湖北孝感2020年中考数学试卷及解析

孝感市2020年高中阶段学校招生考试
数学试卷
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，不涂，错涂或多涂的，一律得0分）
1.如果温度上升3C ︒，记作3C +︒，那么温度下降2C ︒记作（ ） A .2C -︒
B .2
C +︒
C .3C +︒
D .3C -︒
2.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O .若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）
A .40︒
B .50︒
C .60︒
D .140︒
3.下列计算正确的是（ ） A .235a b ab +=
B .()2
239ab ab =
C .236a b ab ⋅=
D .222ab b b ÷=
4.如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A .
B .
C .
D .
5.某公司有10名员工，每人年收入数据如下表： 年收入/万元 4 6 8 10 人数/人
3
4
2
1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ） A .4，6
B .6，6
C .4，5
D .6，5
6.已知1x =，1y =，那么代数式32()
x xy x x y --的值是（ ）
A .2
B C .4
D .
7.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位:Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示.则这个反比例函数的解析式为（ ）
A .24I R
=
B .36I R
=
C .48I R
=
D .64I R
=
8.将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（ ） A .2
2y x =--
B .2
2y x =-+
C .2
2y x =-
D .2
2y x =+
9.如图，在四边形ABCD 中，AD BC P ，90D ∠=︒，4AB =，6BC =，30BAD ∠=︒.动点P 沿路径A B C D →→→从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点D 运动.过点P 作PH AD ⊥，垂足为H .设点P 运动的时间为x （单位：s ）
，APH ∆的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A .
B .
C .
D .
10.如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置，连接
EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G .若3BG =，2CG =，则CE 的长为（ ）
A .
54
B .
154
C .4
D .
92
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11.原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒.数据100万用科学记数法表示为_________. 12.有一列数，按一定的规律排列成
1
3
，1-，3，9-，27，81-，….若其中某三个相邻数的和是567-，则这三个数中第一个数是____________.
13.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为_________m .（结果保留根号）
14.在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操.为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A 类：总时长5≤分钟；B 类：5分钟<总时长10≤分钟；C 类：10分钟<总时长15≤分钟；D 类：总时长15>分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两解不完整的统计图.
该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有__________人.
15.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ，空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若12S S =，则n
m
的值为___________.
16.如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于坐标原点O ，四个顶点分别在双曲线4y x =
和()0k
y k x
=<上，2
3
AC BD =.平行于x 轴的直线与两双曲线分别交于点E ，F ，连接OE ，OF ，则OEF ∆的面积为__________.
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分.解答写在答题卡上）
17.0
1|1|2sin 604︒
⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
18.如图，在ABCD Y 中，点E 在AB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，满足BE DF =.连接EF ，分别与BC ，AD 交于点G ，H .
求证：EG FH =.
19.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数1-，2，5，8. （1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为________；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率.
20.如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,5A -，()3,1B -和()4,0C ，请按下列要求画图并填空.
（1）平移线段AB ，使点A 平移到点C ，画出平移后所得的线段CD ，并写出点D 的坐标为________. （2）将线段AB 绕点A 逆时针旋转90︒，画出旋转后所得的线段AE ，并直接写出cos BCE ∠的值为
__________；
（3）在y 轴上找出点F ，使ABF ∆的周长最小，并直接写出点F 的坐标为________. 21.已知关于x 的一元二次方程22
1(21)202
x k x k -++
-=. （1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值.
22.某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品.已知1kg 乙产品的售价比1kg 甲产品的售价多5元，1kg 丙产品的售价是1kg 甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg ，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算，按此方案购买40kg 农产品最少要花费多少元？
23.已知ABC ∆内接于O e ，AB AC =，ABC ∠的平分线与O e 交于点D ，与AC 交于点E ，连接CD 并延长与O e 过点A 的切线交于点F ，记BAC α∠=.
（1）如图1，若60α=︒，①直接写出
DF
DC
的值为___________； ②当O e 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为_________； （2）如图2，若60α<︒，且
2
3
DF DC =，4DE =，求BE 的长. 24.在平面直角坐标系中，已知抛物线()2
4460y ax ax a a =++->与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D .
（1）当6a =时，直接写出点,,,A B C D 的坐标；
A ___________，
B __________，
C _________，
D _________；
（2）如图1，直线DC 交x 轴于点E ，若4
tan 3
AED ∠=
，求a 的值和CE 的长； （3）如图2，在（2）的条件下，若点N 为OC 的中点，动点P 在第三象限的抛物线上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，交AN 于点F ；过点F 作FH DE ⊥，垂足为H .设点P 的横坐标为t ，记
f FP FH =+.
①用含t 的代数式表示f ；
②设()50t m m -<≤<，求f 的最大值.
参考答案
一、精心选一选，相信自己的判断！
1-5 ABCCB 6-10 DCADB
二、细心填一填，试试自己的身手！
11.6110⨯ 12.81-
1.6-
13
2
三、用心做一做，显显自己的能力！
17.
