2018届高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 文 新人教A版

第三章⎪
⎪
⎪ 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类⎩
⎪⎨
⎪⎧
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
答案：C
2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四 一
3．(教材习题改编)已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
答案：1.2
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α
＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x
.
[小题纠偏]
1．下列说法正确的是( )
A ．三角形的内角必是第一、二象限角
B ．第一象限角必是锐角
C ．不相等的角终边一定不相同
D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z)，则α和β终边相同
答案：D
2．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x
13
(x ≠0)，则sin α＝________.
答案：5
13
考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π
3
是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第
一象限角．其中正确的命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π
3是第三象限角，
故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．(易错题)若角α是第二象限角，则α
2
是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第三象限角
D ．第二或第四象限角
解析：选C ∵α是第二象限角，
∴π
2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，
∴π4＋k π＜α2＜π
2
＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α
2是第一象限角；
当k 为奇数时，α
2是第三象限角．
3
．
设
集
合
M ＝
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ＝k
2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k
4·180°＋45°，k ∈Z
，那么( )
A ．M ＝N
B ．M ⊆N
C ．N ⊆M
D ．M ∩N ＝∅
解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，
135°，225°，…}，
N ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k
4·180°＋45°，k ∈Z
＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .
法二：由于M 中，x ＝k
2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇
数；而N 中，x ＝k
4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必
有M ⊆N .
4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，
则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，
得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45
360
，
从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
[谨记通法]
1．终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定k α，αk
(k ∈N *
)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出k α或α
k
的范围；
(3)然后根据k 的可能取值讨论确定k α或α
k
的终边所在位置，如“题组练透”第2题
易错．
考点二 扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
解析：选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
2r ＋l ＝6，1
2
rl ＝2，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
r ＝1，
l ＝4
或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝2，
l ＝2.
从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝2
2
＝1.
2．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.
解析：设扇形的半径为r cm ，如图．
由sin 60°＝6r
，
得r ＝4 3 cm ，
∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝83
3π cm.
答案：83
3
π
3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.
又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2
＋100≤100.
当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
[谨记通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l ＝αr ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12αr 2
(其中l 是扇形的
弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．
考点三 三角函数的定义常考常新型考点——多角探明
[命题分析]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有：
(1)三角函数值的符号判定；
(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值；
(3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．
[题点全练]
角度一： 三角函数值的符号判定
1．若sin αtan α＜0，且
cos α
tan α
＜0，则角α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析：选C 由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，
则α为第二或第三象限角．
由
cos α
tan α
＜0可知cos α，tan α异号，
则α为第三或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4
5
，则cos α＝________.
解析：因为A 点纵坐标y A ＝4
5
，且A 点在第二象限，又因为圆O 为
单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－3
5
.
答案：－3
5
3．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝
2m 4
，
则m ＝________.
解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，
∴r 2
＝|OP |2
＝(－3)2
＋m 2
(O 为原点)，r ＝3＋m 2
.
∴sin α＝m r
＝
2m 4＝m 22
，
∴r ＝3＋m 2
＝22，
即3＋m 2
＝8，解得m ＝± 5.
答案：±5
角度三：由角的终边所在的直线方程求三角函数值
4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：设α终边上任一点为P (－4a,3a )，
当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34
；
当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3
4
.
[方法归纳]
应用三角函数定义的3种求法
(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定
义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )
A ．40π cm 2
B ．80π cm 2
C ．40 cm 2
D ．80 cm
2
解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5
×202＝80π(cm 2)．
2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 因为点P 在第三象限，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．
3．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠
AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )
A ．(cos θ，sin θ)
B ．(－cos θ，sin θ)
C ．(sin θ，cos θ)
D ．(－sin θ，cos θ)
解析：选A 由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ.
4．(2019·江西六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C 因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°)
＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)
＝－cos 35°＜0，
所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限．
5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，
则tan α＝( )
A.43
B.
34
C ．－34
D ．－
4
3
解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝1
5x ＜0，
即x ＜0.又cos α＝15x ＝x
x 2＋16
.
