优化探究-教师用书 第7章-第5节直线、平面垂直的判定及其性质

第五节直线、平面垂直的判定及其性质

1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．

2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

授课提示：对应学生用书第125页

[知识梳理]

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理

2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．

3．垂直于同一条直线的两个平面平行．

4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理

必记结论 1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的．

2．由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直； 3．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫作这条斜线和这个平面所成的角．

(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2. 4．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．

(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫作二面角的平面角．

[自主诊断]

1．在空间中，l ，m ，n ，a ，b 表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α B ．若l ⊥m ，m ⊥n ，则m ∥n C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α

D．若l⊥α，l∥a，则a⊥α

解析：易知选项A不正确；选项B，从m⊥n就可以看出结论是错误的；选项C 中，若b⊂α，则C不正确；选项D是正确的．

答案：D

2.(2017·贵阳监测)如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

答案：B

3．(2017·天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A选项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l ∥a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C 选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．选B.

答案：B

4．(人教A必修2§2.3.1练习改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，

(1)若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．

(2)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的__________心． 解析：(1)如图1，连接OA ，OB ，OC ，OP ，

在Rt △POA 、Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ， 所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．

(2)如图2，∵PC ⊥P A ，PB ⊥PC ，P A ∩PB ＝P ， ∴PC ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴PC ⊥AB ，

又AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ，∴AB ⊥平面PGC ， 又CG ⊂平面PGC ，

∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 的高． 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心． 答案：(1)外 (2)垂

根据上面所做题目，请填写诊断评价

※

授课提示：对应学生用书第126页

考点一直线与平面垂直的判定与性质

1．(1)(2017·上海六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()

A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥α

C．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β

解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．

答案：C

(2)(2017·江苏调研)如图，在三棱锥P-ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.

①若AB⊥BC，且CP⊥PB，求证：CP⊥P A；

②若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.

解析：①因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.

因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB.

又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，

AB，PB⊂平面P AB，所以CP⊥平面P AB.

又P A⊂平面P AB，所以CP⊥P A.

②在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D(图略)．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC，所以l∥PD.又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC.