2x−x2．
求证：f(x)是周期函数；
当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
计算f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)．
23. 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0, 1)时，f(x)=
2x
．
4x+1
（1）证明f(x)在(0, 1)上为减函数；
（2）求函数f(x)在[−1, 1]上的解析式；
（3）当λ取何值时，方程f(x)＝λ在R上有实数解．
参考答案与试题解析
高中数学 函数的周期性练习题含答案
一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.
【答案】 C
【考点】 函数的求值
函数奇偶性的性质 函数的周期性
【解析】
根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，则有f(10)＝f(0)，即可得答案． 【解答】
解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)， 又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)， 即f(x −1)=f(1−x)=f(1+x)， 所以f(x)=f(2+x)，
则函数f(x)是周期为2的周期函数， 故f(10)=f(0)=2. 故选C . 2.
【答案】 C
【考点】 函数的周期性 偶函数 【解析】
根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f(−13
2)=f(−1
2)=f(1
2)，结合函数的解析式分析可得答案． 【解答】
解：由题意得f(x)是R 上周期为3的偶函数， 则f(−13
2)=f(−1
2)=f(1
2).
因为当0<x ≤3
2时，f(x)=log 4x ，
所以f(12)=log 412=−1
2， 所以f(−13
2)=−1
2. 故选C .
3. 【答案】 B
【考点】
函数的周期性
函数的求值
【解析】
由已知得f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1)．从而得到|f(x+4)=f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，能求出f(2021)的值．
【解答】
解：∵f(1+x)=f(1−x)，且f(−x)=f(x)，
则f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]，
即f(2+x)=f(−x)=f(x).
∵ f(x)是以2为周期的周期函数，
当1≤x≤2时，f(x)=2x−1
∴f(2021)=f(2×1010+1)=f(1)=21−1=1.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
函数的周期性
函数的求值
【解析】
由已知得f(1+x)＝−f(1−x)＝−f(x−1)，从而得到f(x+4)＝f(x)，再由当1≤
x≤2时，f(x)＝2x−1，能求出f(2017)的值．
【解答】
解：∵f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，
∴f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1).
令x−1=t，得f(t+2)=−f(t)，
∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
∴f(x)以4为周期的周期函数.
∵当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，
∴f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=21−1=1．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f(1+x)=f(1−x)，
且f(x)为定义在R上的偶函数，
所以有f(1+x)=f(1−x)=f(x−1)，
即f(x+2)=f(x)，
函数f(x)为周期为2的偶函数，且关于x=1对称.
又因为g(x)=e−|x−1|(−1<x<3)关于x=1对称，
所以f(x)与g(x)的图象一共有四个交点，
交点的横坐标之和为2+2=4.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
函数的周期性
【解析】
由题意，根据f(x+2)=f(−x)以及f(4−x)=−f(x)可推导y=f(x)是周期为4的周
期函数，可得f(2019)=f(3)，f(2021)=f(1)，代入f(4−x)=−f(x)可计算结果，又f(2020)=f(0)=0，代入计算即可．
【解答】
解：已知f(x+2)=f(−x)，则f(2−x)=f(x).
又f(4−x)=−f(x)，可得f(4−x)+f(2−x)=0，
所以f(x+2)=−f(x)，
即f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，
可得函数y=f(x)是周期为4的周期函数，
则f(2019)=f(3)，f(2020)=f(0)，f(2021)=f(1).
因为f(4−x)+f(x)=0，
所以f(4−1)+f(1)=0，即f(3)+f(1)=0，
可得f(2019)+f(2020)+f(2021)=0+1=1.
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，则f(−x)=f(2+x)，又由f(x)为
偶函数，则有f(−x)=f(x)，则f(x+2)=f(x)，函数f(x)是周期为2的偶函数，
故f(19
4)=f(3
4
)=f(−3
4
)=tan[π
3
×(−3
4
)]=−1．
故选A．8.
