数学北师大版高中必修2空间两点间的距离公式
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课前热身
y P2(x2, y2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
x 恭喜你 答对了
2 2
O
平面： | PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
公 式 推 导
例 题 讲 解
练 习
小 结
作 业
公式猜想
平面两点：P1(x1,y1)， P2(x2,y2)
2 2 平面： | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 1 2 1 2
类比
猜想
空间两点：P1(x1,y1,z1)， P2(x2,y2,z2)
2 2 2 空间： | PP | ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 1 2 1 2 1 2
？
ห้องสมุดไป่ตู้
长方体的对角线计算公式
空间任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
作长方体,使P1、P2为其对角线的顶点 由已知得：C(x2,y1,z1),B(x2,y2 ,z1)
答案： | AB | (1 1) 2 (2 1) 2 (3 1) 2 3 | BC | (0 1) 2 (0 1) 2 (5 1) 2 3 2 | AC | (1 0) 2 (2 0) 2 (3 5) 2 3 2 2 2 因为| AB || AC |，且 | AB | | AC | | BC | ，
• （6）与M点关于yoz平面对称的点 为(-x,y,z)
• （7）与M点关于xoz平面对称的点 为(x,-y,z)
课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
例3、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中,|OA|=3， |OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写 出点C，B`，P的坐标.
所以ABC是等腰直角三角形
点M(x,y,z)是空间直角坐标系中的一点，则有
• （1）与M点关于X轴对称的点为 (x,-y,-z)
• （2）与M点关于Y轴对称的点为 (-x,y,-z) • （3）与M点关于Z轴对称的点 为(-x,-y,z) • （4）与M点关于原点对称的点 为(-x,-y,-z) • （5）与M点关于xoy平面对称的点为 (x,y,-z)
2 2 2 例题讲解 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
例2、求证以M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3),
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
z
P2 P1
2
P P 1P 2 1C CB BP2
2
2
2
C o x
B y
P1P2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2
2
即为：空间两点间的距离公式
2 2 2 公式推导 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2
o
M1 N1 M
| P2 H || z2 z1 |
x
| P1P2 |2 | P1H |2 | P2 H |2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2 2
N 同名坐 标差的 平方和 的算术 根
即： | P1P2 | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
例3、在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M， 使M到N(6,5,1)的距离最小 分析：可设M(x,1-x,0),利用距离公式构造出一个 二次函数后求最值 解：由已知，设M(x,1-x,0),则
MN
( x 6) (1 x 5) (1 0)
2 2
2
2( x 1) 2 51
2 2 2 例题讲解 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
例1、给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，
使它与点M(4,1,2)的距离为 30
解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意， |PM|= 30 ,即 ( x 4) 2 12 2 2 30 所以：(x-4)2=25 解得：x=9 或 x=-1 所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)
z D` A` O
P
C` B`
A
P`
B
C
y
x
例4、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中， 对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA， OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
z D`
A` B`
C`
Q
O A
C
Q`
B
y
x
谢谢指导!
共同进步！
？
y
设P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) 则M(x1,y1,0) N(x2,y2,0) H(x2,y2,z1)
z
P1
P2 M2 H N2
| MN | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 | P1H | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
2 2 2 例题讲解 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
当x 1 时， MN
min
51
随堂练习
1、求点M(1,2,-2)到N(-1,0,-1)间的距离
答案： | MN | (1 1) 2 (2 1) 3
2 2 2
2、 ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1), C(0,0,-5),试判断三角形的形状。
课前热身
y P2(x2, y2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
x 恭喜你 答对了
2 2
O
平面： | PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
公 式 推 导
例 题 讲 解
练 习
小 结
作 业
公式猜想
平面两点：P1(x1,y1)， P2(x2,y2)
2 2 平面： | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 1 2 1 2
类比
猜想
空间两点：P1(x1,y1,z1)， P2(x2,y2,z2)
2 2 2 空间： | PP | ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 1 2 1 2 1 2
？
ห้องสมุดไป่ตู้
长方体的对角线计算公式
空间任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
作长方体,使P1、P2为其对角线的顶点 由已知得：C(x2,y1,z1),B(x2,y2 ,z1)
答案： | AB | (1 1) 2 (2 1) 2 (3 1) 2 3 | BC | (0 1) 2 (0 1) 2 (5 1) 2 3 2 | AC | (1 0) 2 (2 0) 2 (3 5) 2 3 2 2 2 因为| AB || AC |，且 | AB | | AC | | BC | ，
• （6）与M点关于yoz平面对称的点 为(-x,y,z)
• （7）与M点关于xoz平面对称的点 为(x,-y,z)
课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
例3、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中,|OA|=3， |OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写 出点C，B`，P的坐标.
所以ABC是等腰直角三角形
点M(x,y,z)是空间直角坐标系中的一点，则有
• （1）与M点关于X轴对称的点为 (x,-y,-z)
• （2）与M点关于Y轴对称的点为 (-x,y,-z) • （3）与M点关于Z轴对称的点 为(-x,-y,z) • （4）与M点关于原点对称的点 为(-x,-y,-z) • （5）与M点关于xoy平面对称的点为 (x,y,-z)
2 2 2 例题讲解 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
例2、求证以M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3),
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
z
P2 P1
2
P P 1P 2 1C CB BP2
2
2
2
C o x
B y
P1P2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2
2
即为：空间两点间的距离公式
2 2 2 公式推导 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2
o
M1 N1 M
| P2 H || z2 z1 |
x
| P1P2 |2 | P1H |2 | P2 H |2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2 2
N 同名坐 标差的 平方和 的算术 根
即： | P1P2 | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
例3、在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M， 使M到N(6,5,1)的距离最小 分析：可设M(x,1-x,0),利用距离公式构造出一个 二次函数后求最值 解：由已知，设M(x,1-x,0),则
MN
( x 6) (1 x 5) (1 0)
2 2
2
2( x 1) 2 51
2 2 2 例题讲解 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
例1、给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，
使它与点M(4,1,2)的距离为 30
解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意， |PM|= 30 ,即 ( x 4) 2 12 2 2 30 所以：(x-4)2=25 解得：x=9 或 x=-1 所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)
z D` A` O
P
C` B`
A
P`
B
C
y
x
例4、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中， 对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA， OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
z D`
A` B`
C`
Q
O A
C
Q`
B
y
x
谢谢指导!
共同进步！
？
y
设P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) 则M(x1,y1,0) N(x2,y2,0) H(x2,y2,z1)
z
P1
P2 M2 H N2
| MN | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 | P1H | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
2 2 2 例题讲解 空间：| PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
当x 1 时， MN
min
51
随堂练习
1、求点M(1,2,-2)到N(-1,0,-1)间的距离
答案： | MN | (1 1) 2 (2 1) 3
2 2 2
2、 ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1), C(0,0,-5),试判断三角形的形状。