解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－4
3.
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A.π3
B.π6
C ．－π3
D ．－
π
6
解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
故A ，B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的1
6
.
即为－16×2π＝－π3
.
2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )
A ．sin 2
B ．－sin 2
C ．cos 2
D ．－cos 2
解析：选D 因为r ＝2
＋－
2
＝2，由任意三角函数的定义，得
sin α＝y r
＝－cos 2.
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A.π3
B.
π2
C. 3 D ．2
解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，
∴α＝ 3.
4．(2019·潍坊二模)集合⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α
⎪
⎪⎪
k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与
π
4
≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π
2，此
时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π
2
表示的范围一样．
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )
A ．－4
5
B ．－
3
5
C.35
D.
45
解析：选B 取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±
55，故 cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝－35
.
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则
180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．
解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，
设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．
答案：(－1，3)
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255
，则y ＝________.
解析：因为sin θ＝
y
42
＋y
2
＝－255，
所以y ＜0，且y 2
＝64，所以y ＝－8.
答案：－8
9．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，
sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－2
2.根据三角函数线的变
化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π4，5π4.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
π4
，5π4
10．已知扇形AOB 的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .
解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，
(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
2r ＋l ＝8，1
2
lr ＝3，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
r ＝3，
l ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
r ＝1，
l ＝6，
∴α＝l r ＝23或α＝l
r
＝6.
(2)法一：∵2r ＋l ＝8，
∴S 扇＝12lr ＝1
4
l ·2r
≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫822
＝4，
当且仅当2r ＝l ，即α＝l r
＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.
法二：∵2r ＋l ＝8，
∴S 扇＝12lr ＝1
2r (8－2r )＝r (4－r )
＝－(r －2)2
＋4≤4，
当且仅当r ＝2，即α＝l
r
＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A ．sin α＋cos α＜0
B ．tan α－sin α＜0
C ．cos α－tan α＜0
D ．tan αsin α＜0
解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除
A ，C ，D.
2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋
cos θ
|cos θ|
＋
tan θ
|tan θ|的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：选B 由α＝2k π－
π
5
(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y ＝－1＋1－1＝－1.
3．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求α
2
终边所在的象限；
(3)试判断 tan α2sin α2cos α
2的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α
⎪
⎪⎪
2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .
(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4，k ∈Z ，
故α
2
终边在第二、四象限．
(3)当α2在第二象限时，tan α
2＜0，
sin α2＞0, cos α
2
＜0，
所以tan α2 sin α2 cos α
2取正号；
当α2在第四象限时， tan α
2＜0，
sin α2＜0, cos α
2
＞0，
所以 tan α2sin α2cos α
2
也取正号．
因此，tan α2sin α2cos α
2
取正号．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin 2
α＋cos 2
α＝1；
(2)商数关系
tan α＝sin α
cos α.
2．诱导公式
1．已知sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝15
，那么cos α＝( )
A ．－2
5
B ．－
1
5
C.15
D.
25
解析：选C ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α，
∴cos α＝1
5
.
2．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θ
sin θ的值是( )
A ．－2
B ．2
2
解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1
cos θsin θ
＝2.
3．(教材习题改编)(1)sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，
(2)tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－26π3＝________.
答案：(1)
2
2
(2)3
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．(2019·福建高考)若sin α＝－5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A.125 B ．－125
C.
512 D ．－
5
12
解析：选D 因为α为第四象限的角，
故cos α＝1－sin 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213
，
所以tan α＝sin αcos α＝－5131213
＝－5
12
.
2．若sin(3π＋θ)＝1
3，则sin θ＝________.
答案：－
1
3
考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．sin 210°cos 120°的值为( )
A.1
4
B ．－
34
2
4
解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝1
4
.
2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋α
cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )
A ．{1，－1,2，－2}
B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2}
解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α
＝2；
k 为奇数时，A ＝
－sin αsin α－cos α
cos α
＝－2.
3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π
6＋α
＝________.
解析：tan ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π－π6＋α
＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.