解：原式2112=-+--+=- 18.证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB CD P ，ABC CDA ∠=∠. ∴E F ∠=∠，EBG FDH ∠=∠.
在BEG ∆和DFH ∆中，E F BE DF EBG FDH ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴()BEG DFH ASA ∆∆≌. ∴EG FH =.
19.解：（1）抽取到的数为偶数的概率为1
2
. （2）列表如下：
第1次 第2次
1- 2
5
8
1-
()1,1-- ()2,1- ()5,1- ()8,1- 2 ()1,2- ()2,2 ()5,2 ()8,2 5 ()1,5- ()2,5 ()5,5 ()8,5 8
()1,8-
()2,8
()5,8
()8,8
∵差的绝对值有16种可能，绝对值大于3的有6种可能， ∴差的绝对值大于3的概率63168
P ==. 20.解：（1）如图所示： 点D 的坐标为()2,4-； （2）如图所示：
cos BCE ∠=
（3）如图所示： 点F 的坐标为()0,4.
21.解：（1）2221(21)422492k k k k ⎛⎫
∆=+-⨯-=++
⎪⎝⎭
()2
217k =++
∵无论k 为何实数，()2
210k +≥，∴2
2(1)70k ∆=++>.
∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根. （2）由一元二次方程根与系数的关系得：
1221x x k +=+，2
12122
x x k =
-. ∵123x x -=，∴()2
129x x -=，∴()2
121249x x x x +-=， ∴221(21)4292k k ⎛⎫
+-⨯-=
⎪⎝⎭
， 化简得：220k k +=，解得0,2k =-.
22.（l ）设1kg 甲产品的售价为x 元，则1kg 乙产品的售价为()5x +元，
1kg 丙产品的售价为3x 元，由题意有：
27060
335
x x =⨯+. 解得：5x =.经检验，5x =既符合方程，也符合题意. ∴510x +=，315x =.
故：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元.
（2）设40kg 的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种农产品有mkg ，则乙种农产品有2mkg ， 甲种农产品有()403m kg -，∴40323m m m -+≤⨯.∴5m ≥. 设按此销售方案购买40kg 农产品所需费用y 元，则
()5403201520 200y m m m m =-++=+.
∵y 随m 的增大而增大，∴当5m =时，y 取最小值，且=300y 最小. 故：按此方案购买40kg 农产品最少要花费300元. 23.解：（1）①
1
2
DF DC =；
②2
3
S π=
-阴影； （2）如图，连接AD ，连接AO 并延长交O e 于点H ，连接DH ，则90ADH ∠=︒， ∴90DAH DHA ∠+∠=︒.
∵AF 与O e 相切，∴90DAH DAF FAO ∠+∠=∠=︒.∴DAF DHA ∠=∠. ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠.
∴DHA DAC ∠=∠，∴DAF DAC ∠=∠. ∵AB AC =，ABC ACB ∠=∠.
∵四边形ABCD 内接于O e ，∴180ABC ADC ∠+∠=︒. 又∵180ADF ADC ∠+∠=︒，∴ADF ABC ∠=∠. 又∵ADB ACB ABC ∠=∠=∠，∴ADF ADB ∠=∠. 又∵AD 公共，∴()ADF ADE ASA ∆∆≌，∴4DF DE ==. ∵
2
3
DF DC =，∴6DC =. ∵DCE ABD DBC ∠=∠=∠，CDE ∠公共， ∴DCE DBC ∆∆∽. ∴
CD DE DB CD =，即64
6
DB =，∴9DB =.
∴5BE DB DE =-=.
24.（1）()3,0A -，()1,0B -，()0,18C ，()2,6D --； （2）如图1，作DK x ⊥轴于点K . 在Rt DKE ∆和Rt COE ∆中，∵4
tan 3
AED ∠=，()2,6D --， ∴6DK =，2OK =，52OE =，103
OC =. ∴10463a -=-
，∴2
3
a =.
∴25
6
CE ==.
（3）①如图2，作FP 与ED 的延长线交于点J . ∵23a =
，∴22810333
y x x =+-， ∴()5,0A -，100,3C ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭.∴50,3N ⎛
⎫- ⎪⎝⎭. ∵()5,0A -，50,3N ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
，∴15:33
AN l y x =-
-.
∵22810,
333P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴15,33F t t ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，
∴225333
PF t t =--+. ∵5,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭，100,3C ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，∴410:33CE l y x =-.
∴410,
33J t t ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
，∴5533FJ t =-+.
∵FH DE ⊥，JF y P 轴，
∴90FHJ EOC ︒∠=∠=，FJH ECO ∠=∠.
∴FJH ECO ∆∆∽.∴
FH FJ OE CE =，∴1OE
FH FJ t CE =⨯=-+.
∴225
3(1)33
f PF FH t t t =+=--++-+，
∴228
433f t t =--+.
②∵2228226
4(3)3333
f t t t =--+=-++，5(0)t m m -<<…，
∴当53m -<<-时，228
433f m m =--+最大；
当30m -≤<时，26
=3
f 最大.。