【答案】B
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
【解答】
解：因为f(x+3)=−f(x)，
所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，
所以f(x)是周期为6的周期函数，
所以f(2021)=f(6×337−1)=f(−1)=f(1)．
因为f(1)>7，
所以f(2021)=4+3a>7，解得a>1．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
函数的周期性
利用导数研究函数的单调性
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)判断出该函数的奇偶性及对称性、周期性．再将自变量转变到同一周期内利用单调性进行比大小．
【解答】
解：∵f(−x)=−f(x)，
f(2−x)=f(2+x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f[2−(x+2)]=f(2+x+2)，
即f(−x)=f(x+4)=−f(x)，
∴f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，
即f(x)的最小正周期为8，
∴f(7)=f(8−1)=f(−1)=−f(1)，
f(10)=f(8+2)=f(2)，
当x∈[0,2]时，f(x)=x 2
2
+cos x−1,
f′(x)=x−sin x，f′′(x)=1−cos x≥0，∴f′(x)=x−sin x为单调递增函数，
f′(x)≥f′(0)=0，
∴f(x)=x2
2
+cos x−1为单调递增函数，即当x∈[0,2]时，f(x)≥f(0)=0，
∴−f(1)<0，
0<f(1)<f(√3)<f(2)，
∴f(7)<f(√3)<f(10)，即n<m<t．故选B．
10.
C
【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 分段函数的应用
根的存在性及根的个数判断
【解析】
本题考查函数的图象与性质及不等式与函数的结合． 【解答】
解：∵ f (−x )=f (x )，f (2−x )=f (2+x )，∴ f(2+x)=f(−x −2)=f(−x +2)，∴ f (x +4)=f (x )，
即f (x )是以4为周期的函数，作出函数f (x )的图象如图所示．
令g (x )=m|x|，将g (x )的图象绕坐标原点旋转可得 {7m ≤e −1,
9m >e −1,即{m ≤e−1
7,m >
e−19 则实数m 的取值范围为(e−19
,
e−17
]．
故选C ． 11.
【答案】 A
【考点】 函数的周期性 函数的求值
【解析】
【解答】
解：由f (x )=f (x +5)可知f (x )周期为5， 因为当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2； 当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，
所以f (−2)+f (−1)+f (0)+f (1)+f (2)=2. 又因为f (x )周期为5，
所以f (x )+f (x +1)+f (x +2)+f (x +3)+f (x +4)=2， 因此f (1)+f (2)+⋯+f (2021)
=f (1)+[f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+⋯+f (2021) =f (1)+2×404 =809. 故选A ．
二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ） 12.
−34
【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】
由奇函数的性质可得，f(−9
2)=−f(9
2)，由周期性可得f(9
2)=f(9
2−4)=f(1
2)，进而得解． 【解答】
解：由题意可得，
f(−92)=−f(92)=−f(92−4)=−f(12)
=−1
2×(1+1
2)=−1
2×3
2=−34． 故答案为：−3
4. 13.
【答案】 0
【考点】 函数的求值 函数的周期性 函数奇偶性的性质
【解析】
由f (x +2)=−f (x )可得f (x )是周期为4的函数，把f (2016)转化成f (0)）求解即可． 【解答】
解：对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，
则f(x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f(x)， 所以f (x )是周期为4的函数， 所以f (2016)=f (0)，
又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)=0， 所以f (2016)=0. 故答案为：0. 14.
【答案】 −3
【考点】 求函数的值 函数的周期性 函数的求值
【解析】
推导出f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，从而f(2019)＝f(3)＝−f(1)，由此能求出结果．
【解答】
∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝−f(x+2)，
∴f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，
当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，
∴f(2019)＝f(3)＝−f(1)＝−(3)
故答案为：−(3)
15.
【答案】
√2
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
由已知条件推导出f(−x)=f(x)，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以
f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，由此能求出结果．
【解答】
解：由函数f(x−2)的图象关于直线x=2对称可知，
函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
由f(x+4)=−f(x)+2√2，
得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，
所以f(x)是周期为8的偶函数，
所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，
又f(2)=−f(−2)+2√2，f(−2)=f(2)，
所以f(2)=√2．
故答案为：√2．
16.