答案：－
3
3
4．(易错题)设f (α)＝
π＋α
π－α－π＋α
1＋sin 2
α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋α⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin α≠－12，
则f ⎝
⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.
解析：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α
1＋sin 2α＋sin α－cos 2
α
＝2sin αcos α＋cos α2sin 2
α＋sin α ＝cos α
＋2sin αsin α
＋2sin α
＝
1
tan α
，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫－23π6＝1
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1
tan π6＝ 3.
答案：3
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．
考点二 同角三角函数的基本关系题点多变型考点——纵引横联
[典型母题]
已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5.求tan α的值．
[解] 法一： 联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，
①②
由①得cos α＝1
5－sin α，
将其代入②，整理得 25sin 2
α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝4
5，cos α＝－3
5，
∴tan α＝－43
.
法二：∵sin α＋cos α＝1
5
，
∴(sin α＋cos α)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫152，
即1＋2sin αcos α＝1
25，
∴2sin αcos α＝－24
25
，
∴(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.
∵sin αcos α＝－12
25＜0且0＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0，
同角三角函数基本关系式的应用技巧
[变式一] 保持母题条件不变，
求：(1)sin α－4cos α
5sin α＋2cos α
；
(2)sin 2
α＋2sin αcos α的值．
解：由母题可知：
tan α＝－4
3
.
(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝
tan α－45tan α＋2
＝－43－45×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＋2
＝8
7.
(2)sin 2
α＋2sin αcos α＝sin 2
α＋2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α
＝tan 2
α＋2tan α1＋tan 2
α＝169－831＋
169
＝－8
25
.
[变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α
3cos α－sin α
＝5”， 求tan α的值．
解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋3
3－tan α
＝5，即tan α＝2.
法二：由sin α＋3cos α
3cos α－sin α
＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α
＝12cos α，即tan α＝2.
[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－1
3， 求
sin α＋cos α的值．
解：由tan α＝－13，得sin α＝ －1
3cos α，
将其代入 sin 2
α＋cos 2
α＝1，
得109cos 2α＝1，∴cos 2
α＝910，易知cos α＜0，
∴cos α＝－31010， sin α＝1010，
故 sin α＋cos α＝－
10
5
.
1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．
2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π
2
等，于
是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫A ＋B 2＝sin C 2等．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )
A ．－4
5
B.
45
C.35
D ．－
3
5
解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.[破译玄机]
2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2
，则θ等于( )
A ．－π6
B ．－π3
C.
π6 D.
π3
解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π
3
.
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )
A.22
3
B ．－
22
3
C.13
D ．－
1
3
解析：选D ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.
4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.
解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－35，
∴tan α＝sin αcos α＝－4
3.
答案：－
4
3
5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．
解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.
∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.
答案：
1
2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A ．sin θ<0，cos θ>0
B ．sin θ>0，cos θ<0
C ．sin θ>0，cos θ>0
D ．sin θ<0，cos θ<0
解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.
2．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
＋α
，则sin α·cos α的值等于( )
A ．－25
B ．－
1
5
C.25或－25
D.
25
解析：选A 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝tan α1＋tan 2
α＝－2
5
.
3．(2019·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°
－＝( )
A ．－ 3
B ．－
32
C.32
D.3
解析：选D 原式＝
－－
－
－
＋
＝
cos 10°－
－
－－
＝
cos 10°－2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.
4．已知f (α)＝
π－α
π－α－π－αα，则f ⎝
⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )
A.1
2 B ．－
1
3
C ．－12
D.
13
解析：选C ∵f (α)＝sin α·cos α
－cos αtan α
＝－cos α，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫10π＋π3
＝－cos π3＝－12
.
5．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π
2
，则cos α－sin α的值为( )
A ．－32 B.3
2
C ．－34
D.3
4
解析：选B ∵5π4<α<3π
2
，
∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2
＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，
∴cos α－sin α＝
32
.
6．化简：
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
＋α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α
π＋α
＋
π－α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋απ＋α
＝________.
