4一元一次方程培优训练(有答案)

一元一次方程培优训练
基础篇
一、选择题
1.把方程
103
.02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数，正确的是（ ） A.13
2177=--x x B.13217710=--x x C.1032017710=--x x D.132017710=--x x 2.与方程x+2=3-2x 同解的方程是（ ） A.2x+3=11 B.-3x+2=1 C.132
=-
x D.23
1132-=+x x 3.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7ｍ，乙每秒跑6.5ｍ，甲让乙先跑5ｍ，设ｘ秒后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（ ）
A.7ｘ＝6.5ｘ＋5
B.7ｘ＋5＝6.5ｘ
C.（7－6.5）ｘ＝5
D.6.5ｘ＝7ｘ－5 4.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5.电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视机的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ） A.0.81a 元 B.1.21a 元 C.21
.1a 元 D.81.0a 元
6.一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了( )道题。

A.17
B.18
C.19
D.20
7.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米／时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米／时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间约是（ ） Ａ.1.6秒
Ｂ.4.32秒
Ｃ.5.76秒
Ｄ.345.6秒
8.一项工程，甲单独做需x 天完成，乙单独做需y 天完成，两人合作这项工程需天数为（ ） A.
y x +1 B.y
x 11+ C.xy 1 D. y
x 111
+
9、若2x =-是关于x 的方程233x x a +=
-的解，则代数式21
a a
-的值是（ ） A 、0 B 、283
- C 、29- D 、2
9
10、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数为（ ）
A 、142857
B 、157428
C 、124875
D 、175248 二、填空题
12.当m ＝_____时，方程（m －3）x
|m|-2
＋m －3＝0是一元一次方程。

13.若代数式b a a y x y x +--39123与是同类项，则a=_________，b=_______
14.对于未知数为x 的方程x ax 21=+，当a 满足______________时，方程有唯一解，而当a 满足______________时，方程无解。

15.关于x 的方程：（p+1）x=p-1有解，则p 的取值范围是______ 16.方程∣2x-6∣=4的解是________
17.已知0)3(|4|2
=-++-y y x ，则=+y x 2__________
18.如果2、 2、 5和x 的平均数为5，而3、 4、 5、 x 和y 的平均数也是5，那么x =_____，y =____. 19.若方程
35+3(x-12003)=45,则代数式7+30(x-1
2003
)的值是
20.方程5665-=+x x 的解是
21.已知：2+=x x ，那么273192011++x x 的值为
22.一只轮船在相距80千米的码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，则水流速度为 23.甲水池有水31吨,乙水池有水11吨,甲池的水每小时流入乙池2吨,x 小时后, 乙池有水________吨 ,甲池有水_______吨 , ________小时后,甲池的水与乙池的水一样多.
24、关于x 的方程()()k x k m x m -=-有唯一解，则k 、m 应满足的条件是_________。

25、已知方程524x m mx x -=--的解在2与10之间（不包括2和10），则m 的取值为___________________________。

三、综合练习题： 26.解下列方程：
（1）x x 1010019-=- （2）x x -=+34
32
27.已知关于x 的方程x a x x 4)]3(2[3=--和18
5143=--+x
a x 有相同的解，求这个相同的解。

28.已知43
1)120111(441=++x ，那么代数式20111872482011
x x +∙
+的值。

29.已知关于x 的方程23)12(-=-x x a 无解，试求a 的值。

30.已知关于x 的方程917x kx -=的解为整数，且k 也为整数，求k 的值。

31.一运输队运输一批货物，每辆车装8吨，最后一辆车只装6吨，如果每辆车装7.5吨，则有3吨装不完。

运输队共有多少辆车？这批货物共有多少吨？
32.一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小36，求原来的两位数.
33.一个三位数满足的条件：①三个数位上的数字和为20；②百位上的数字比十位上的数字大5；③个位上的数字是十位上的数字的3倍。

这个三位数是几？
34.某商店将彩电按成本价提高50%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电成本价是多少？
35.某企业生产一种产品，每件成本400元，销售价为510元，本季度销售了m件，于是进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售降低4%，销售量提高10%，要使销售利润保持不变，该产品每件成本价应降低多少元？
36.一队学生去校外郊游，他们以每小时5千米的速度行进，经过一段时间后，学校要将一紧急的通知传给队长。