【答案】
3
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
函数的求值
【解析】
暂无
【解答】
解：因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)=1+a=0，所以a=−1，
(0≤x≤1)，
所以f(x)=2x−1
2x
.
则f(1)=3
2
又因为f (x )为奇函数，
所以f (−x )=f (2+x )=−f (x )，
则f (x +4)=f (x )，
所以f (x )的周期为4，
所以f (101)+f (105)=2f (1)=32×2=3. 故答案为：3.
17.
【答案】
0,337
【考点】
函数的求值
函数的周期性
【解析】
先由f (x +6)=f (x )判断周期为6，直接计算f (4)；然后计算2017=6×36+1，把f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)转化为
=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017) ，即可求解．
【解答】
解：因为f (x +6)=f (x )，
所以函数f (x )的周期为6的周期函数，
当x ∈[−3,3)时，
f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1,x,x −1≤x <3,
所以f (4)=f (−2)=−(−2+2)2=0，
因为2017=6×336+1，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=f (−3)=−(−3+2)2=−1， f (4)=0，f (5)=f (−1)=−1，f (6)=f (0)=0，
所以f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)
=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017)
=36×(1+2−1+0−1+0)+1=337．
故答案为：0；337．
18.
【答案】
1
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
无
【解答】
解：因为f (x )是奇函数，所以f (x +2)=f (−x )=−f (x )，
所以f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x )，
所以f (x )的周期为4.所以f (x +4)=f (x )，故f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2021)=f (4×505+1)=f (1)
=−f (−1)=−[(−1)2−2]=1．
故答案为：1．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
19.
【答案】
解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，
所以f (x )=f (4−x )，
当x >2时，4−x <2，
则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2
=−x 2+(8−k )x +4k −14，
故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.
(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14
=−(x −
8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，
则f (x )max =f (4)=2；
当8−k 2≤2，即k ≥4时，f (x )在[2,4]上单调递减，
则f (x )max =f (2)=2k −2；
当2<8−k 2<4，即0<k <4时，f (x )max =f (
8−k 2)=k 2+84． 综上所述，f (x )max ={ 2，k ≤0,
k 2+84，0<k <4,2k −2，k ≥4.
【考点】
函数的周期性
二次函数在闭区间上的最值
分段函数的应用
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
【解答】
解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，
所以f (x )=f (4−x )，
当x >2时，4−x <2，
则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2
=−x 2+(8−k )x +4k −14，
故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.
(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14
=−(x −
8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，
则f(x)max=f(4)=2；
当8−k
2
≤2，即k≥4时，f(x)在[2,4]上单调递减，则f(x)max=f(2)=2k−2；
当2<8−k
2<4，即0<k<4时，f(x)max=f(8−k
2
)=k2+8
4
．
综上所述，f(x)max=
{2，k≤0,
k2+8
4
，0<k<4,
2k−2，k≥4.
20.
【答案】
解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，
∴f(−x)=e−x
−x =−1
xe x
，
又f(x)为奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)=1
xe x
.
当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，
∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，
即−f(2)=f(2)，
∴ f(2)=0，
∴f(−2)=f(2)=0.
综上，f(x)=
{1
xe x (−2<x<0), 
0(x=0,±2), 
e x
x
(0<x<2).
(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.
∵f(x)的最小正周期为4，
∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，
由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，
此时，x=0或±2，
∴λ≤0．
【考点】
函数恒成立问题
函数的周期性
奇函数
【解析】
（1）由f(x)是x∈R上的奇函数，得f(0)=0．再由最小正周期为4，得到②和f(−2)的值．然后求(−2, 0)上的解析式，通过在(−2, 0)上取变量，转化到(0, 2)上，即可得到结论．
（2）|f(x)|≥λ等价于|f(x)|min≥λ，由f(x)的最小正周期为4得，问题转化为求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由（1）易求；
【解答】
解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，
∴f(−x)=e−x
−x =−1
xe x
，
又f(x)为奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)=1
xe x
.
当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，
∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，
即−f(2)=f(2)，
∴ f(2)=0，
∴f(−2)=f(2)=0.
