机械优化设计线性规划

max z 2x1 x2 s.t. 3 x1 5x2 15
值1万元；需占用一车间工作日5天，
6 x1 2x2 24
二车间工作日2天。现一车间可用于
Hale Waihona Puke x1 0 x2 0生产A、B产品的时间15天，二车间
可用于生产A、B产品的时间24天。
试求出生产组织者安排A、B两种产
获利 物资 地区
甲 乙 丙
钢材
260 210 180
铝材
300 250 400
铜材
400 550 350
2021年10月28日3时52分
机械优化设计
建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产 状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件价 格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件价格 为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件价格为 420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元，违约 金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下 表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
min z 2x1 x2 s.t. 3x1 5x2 x3 15
x1 0
6 x1 2x2 x4 24
x2 0
x j 0( j 1,2,3,4)
用 矩 阵 和 向 量 表 示 ， 则有 ：
A
3 6
5 2
1 0
10, b 15,24Ｔ， c 2,1,0,0，
品的合理投资产数，以获得最大的总
产值。
2021年10月28日3时52分
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例5-2：生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，获 利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电， 可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供 200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的利润 最大？
x1' +x2 11 x1' 16 x1' , x2 0
(4) 右端常数
右端项b＜0时，只需将等式或不等式两 端同乘(一1)，则等式右端项必大于零。
2021年10月28日3时52分
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例5 1的 数 学 模 型 可 化 为 如 下标 准 形 式 ：
max z 2x1 x2 s.t. 3 x1 5x2 15 6 x1 2x2 24
在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品种上保 证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个月内均衡生 产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术准备等方面原因， 某些产品要在某个月后才能投产；4）根据合同要求，某些产 品要求在年初交货；5）批量小的产品尽可能集中在一个月或 几个月内生产出来，以便减少各个月的品种数量等等。如何在 满足上述条件的基础上，使设备均衡负荷且最大负荷。
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1, x2 件
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大) g1( X ) 9x1 4x2 360 （材料约束）
g2 ( X ) 3x1 10x2 300 （工时约束）
g3( X ) 4x1 5x2 200 （电力约束）
xi 0(i 1, 2, , n) bj 0( j 1, 2, , m)
2021年10月28日3时52分
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将一般形式的线性规划化为标准形式的方法
约束条件包括两部分：一是等式约束条件，二是变量 (2)的 非在约 负束要条求件，中它，是标准形式中出现的唯一不等式形式
• 如果有不等式约束： ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 则可加上新的变量xni 0(此时称xni为松弛变量)，把它们全变为 等式约束，即
表5 1列出了６个可能的解，其中有４个解恰好等于多边形４个顶点的 坐标，余下的２个解则违反了所有变量为非负的约束条件。
序号
1
2
3
4
5
6
x1
变 量
x2
值
x3
0
0
0
5
0
3 12 0
15 0 -45 0
x4
24 18 0 -6
图5.1中对应
的顶点
ODEB
4 15/4
0 3/4
3
0
0
0
AC
2021年10月28日3时52分
p1 3,6Ｔ， p2 5,2Ｔ， p3 1,0Ｔ， p4 0,1Ｔ A p1, p2 , p3, p4
2021年10月28日3时52分
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三、线性规划的基本性质
以例5 1为例，用图解法解释线性规划的几何意义，并与代数法得到的解
加以对照说明。
min z 2x1 x2 s.t. 3x1 5x2 x3 15 6 x1 2x2 x4 24 x j 0( j 1,2,3,4)
2021年10月28日3时52分
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基变量和非基变量是相对于基而言的。
2021年10月28日3时52分
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§第一节 线性规划的标准形式与基本性质
一、线性规划实例
解：设生产A、B两产品分别
例每生5-1产：一某台工产厂品要A生可产获A产、值B2两万种元产；品，为数x学1,模x型2台为，：则该问题的优化
需占用一车间工作日3天，二车间工 作日6天；每生产一台产品B 可获产
o
CB
A
x1
图5.1线性规划的几何意义
通过顶点Ｃ的直线满足上述条件，故点Ｃ是该问题的最优解。
2021年10月28日3时52分
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用代数法求解联立方程组。设变量个数为n,方程个数为m,令p n m, 为使方程组有唯一解，让p个变量等于零。 在例5.1中，p 4 2 2,因此，若四个变量中使任意两个等于零，则必 存在两个变量组的唯一解。
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例5-3：某厂生产甲、乙两种产品，已知：①两种产品分别由两 条生产线生产。第一条生产甲，每天最多生产9件，第二条生产 乙，每天最多生产7件；②该厂仅有工人24名，生产甲每件用2工 日，生产乙每件用3工日；③产品甲、乙的单件利润分别为40元 和80元。问工厂如何组织生产才能获得最大利润？
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第五章 线性规划
线性规划
第一节线性规划的标准形式与基本性质 第二节基本可行解的转换 第三节单纯形方法 第四节单纯形法应用举例 第五节修正单纯形法
2021年10月28日3时52分
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第五章
线性规划
目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束 函数和目标函数都是为线性函数的优化问题，称作 线性规划问题。它的解法在理论和方法上都很成熟， 实际应用也很广泛。虽然大多数工程设计是非线性 的，但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。 此外，线性规划方法还常被用作解决非线性问题的 子问题的工具，如在可行方向法中可行方向的寻求 就是采用线性规划方法。当然，对于真正的线性优 化问题，线性规划方法就更有用了。
最优解：使目标函数达到最小值的基本可行解。 例：图5.1中的点C为最优解，对应的目标函数值为-33/4.