解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋
sin α－sin α
－sin α
＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
7．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4π3的值是________．
解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－
32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32×(－3)＝－334.
答案：－
33
4
8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π
6
＋θ
＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．
解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－θ
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－θ＝－a .
sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3－θ＝0.
答案：0
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝32×32＋12×1
2
＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2＋α，求下列各式的值：
(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；
(2)sin 2
α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1
6.
(2)原式＝sin 2
α＋2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α
＝sin 2
α＋sin 2αsin 2α＋14
sin 2
α
＝85.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．sin 2
1°＋sin 2
2°＋…＋sin 2
90°＝________.
解析：sin 2
1°＋sin 2
2°＋…＋sin 2
90°＝sin 2
1°＋sin 22°＋…＋sin 2
44°＋sin 2
45°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 2
2°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 2
90°＝44＋12＋1＝912
.
答案：912
2．已知f (x )＝
cos
2
n π＋x
2
n π－x
cos
2
n ＋
π－x ]
(n ∈Z)．
(1)化简f (x )的表达式；
(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫503π1 007的值．
解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝
cos 2
k π＋x
2
k π－x cos
2
k ＋
π－x ]
＝cos 2
x ·sin 2
－x
cos 2
π－x ＝cos 2
x
－sin x
2
－cos x
2
＝sin 2x ；
当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，
f (x )＝
cos 2
k ＋
π＋x ]·sin 2
k ＋π－x ]
cos
2k ＋＋1]π－x }
＝cos 2
[2k π＋π＋x 2
[2k π＋π－x cos 2
k ＋π＋π－x
＝cos
2
π＋x
2
π－x
cos 2
π－x
＝－cos x 2
sin 2
x －cos x 2
＝sin 2
x ，
综上得f (x )＝sin 2
x .
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫503π1 007
＝sin 2
π2 014＋sin 21 006π
2 014
＝sin 2
π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2－π2 014
＝sin
2
π2 014＋cos 2π2 014
＝1.
第三节 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0，(π，－
1)，⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2x
C ．y ＝tan 2x
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2
答案：B
2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )
A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上都是减函数
C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上是减函数 答案：B
3．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．
答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬
⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋
π3，k ∈Z
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )
A ．－1
B ．－
22
C.2
2
D ．0
解析：选B 由已知x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4
，3π4，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，1，
故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.
2．函数y ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π4－2x 的单调减区间为____________．
解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得
2k π≤2x －π
4
≤2k π＋π(k ∈Z)，
解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z)．
所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)
考点一 三角函数的定义域与值域基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A ．2－ 3
B ．0
C ．－1
D ．－1－3
解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π
6，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1.
∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.
2．(易错题)函数y ＝1
tan x －1
的定义域为__________________．
解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪
⎧
tan x －1≠0，x ≠π
2＋kx ，k ∈Z ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠π
4＋k π，k ∈Z ，x ≠π
2＋k π，k ∈Z.
故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≠
π4＋k π且x ≠π
2＋k π，k ∈Z .
答案：⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ≠π4＋k π且x ≠π
2＋k π，k ∈Z
3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2
的定义域为______________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
sin 2x >0，
9－x 2
≥0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，
－3≤x ≤3.
∴－3≤x <－π2或0<x <π
2
.
∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2
的定义域为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.
答案：⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 4．(易错题)求函数y ＝cos 2
x ＋sin x ⎝
⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．
解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－22
，22.
∴y ＝－t 2
＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54
，
∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－2
2
.
∴函数y ＝cos 2
x ＋sin x ⎝
⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.
[谨记通法]
1．三角函数定义域的2种求法
(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．
(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．
2．三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．
考点二 三角函数的单调性重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
写出下列函数的单调区间：
(1)f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；
(2)f (x )＝|tan x |；
(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2.
解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－3π4＋2k π≤x ≤π
4
＋2k π，k ∈Z.
又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，
递减区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π4，π.
(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是
⎝ ⎛⎦
⎥⎤k π－π2，k π，
k ∈Z.
