[精品]几何模型之一线三等角

一、定义：
两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异测，第三个与之相等的角的
顶点在前一组等角的顶点中所确定的线段上或线段的延长线上，另外两边分别位于一直线的同
侧或异测与两等角两边相交，会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形习惯上称为“一线三等角型”相似三角形。

通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
二、基本模型(1)
一句话总结：“一线三等角”是初中数学综合题中，出现频次最多的模型，没有之一。

“一线三等角”图形的基本特征
摘要：通过帮助学生感悟“一线三等角”在相似三角形判定中的重要作用，从而引导学生逐
步掌握利用基本图形来描述和分析问题，建立几何直观。

关键词：一线三等角；基本图形；几何直观
在教学中教师要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述
问题，理解、记忆结果，这应该成为课堂教学中关注的目标。

在相似三角形的判定中，两组对应角分别相等，则两个三角形相似，这种判定方法应用特别多。

而“一线三等角”这种特殊图形中，正是因为存在有两组对应角分别相等，才会一定出现一
对相似三角形。

任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的,将一个复杂图形中的基本图形＂离析＂出来,是解决问题必须具备的重要能力之一,而这种＂离析＂是在真正理解基本图形的基
础上才能进行的。

在不同背景中，特别是“一线三等角”这种情况在矩形、等腰三角形及等腰梯形中的应用都比
较广泛。

首先看“一线三直角”这一基本图形在矩形中的应用。

例，在矩形ABCD中，直角三角板MPN的直角顶点P在BC上移动时，直角边MP始终
经过点A，三角板的另一直角边PN与CD交于点Q，判断△ABP与△PCQ是否相似，说明理由。

分析：在这个运动变化中，图形的变化是否会引起结论也发生变化呢？下面在运动变化中
去寻找图形所体现的变与不变。

解：相似，理由如下：如图，∠B=∠C=90°又∵∠1+∠3=90°，
∠2+∠3=90°∴∠1=∠2∴△ABP∽△PCQ.
一线三直角基本图形：
如上图，此图形的特点：∠B=∠APQ=∠C=90°，且这三个直角的顶点都在同一条直线上。

这个基本图形又可以进行变式应用于等边三角形中。

变式一：△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且∠AED=60°，那么
△ABE∽△ECD.
分析：很容易证明∠B=∠AED=∠C=60°，且这三个角的顶点都在线段BC上，则可判断两个
三角形相似。

此基本图形还可以进行变式应用于等腰直角三角形中。

变式二：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D、E分别是AC、BC上的点，且
∠AED=45°，那么△ABE∽△ECD.
最后看“一线三等角”这一基本图形在一般的等腰三角形中的应用，这种图形的改变也体现
了由特殊到一般的认知过程。

一线三等角基本图形：
△ABC是等腰三角形，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，且∠DEF=∠B.那么
△DBE∽△ECF.
分析：由条件易知，且设∠B=∠C=∠DEF，又∠BEF=∠2+∠C即：
∠1+α=∠2+α∴∠1=∠2∴△DBE∽△ECF.
以上几个问题解法如出一辙，可谓“同宗共祖”，其思维框架一模一样，属于同一几何模型。

最后得到“一线三等角”图形的基本特征：若∠B=∠C=∠DEF，且这三个角的顶点都在同一条直线上，则可证明△BDE∽△CEF.
“一线三等角”这个基本图形在近几年的中考中，也会频繁地出现。

比如，2009年安徽省中考第22题就考到这一基本图形，所以把握住基本图形对于学生在复杂的图形中迅速准确地解
决问题起到了关键的作用。

总之，图形在几何教学中有着不可忽视的作用，几何问题的解决在很大程度上依赖于几何
图形。

在这里经历观察、比较、归纳，得出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的
背景中认识和把握这个基本图形。

因为准确的图形不但可以开阔学生的解题思路，为解决问题
的思考过程提供很大的帮助，而且还可以帮助学生更好地理解图形的基本性质、位置关系，建
立几何直观，从而让学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。

最近网上有很多朋友和我探讨“一线三等角”基本模型，对此我觉得很多事物并无定法，自己
的模型自己总结，在此我抛砖引玉，谈谈自己对于“一线三等角”的粗浅认识。

草根定义：
两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。

若有第三个与之相等的角、其顶
点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三
等角型”相似三角形．
注1如下图，这三个等角，可以是锐角、可以是直角或者钝角，结论均成立
已知：∠A=∠CPD=∠B，求证：△ACP∽△DBP证明：∵ ∠CPD+∠APC=∠B+∠PDB，∠CPD=∠B，∴
∠APC=∠PDB，又∵ ∠A=∠B，∴ △ACP∽△DBP注2如下图组，点P可以在线段AB上，可以在
线段AB延长线上，可以在线段BA延长线上，结论依旧成立（即△ACP∽△DBP）
一线三等角型推广（1）点P在线段AB上，联结CD，若△ACP∽△DBP∽△CPD，则点P是线
段AB中点或CD∥AB，反之亦成立（在此仅证明充分条件）
已知：∠A=∠CPD=∠B，△ACP∽△CPD，求证：点P是线段AB中点或CD∥AB证明：∵
∠A=∠B=∠CPD，
且△ACP∽△CPD，
∴ ∠DCP=∠CPA或∠DCP=∠ACP
a）若∠DCP=∠CPA（如右图）
则CD∥AB
b）若∠DCP=∠ACP（如左图）
则CP/PD=AC/AP
∵ ∠A=∠CPD=∠B，
则△ACP∽△DBP（之前已证），
∴ CP/PD=AC/PB。