基、基向量、基变量与非基变量 基：在系数矩阵A中，选择m列线性无关向量构成m×m阶非 奇异子矩阵B,则称B为线性规划的一个基。 基向量：组成基B的列向量pj(j=1,2,…,m)。 基变量：与基向量对应的变量xj(j=1,2,…,m)。用xB表示。 非基变量：除基变量外的其余(n-m)个变量。用xN表示。
x2 E
D
o
CB
A
x1
图5.1线性规划的几何意义
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• 令松弛变量x3 0, x4 0,画出上述约束
方程的图线，如图5.1所示。
x2
E
• 取Z为不同的常数，可画出一系列平行
直线。在此直线族中，确定出一条直线 D
满足以下条件，即：尽可能远离原点O,
且与多边形OACD至少有一交点。
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可行解：同时满足所有约束条件的任何一 x2 个解x=[x1,x2,…,xn]T。例：多边形OACD域 E 中任意一个解。
基本解：令线性规划标准形式中任意
D
(n-m)个变量等于零，若剩余的m个变量 构成的m个线性方程有唯一解，则称由此
o
C B x1
A
得到的n个变量的解为基本解。例：表5-1
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二、线性规划的标准形式
线性规划数学模型的一般形式：求 x [x1x2 xn ]T
使 且满足
说明： 1）m=n,唯一解 2）m>n,无解 3）m<n,无穷解
f (x) c1x1 c2 x2 cn xn min
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
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解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1, x2.
max F ( X ) 40x1 80x2 X D R2 s.t. x1 9 x2 7 2x1 3x2 24 x1, x2 0
日利润最大
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
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建模例1： 某公司有钢材、铝材、铜材1200t，800t和650t，拟调往 物资紧张的地区甲、乙、丙。已知甲、乙、丙对上述物资的总需求分 别为：900t，800t和1000t。各种物资在各地销售每吨的获利如下表 所示。试问公司应如何安排调运计划，才能获利最大？建立该问题的 数学模型。
2021年10月28日3时52分
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将其化成线性规划标准形式：
求 x [x1x2 ]T 使 min f (x) 60x1 120x2 且满足 9x1 4x2 x3 360
3x1 10x2 x4 300
4x1 5x2 x5 200
xi 0(i 1, 2,3, 4,5)
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可行域
中列出的６个解(或图6.1对应的６个顶点
A、B、C、D、E、O)。
基本可行解：如果基本解还满足非负条件xj≥0(j=1,2,…,n), 则称之为基本可行解（既是基本解，又是可行解）。
例：表5-1中列出的4个解(或图6.1对应的4个顶点A、C、D、O)。
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工序1 工序2 工序3 原材料1 原材料2 其他成本
产品A /件
2
3
2
3
4
10
产品B /件
1
1
3
2
3
10
产品C /件
2
1
2
4
2
10
总工时或原材料 4600 4000 6000 10000 8000
工时或原材料成本
（元）
15 10 10
20
40
2021年10月28日3时52分
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建模例3： 成批生产企业年度生产计划的按月分配 。 在成批生产的机械制造企业中，不同产品劳动量的结构上可能 有很大差别。如：某种产品要求较多的车床加工时间，另一种 产品的劳动量可能集中在铣床和其他机床上。因此，企业在按 月分配年度计划任务时，应考虑到各种设备的均衡且最大负荷。
ai1x1 ai2 x2 ain xn xni bi 约束条件为“ ”时：
如: 6x1 2x2 24
6x1 2x2 x3 24 x3为松弛变量
2021年10月28日3时52分
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• 如果有不等式约束： ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 则可减去新的变量xni 0(此时称xni为剩余变量)，把它们全变为 等式约束，即 ai1x1 ai2 x2 ain xn xni bi
约束条件为“ ”时：如: 10x1 12x2 18
10x1 12x2 x3 18 x3为剩余变量
2021年10月28日3时52分
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(2) 变量
1、x 0，令x’＝- x。
例如：
3x1+2x2 8 x1 -4x2 14
x20
2、x取值无约束，令x= x'- x"
3 x1' -3 x1 " +2x2 8 x1' - x1 " - 4x2 14 x1' , x1" , x2 0
3 x1' -3 x1 " +2x2 +x3 = 8 x1' - x1 " - 4x2 +x 4= 14 x1' , x1" ,x2 ,x3 ,x4 0
2021年10月28日3时52分
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（3）x两边有约束的情况。
x1+x2 5 -6 x1 10 x20
-6+6 x1+6 10+6 令x1' = x1 +6 0 x1' 16