通讯员骑自行车从学校出发，以每小时14千米的速度按原路追上去，用去10分钟追上学生队伍，求通讯员出发前，学生队伍走了多长的时间。

41.一列车车身长200米，它经过一个隧道时，车速为每小时60千米，从车头进入隧道到车尾离开隧道共2分钟，求隧道长。

42.某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
（A）记时制：2.8元／小时，（B）包月制：60元／月。

此外，每一种上网方式都加收通讯费1.2元／小时。

（1）某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？
（2）某用户有120元钱用于上网（1个月），选用哪种上网方式比较合算？
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式。

43.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3•种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，•销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
44.某“希望学校”修建了一栋4层的教学大楼，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有3道门（两道大小相同的正门和一道侧门）. 安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，2分钟内可以通过400名学生，若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生.
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%. 安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这3道门安全撤离. 假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这3道门是否符合安全规定？为什么？
培优篇
讲解
知识点一：定义
例1：若关于x 的方程()0212
=+-m x m 是一元一次方程，求m 的值，并求出方程的解。

解：由题意，得到⎩⎨⎧≠-=0
11
2m m 1,12=∴=m m 或1-=m
当1=m 时，01=-m ，1=∴m 不合题意，舍去。

∴当1-=m 时，关于x 的方程()0212
=+-m x m 是一元一次方程，即022=+-x ，1=∴x
同步训练：
1、当m = 时，方程()0332
=-+--m x m m 是一元一次方程，这个方程的解是 。

例2：下列变形正确的是（ ）
A ．如果bx ax =，那么b a =
B ．如果()11+=+a x a ，那么1=x
C ．如果y x =，那么y x -=-55
D ．如果()
112
=+x a ，那么1
1
2+=
a x 3、若m m y x 43,12+=+=，则用含x 的式子表示y = 。

知识点二：含绝对值的方程
绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程，解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是： 1、形如()0≥=+c c b ax 的最简绝对值方程
这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：c b ax =+或c b ax -=+ 2、含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程
这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解。

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法。

例3：方程525-=+-x x 的解是 。

解，525--=-x x 525--=-∴x x ①或525+=-x x ② 由①得0=x ；由②得10-=x ，∴此方程的解是0=x 或10-=x 同步训练 1、若9=x 是方程
a x =-231的解，则a = ；又若当1=a 时，则方程a x =-23
1
的解是 。

例4：方程1735=--+x x 的解有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 解：运用“零点分段法”进行分类讨论
由05=+x 得，5-=x ；又由073=-x 得，3
7=x 。

所以原方程可分为3
7
,375,5>≤
<--≤x x x 三种情况来讨论。

当5-≤x 时，方程可化为()()1735=-++-x x ，解得5.6=x 但5.6不满足5-≤x ，故当5-≤x 时，方程无解；
当375≤
<-x 时，方程可化为()1735=-++x x ，解得43=x ，满足37
435≤<-； 当37>x 时，方程可化为()1735=--+x x ，解得5.5=x ，满足37>x 。

综上可知，原方程的解有2个，故选B 。

例5：（“希望杯”邀请赛）求方程431=-++x x 的整数解。

利用绝对值的几何意义借且数轴求解。

根据绝对值的几何意义知：此式表示点()x P 到A 点和B 点的距离之和4=+PB PA 。

又P AB ∴=,4 点只能在线段AB 上，即31≤≤-x 。

又x 为整数，∴整数x 只能是3,2,1,0,1-，共5个 知识点三：一元一次方程解的情况
一元一次方程ax=b 的解由a ，b 的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b ≠0，方程变为0·x=b ，则方程无解
例6、 解关于x 的方程(mx-n)(m+n)=0．
分析 这个方程中未知数是x ，m ，n 是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m ，n 取不同值时，方程解的情况．
B
A
例7、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
例8、 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？
来确定：
(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．
(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．
(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．例9、若abc=1，解方程
【分析】像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
例10、 若a ，b ，c 是正数，解方程：
【分析】用两种方法求解该方程。