综上，f(x)=
{1
xe x (−2<x<0), 
0(x=0,±2), 
e x
x
(0<x<2).
(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.
∵f(x)的最小正周期为4，
∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，
由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，
此时，x=0或±2，
∴λ≤0．
21.
【答案】
函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
∵f(x)=f[2+(x−2)]=f[2−(x−2)]=f(4−x)，
f(x)=f[7+(x−7)]=f(7−(x−7))=f(14−x)，
∴f(14−x)=f(4−x)，即f[10+(4−x)]=f(4−x)，
∴f(x+10)=f(x)，即函数f(x)的周期为10.
又∵f(1)=f(3)=0，∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z)，
f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z)，
即x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)均是方程f(x)=0的根．
由−2011≤1+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±201，共403个；
由−2011≤3+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±200,−201，共402个；所以方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上的根共有805个．
【考点】
函数的周期性
抽象函数及其应用
函数的图象与图象变化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若y=f(x)为偶函数，则f(−x)=f(2−(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x)，
∴f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此
f(x)不是偶函数．
若y=f(x)为奇函数，则f(0)=f(−0)=−f(0)，∴f(0)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数．
综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
略
22.
【答案】
证明∵f(x+2)=−f(x)，
∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．
1
【考点】
函数的周期性
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
思维启迪：只需证明f(x+T)=f(x)，即可说明f(x)是周期函数；
探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵x∈[2,4]，∴−x∈[−4,−2]，
∴4−x∈[0,2]，
∴f(4−x)=2(4−x)−(4−x)2=−x2+6x−8，
又f(4−x)=f(−x)=−f(x)，
∴−f(x)=−x2+6x−8，
即f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．
思维启迪：由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[−2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；
探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
解∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=−1．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=⋯=f(2008)+
f(2009)+f(2010)+f(2011)=0．
∴f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)=f(0)+f(1)=1．
思维启迪：由周期性求和．
探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
23.
【答案】
证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，
=
(4x1+1)(4x2+1)
⋯
∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0, 1)上为减函数．
若x∈(−1, 0)，
∴−x∈(0, 1)，
∴f(−x)=2−x
4−x+1
，
又∵f(x)为奇函数，
∴f(−x)=2−x
4−x+1
=−f(x)，
∴f(x)=−2−x
4−x+1
⋯
又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，
∴f(1)＝f(−1)＝0
∴f(x)=
{
2x
4x+1
,x∈(0,1) 0,x=0x=±1
−2x
4x+1,x∈(−1,0)
⋯
若x∈(0, 1)，
∴f(x)=2x
4x+1=1
2x+1
2x
又∵2x+1
2x ∈(2,5
2
)，
∴f(x)∈(2
5,1
2 )，
若x∈(−1, 0)，
∴f(x)=−2x
4x+1=−1
2x+1
2x
，
∴f(x)∈(−1
2,−2
5
)，
∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−1
2<λ<−2
5
,2
5
<λ<1
2
}．…12分
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
（1）利用函数单调性的定义证明．（2）利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式．（3）利用函数的性质求函数f(x)的值域即可．
【解答】
证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，
=
(4x1+1)(4x2+1)
⋯
∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0, 1)上为减函数．
若x∈(−1, 0)，
∴−x∈(0, 1)，
∴f(−x)=2−x
4−x+1
，
又∵f(x)为奇函数，
∴f(−x)=2−x
4−x+1
=−f(x)，
∴f(x)=−2−x
4−x+1
⋯
又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，
∴f(1)＝f(−1)＝0
∴f(x)=
{
2x
4x+1
,x∈(0,1) 0,x=0x=±1
−2x
4x+1,x∈(−1,0)
⋯
若x∈(0, 1)，
∴f(x)=2x
4x+1=1
2x+1
2x
又∵2x+1
2x ∈(2,5
2
)，
∴f(x)∈(2
5,1
2 )，
若x∈(−1, 0)，
∴f(x)=−2x
4x+1=−1
2x+1
2x
，
∴f(x)∈(−1
2,−2
5
)，
∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−1
2<λ<−2
5
,2
5
<λ<1
2
}．…12分。