高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值

1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为

y=3x +1 。

（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；

（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；

（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围

解：（1）极值的求法与极值的性质

（2）由导数求最值

（3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图

2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--=

(1)当4

1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围.

解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图

（2）草图——讨论

题型二：利用导数解决恒成立的问题

例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；

（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2

g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；

（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，

上是减函数；

（3）证明：3()2

f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0)

(3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1

讨论太难 分界线即1-t^2/8=0

做不出来问问别人，我也没做出来

例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f

（1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值

（2）对(0,),2()()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围

解：讨论点x=1/e 1/e<t t<1/e<t+2

（2）

题型三：利用导数研究方程的根

例4：已知函数a

x ax x f 313)(23-+-=.

（Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；

（Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实

数a 的取值范围.

例5：已知函数),(3)(2

3R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为.02=+y

（1）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c

的最小值。

（2）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围。 题型四：导数与不等式的综合

例6：已知函数ln 1()x f x x

+=

当1x ≥时，求证：()1f x ≤