注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．
例11、 设n 为自然数，[x]表示不超过x 的最大整数，解方程：
[][][][]()2
212
n n x x x n x +＋2＋3＋…＋＝
分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n 是自然数，所以n 与(n+1)
…，n[x]都是整数，所以x 必是整数．
例12、 已知关于x 的方程:
且a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．
【强化练习】
1．解下列方程：
2．解下列关于x 的方程：
(1)a 2
(x-2)-3a=x+1；
4、 解关于x 的方程：()()m x n x m
+=+3
12
5、 已知关于x 的方程()1352+=+x x a 无解，试求a 的值。

(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
7、已知|31|2x -=，则x =（ ）.
（A ）1 （B ）－
13 （C ）1或－1
3
（D ）无解 8、若||,x a =则||x a -=（ ）.
（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0
9.（重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.
（A ）20或－21 （B ）－20或21 （C ）－19或21 （D ）19或－21 10、（年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________. 11、（山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1
||102
x --=，则m 的值是（ ）.
（A ）10或
25 （B ）10或－25 （C ）－10或25 （D ）－10或－25
12、（重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________. 13、（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+
14、（“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a +等于（ ）.
（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a
15、（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（ ）个解.
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
16、（“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8a a ++-=的整数的值的个数有( )
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
17、（武汉市竞赛题）若0,0a b ><则使||||x a x b a b -+-=-成立的的取值范围是_______. 18、（“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6x x -++=的整数的值是( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）大于2的自然数 19、（“祖冲之杯”竞赛题）解方程|1||5|4x x -+-=
20、解下列关于的方程：
()()()(0)cx b c x a b x b a x a c --=---+≠.
21、已知关于x 的方程()0783=++x b a 无解，则ab 是（ ）（“希望杯”邀请赛试题）
A ．正数
B ．非正数
C ．负数
D ．非负数
22、已知a 是不为零的整数，并且关于x 的方程3
2
2354ax a a a =--+有整数解，则a 的值共有（ ） （“希望杯”邀请赛试题）
A ．1个
B ．3个
C ．6个
D ．9个 23、（黑龙江竞赛）若关于x 的方程
01
2=--x b
x 的解是非负数，则b 的取值范围是 。

24、（“华罗庚杯”）已知()
()063922=+---x m x m 是以x 为未知数的一元一次方程，如果m a ≤，那么m a m a -++的值为 。

25、(“希望杯”)已知关于x 的方程c b ax =+的解为2=x ，求62---b a c 26、（“迎春杯”训练）如果关于x 的方程()()6
32521332+=++x kx 有无数个解，求k 的值。

27、已知关于x 的方程()66
1
23--=+x x a a x ，问当a 取何值时（1）方程无解；（2）方程有无穷多解。

25、解下列方程
（1）413=+-x x （天津市竞赛题） （2）113+=--+x x x （北京市“迎春杯”竞赛题）
26、已知关于x 的方程1+=ax x 同时有一个正根和一个负根，求整数a 的值。

（“希望杯”邀请赛试题） 解：当0>x 时，011>-=
a x ，1<∴a ①；当0<x 时，011
<+-=a
x ，1->∴a ②。

由①②得11<<-a ，故整数a 的值为0。

27、已知方程1+=ax x 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（ ）（全国初中数学联赛试题）
A ．1=a
B ．1->a
C ．1≥a
D ． 1<a
28、方程055=-+-x x 的解的个数为（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题）
A ．不确定
B ．无数个
C ．2个
D ．3个
29、若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值是（ ）
A ．0
B ．2
C ．1
D ．3
30、若有理数x 满足方程x x +=-11，那么化简1-x 的结果是（ ）
A ．1
B ．x
C ．1-x
D ．x -1
31、适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．大于2的自然数
32、若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054=+-k x 有两个解，则
k n m ,,的大小关系是（ ）
A ．k n m >>
B ．m k n >>
C ．n m k >>
D ．n k m >>
33、方程
05
3
2231=--+y y 的解是 ，方程()1513+=-x x 的解是 。

34、求自然数n a a a 21，使得122121122121n n a a a a a a ⨯=⨯。

35、若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是 。

36、当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解？有无数多个解？无解？
37、（“迎春杯”）已知有理数z y x ,,满足0,0><yz xy ，并且21,2,3=+==z y x ，求z y z ++的值。