(3)当2k π－π≤2x －π
6
≤2k π(k ∈Z)，
即k π－5π12≤x ≤k π＋π
12
，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．
因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，递减区间为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.
[由题悟法]
求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函
数自身的定义域．
[即时应用]
1．函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．
解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z.
故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)
2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递
减，则ω＝________.
解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，
∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π
2ω
时，y ＝sin ωx 是增函数；
当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω
时，y ＝sin ωx 是减函数．
由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，
在⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.
答案：
3
2
考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性常考常新型考点——多角探明
[命题分析]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期；
(2)求三角函数的对称轴或对称中心；
(3)三角函数对称性的应用．
[题点全练]
角度一：三角函数的周期
1．函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
解析：选A y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．
2．(2019·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自
然数k 的值为________．
解析：由题意知，1＜π
k
＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.
答案：2或3
角度二：求三角函数的对称轴或对称中心
3．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )
A ．关于直线x ＝π
4
对称
B ．关于直线x ＝π
8
对称
C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称
D ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8，0对称
解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，
∴
2π
ω
＝π，ω＝2，
∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，
∴A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π
2，
∴B 正确，D 错误．
角度三：三角函数对称性的应用
4．(2019·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *
)图象的一个对称中心是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选B
πω6＋π6＝k π＋π
2
(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.
5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM
为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫16的值为( )
A ．－34
B ．－
1
4
C ．－12 D.
34
解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝1
2cos ωx ，又由
题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12
cos π
6＝34.
[方法归纳]
函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.
(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．
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1．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z)
D ．R
解析：选C ∵cos x －
32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6
，k ∈Z.
2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝( )
A ．1 B.1
2
C ．－1
D ．－
1
2
解析：选 A 由题设知
2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.
3．(2019·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)
B.⎝
⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)
D.⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)
解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π
12
(k ∈Z)，
所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z)．
4．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________．
解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，
2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π
4(k ∈Z)．
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z)
5．函数y ＝3－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______.
解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝
3π4＋2k π(k ∈Z)．
答案：5
3π
4
＋2k π(k ∈Z)
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1．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，0 B.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝
⎛⎭⎪⎫π2，3π4
D.⎝
⎛⎭
⎪
⎫
3π4，π
解析：选B 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满
足．
2．(2019·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x ＝π
3对称的函数
是( )
A ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3
解析：选B 由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π
3
对称知，
该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选
项A 不正确．对于D ，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以选项D 不正确．对于B ，
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确．
3．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π), 若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递
增区间可以是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
5π8，9π8
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8
，π8 D.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π8，5π8
解析：选D ∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝－2，
∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝1.
又∵|φ|<π，∴φ＝π
4
，
∴f (x )＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8，k ∈Z.
当k ＝0时，得π8≤x ≤5π
8
.
4．若函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该
函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )
A.5π
12 B.π4 C.π3
D.π6
解析：选A 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π
12
(k
∈Z)，而x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.
5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，2π3上是单调减函数，
且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝( )
A.12
B.
22
C.32
D ．1
解析：选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝
sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.
6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π6＋x
＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的值为________．
解析：∵f ⎝
⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ，
∴x ＝π
6
是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝±2.
答案：2或－2
7．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________．
解析：由2x ＋π
4
＝k π(k ∈Z)得，
x ＝k π2
－π
8
(k ∈Z)．
∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π8，0，
k ∈Z.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 8．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2 sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a
的取值范围为________．
解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图
所示．若2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应
有两个不同的交点，所以3<a <2.
答案：(3，2)
9．已知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
(1)求函数f (x )图象的对称轴方程；
(2)求f (x )的单调增区间；
(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．
解：(1)f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π
8，k ∈Z.
∴函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝
k π
2＋π
8
，k ∈Z.
(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
则k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z.
故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，
∴－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，
∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.
10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.
(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6，32，求f (x )的单调递增区间．
解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω＝π，∴ω＝2.
∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．
∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，
将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，
由已知上式对∀x ∈R 都成立，。