38、解方程20062007
2005275253212=⨯++⨯+⨯+⨯x
x x x x
39、如果a 、b 为定值，关于x 的方程6
232bk
x a kx -+=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值。

40、 解关于x 的方程a
b
a b x b a x =---，其中a ≠0，b ≠0。

41、已知3=--+--+--b a c x a c b x c b a x ，且0111≠++c
b a ，求x-a-b-
c 的值。

42、若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有几个？
43、已知p 、q 都是质数，则以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p 2
-q 的值。

参考答案 基础篇
一、 选择题
1—5：DBBBD 6—10:CCDBA 二、填空题
11、12
； 12、—3； 13、5，—14； 14、2,2a a ≠=； 15、1p ≠-； 16、51x =或； 17、1； 18、11，2； 19、9； 20、11x =； 21、5； 22、2/km h ； 23、()()112,312,5x x +- 24、k m ≠； 25、1643
＜m ＜ 三、综合练习
26、⑴9x =± ⑵32
x =±
27、12
； 28、2000； 29、32
a =； 30、8,10,26k =±； 31、10，78； 32、84； 33、839； 34、1350； 35、10.4; 36、0.3； 41、1.8； 42、 ⑴选用A 种方式；⑵选用B 种方式；
⑶设上网时间为x 小时，A 种方式的费用为 y a =2.8x+1.2x=4x, B 种方式的费用为y b =1.2x+60, 分y a ＞y b ，y a ＝y b ，y a ＜y b 三情况讨论即可。

43、⑴分析：因为90000÷50=1800元，且1800＜2100，1800＜2500； 所以最多有同时购进A 、B 型号和A 、C 型号两种进货方案。

(Ⅰ)设购进A 、B 型号电视机各有x,y 台150021009000025
5025
x y x x y y +==⎧⎧⇒⇒⎨⎨
+==⎩⎩ (Ⅱ) 设购进A 、C 型号电视机各有a,b 台1500250090000355015a b a a b b +==⎧⎧⇒⇒⎨⎨
+==⎩⎩
⑵略
44、⑴120，80
⑵因5分钟可以撤离的人数为()()12012080120%51280++⨯-⨯= 又因该栋教学楼共有学生人数：46451080⨯⨯= 且慢1080＜1280符合
所以建造这三道门符合安全规定。

培优篇
知识点一——定义
同步训练
1、1，-1；
2、D ；
3、224x x -+ 知识点二——含绝对值的方程 同步训练
1、1； 93x x ==或
2、5 知识点三——一元次方程解的情况 例6、
①m+n ≠0且m ≠0时，方程的唯一解为x=n/m ； ②当m+n ≠0，且m=0时，方程无解； ③当m+n=0时，方程的解为一切实数．
例7、32
a =
()()
220x mnx mn n m m n x n m n +--=+=+原方程化为：m 整理得：
例9、解析：
例10、解析 原方程两边乘以abc ，
得到方程：ab （x-a-b ）+bc （x-b-c ）+ac （x-c-a ）=3abc ， 移项、合并同类项得：
ab[x-（a+b+c ）]+bc[x-（a+b+c ）]+ac[x-（a+b+c ）]=0， 因此有：[x-（a+b+c ）]（ab+bc+ac ）=0， 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0， 所以ab+bc+ac ≠0， 所以x-（a+b+c ）=0， 即x=a+b+c 为原方程的解 例11、解析如下(原题目有误)
解析： ()12221
12221111211112
abc ax bx bcx
ab a abc bc b cab cb b
x bx bcx b bc bc b cb b x b bc x b bc =∴++=++++++++=++++++++∴=⇒=
++ 原方程可化为：即：()()
[][][][][][]2
2112
n n n n n x x x n x x x x x x ++≤∴= 由于是自然数，所以与中必有一个是偶数，因此
是整数，
因为是整数， 2，3，都是整数，所以必是整数。

又的最大整数，
所以原方程可化为：()2
212342
n n x x x x nx ++++++=
…
解得：x=n(n+1)
所以x=n （n+1）为原方程的解． 例12、 解得 强化练习
1、⑴9 ⑵21 ⑶5
2、⑴当(a+1)(a-1)≠0时，21
1
a x a +=
- 当(a+1)(a-1)=0，(a+1)(2a+1)=0时，有无数个解； 当(a-1)=0，(a+1)(2a+1)≠0时，原方程无解。

⑵略⑶略
3、当a=2时，方程有无数个解， 当2a ≠时，方程无解。

4、 5、32
a =
6、⑴k ＞－3; ⑵k ＜－3; ⑶k ≥－1或k ＜－3
7、C ；
8、A ；
9、D
1420109
2
a
x x a +=∴= 最小又为自然数()32232332
m x m mn m mn
x m -=--≠-≠解：原方程可变形为所以当3m-20时,方程的解为=
当3m-2=0,2m-3mn 0时，原方程无解；当3m-2=0,2m-3mn=0时，原方程有无数个解。

10、x=－10; 11、原题有误，应是求m 的值。

A 12、x=11
13、1235,1,3x x =-=-=通过零点分析：原方程的解为x 14、D ； 15、C ； 16、B ； 17、b x a ≤≤ 18、C
19、≤≤解为1x 5的任意实数 20、bc
x a c
=
+ 21、B(a,b 可以同时为了0)
22 、原题有误，更正：已知a 是不为零的整数，并且关于x 的方程322354ax a a a =--+；
答案为C
23、02b b ≥≠且； 24、6； 25、6； 26、52
k =； 27、⑴1a =- ⑵1a = 25、解下列方程(以后各题题目序号有误) ⑴1235
,24x x =
=- ⑵1235,1,3x x =-=-=通过零点分析：原方程的解为x 27、B 28、B 29、C
()()
21212121x a x a x a x a ≥--=±⇒-=±⇒-=±±⇒=±± 解析如下：a 0,由原方程得
3,3,1,1x a x a x a x a ∴=+=-=+=-
2242352354
x a a a
a a a a
=--+--±±±解析：原方程两边同时除以a 得
又因为不为零的整数，所以为整数所以为整数
所以a=1,2,4
330,31311,311,31110,1
a a a a a a a a a a a a a a a a a +=-⇒=⎧⎪+=+⇒⎪⎪+=-⇒=-≥⎪⎨-=+⇒=⎪⎪-=-⇒⎪+=-⇒=⎪⎩=又因原方程仅有三个解，所以有两个必然相等
则：
原方程仅有两解，不合题意。

无解
与a 0矛盾，舍去原方程有三个解，合题意
无解原方程仅有两解，不合题意。

综上所述 30、D ； 31、C ； 32、A
33、339525x =-
或；107x =± 34、
35、7；21.
36、
()()12111....12210101211101021013109030313;233333n n n n n n a a a x x x x x n x n x x +++=⨯++=⨯++-⨯=+⇒=∴====∴=⋅⋅⋅ 个解：设由题意得整理得:当时，当时，2253727325253x x x a a a a x x x a a ≤-+-=⇒=-+⇒+⇒---+=⇒=∴解：当时，时，有无数解；当2＜x ＜5时，x-2-(5-x)=a x=时，有唯一解，2＜＜5＜a ＜3时，有唯一解；当≥时，时，有无数解；a ＜-3或a ＞3时无解。

37、－8或4。

38、6021.
39、
40、
41、0.
()()0
ab bc ac x a b c
++---=解析：原方程两边同时乘以abc, 化简得：
42、
43、
k1999x2000x2001
2001
x
1
k
2001
1323296987667200113232969876672001
16
k
k
-+=
∴=
+
∴
--------∴
解：原方程变形得：（），
为整数，x为整数，
的整数因数有：
，，，，，，，，，，，，，，，．
相应的值共有个．
2
2
x1px5q97p5q97p5q
p25q95q19p15;
5q q2p8787
p15
q
q
=+=+=
===⇒-=-
=
-=-
解：把代入方程可得：，故与中必有一个为偶数，又p与q都是质数
①若，则，
②若为偶数，则只能为，，而不是质数，与题意矛盾．
综上可得：
()
1
41122
1
13
40
2
11220
4
x
b k a
k
k
b a
a
b
=
--=--+
∴
⎧
--==
⎧⎪
∴⎨⎨
--+=
⎩⎪=-
⎩
解：将代入原方程得
又无论为何值，它的根都是，
无论为何值上式都成立
解得
2
;
a
a b x a b
a b
≠==
-
当时，当时，原方程无解。